Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Знание фундаментальной
системы решений уравнения
дает возможность построить общее решение
этого уравнения. Напомним определение
общего решения дифференциального
уравненияп-го
порядка
. (15)
Функция
,
определенная в некоторой области
изменения переменных
,
в каждой точке которой имеет место
существование и единственность решения
задачи Коши, и имеющая непрерывные
частные производные пох
до порядка п
включительно, называется общим решением
уравнения (15) в указанной области, если:
система уравнений
разрешима в
указанной области относительно
произвольных постоянных
,
так что
(16)
2. функция
является решением уравнения (15) при всех
значениях произвольных постоянных
,
выраженных формулами (16), когда точка
принадлежит рассматриваемой области.
Теорема 1. (о
структуре общего решения линейного
однородного дифференциального уравнения).
Если функции
,
,
…,
образуют фундаментальную систему
решений однородного линейного уравненияп-го
порядка
в интервале
,
т.е. в интервале непрерывности коэффициентов
,
то функция
является общим решением этого уравнения
в областиD:
,
,
.
Доказательство.
В каждой точке указанной области имеет
место существование и единственность
решения задачи Коши. Покажем теперь,
что функция
удовлетворяет определению общего
решения уравненияп-го
порядка.
система уравнений
разрешима в области
D
относительно произвольных постоянных
так как определитель этой системы
является определителем Вронского для
фундаментальной системы решений (12) и
следовательно, отличен от нуля.
2. Функция
по свойству решений однородного линейного
уравнения является решением уравнения
при всех значениях произвольных
постоянных
.
Поэтому функция
является общим решением уравнения
в областиD.
Теорема доказана.
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решениями этого
уравнения, очевидно являются функции
,
.
Эти решения образуют фундаментальную
систему решений, так как
.
Поэтому общим
решением исходного уравнения является
функция
.
Структура общего решения неоднородного линейного уравнения п-го порядка.
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение п-го порядка
. (1)
Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование уравнения (1) сводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (1).
Пусть
- частное решение уравнения (1), т.е.
,
. (2)
Положим
,
гдеz
– новая неизвестная функция от х.
Тогда уравнение (1) примет вид
или
,
откуда в силу тождества (2) получаем
. (3)
Это есть однородное линейное уравнение, левая часть которого та же, что и рассматриваемого неоднородного уравнения (1). Т.е. мы получили однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному уравнению (1).
Пусть
,
,
…,
,
есть фундаментальная система решений однородного уравнения (3). Тогда все решения этого уравнения содержатся в формуле его общего решения, т.е.
.
Подставим это
значение z
в формулу
,
получим
.
Полученная функция является общим решением уравнения (1) в области D.
Таким образом, мы показали, что общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Имеем, частное решение данного неоднородного линейного уравнения имеет вид
.
Общее решение
соответствующего однородного уравнения
,
как мы уже показали ранее, имеет вид
.
Следовательно,
общее решение исходного уравнения:
.
Во многих случаях задача нахождения частного решения неоднородного уравнения облегчается, если воспользоваться следующим свойством:
Теорема. Если в уравнении (1) правая часть имеет вид
и известно, что
есть частное решение уравнения
,
а
- частное решение уравнения
,
то сумма этих частных решений
+
будет частным решением уравнения (1).
Доказательство.
Действительно, так как по условию
есть частное решение уравнения
,
а
- частное решение уравнения
,
то
,
.
Поэтому
,
т.е.
+
является частным решением уравнения
(1).