Петраков С.Н. Механизмы планирования в активных системах - неманипулируемость и множества диктаторства. М., 2001. 135 с

2)i , ~ri < ri ;

3)i Λ , ~ri < ri .

1) Рассмотрим первый случай. Возможны два варианта: есть явные

диктаторы,

такие,

что

"j Î E

ω (r)

,

r

j

Î[W t, E

,W t, E

]

и

h(r) = r

j

; (б)

t( j)

t( j)−1

явных диктаторов нет, то есть "j Î Eω (r) ,

rj

>Wtt(,jE)−1 и h(r) =Wtt(,jE)−1 .

а) Пусть W(r) = Xω (r ) ,

тогда для

рассматриваемого случая выполнены

следующие соотношения:

"α Î W(r) ,

min (W t, E

, r

) = W t, E

= W t

, и r

> W t

,

(П.9)

где λ =

min α ;

α −1

t−1(α )

α −1

λ −1

t−1(α )

λ−1

α Ω(r)

max min (r

−1

(β )

,W t, E ) = r

£ W t

;

(П.10)

β Λ

t

β −1

t−1(β )

λ−1

max min (r

−1

(β )

,W t, E ) = W t, E

£ W t

.

(П.11)

β

t

β −1

β −1

λ−1

Без потери общности предполагаем, что меняется сообщение

активного

элемента

W(r)

с

наименьшим номером

t −1(λ) , то

есть

rt−1(λ −1)

~

−1(λ)

t

t

£ rt

£ rt−1(λ) . Для случая (а) верно, что rt −1(λ) Î[Wδ ,Wλ−1] .

I) Считаем

сначала,

что

rt−1(λ −1)

~

При

этом

порядок

активных

< rλ .

элементов будет задаваться той же перестановкой t ,

~

, для

а разбиение E

нового

вектора

~

~

, r−t−1(λ) )

будет

задаваться

следующими

r

= (rt−1(λ)

~

~

~

= Xl , l = 1,ω(r)

-1,

= W(r) \ {λ} и

соотношениями: Xl

Xω(r) = {λ}, Xω (r)+1

~

= ω(r) +1,

E

. Тогда отрезки диктаторства для всех элементов

Xl+1 = Xl , l

из множеств Xl , l Ï{ω(r),ω(r) +1}

не изменятся, для элемента с номером

t −1(λ)

~

~

] = [W t

,W t

] , а для элементов с

отрезок диктаторства [W t, E

,W t, E

λ

λ−1

λ

λ−1

номерами

j :t( j) Î W \ {λ}

отрезок

диктаторства

~

~

] = [W t ,W t ] .

[W t, E ,W t, E

t( j)

t( j)−1

~

δ

λ

~

t

t

t

и

Если rt

−1(λ) ³ Wλ

, то rt

−1(λ) Î[Wλ ,Wλ−1]

~

~

−1

< h(r) = r

−1

.

h(r )

= r

(λ)

(λ)

t

t

~

~

Если

−1(λ)

t

,

то

~

t

и,

rt

< Wλ

min (rt−1(λ ) ,Wλ−1 ) = rt−1(λ)

< Wλ

следовательно,

111

max min (r

~

≤ r

,

(β )

,W t, E ) = max r

−1(λ)

β Λ

t−1

β −1

β Λ

t−1(β )

t

max min (r

~

~

≤ r

,

,W t, E )

= maxW t, E

β

t−1(β )

β −1

β

β −1

t−1(λ)

max

min (r

~

)

= W t

< r

,

−1(β )

,W t, E

(λ)

β Ω(r)\{λ}

t

β −1

λ

t−1

~

t

~

−1(λ)

t

< rt−1(λ) .

min (rt−1(λ) ,Wλ −1) = rt

< Wλ

Тогда

~

≤ r

= h(r)

−1

.

h(r )

(λ)

t

~

II) Рассмотрим

теперь случай,

когда

rt−1(λ−1)

< rt−1(λ)

.

Новое

= rt−1(λ)

разбиение

~

~

~

E

таково, что Ξl

= Ξl , l = 1,ω(r) − 2 , Ξω (r)−1 = {λ} U Ξω (r)−1 ,

~

~

{λ}

и

= Ξl

, l = ω(r) +1,

E

.

Новые

отрезки

Ξω(r) = Ω(r) \

Ξl

диктаторства определятся следующим образом

~

~

~

t, E

t, E

t, E

t, E

] ,

β Ξl , l

= 1,ω(r) − 2 , [Wβ

,Wβ −1

] = [Wβ

,Wβ −1

~

~

~

t

t

t, E

t, E

β Ξω(r)−1

, [Wβ

,Wβ −1

] = [Wβ

,Wβ −2 ] ,

~

~

~

t

t

t, E

t, E

],

~

β Ξω(r) , [Wβ

,Wβ −1 ]

= [Wδ

,Wγ

~

~

, l

= ω(r) +

1,

E

t, E

t, E

t, E

t, E

] .

β Ξl

, [Wβ

,Wβ −1

] = [Wβ

,Wβ −1

Таким образом, для всех γ {ω(r),ω(r) −1} отрезки диктаторства

останутся без изменений. Тогда будут верны следующие утверждения:

~

~

~

max

t, E

= r −1

≤ r

−1

,

(П.12)

min (r −1

(

β )

,Wβ −1 ) = r −1

(

β )

(β )

(λ)

β Λ\Ξω(r)−1

t

t

t

t

~

~

~

t, E

,W

t, E

) = W

t, E

= W

≤ r

.

(П.13)

max min (r

β )

β −1

β −1

β −1

−1

(λ)

β

t−1(

t

Ξω (r)

Ξω(r)−1 ,

Чтобы определить подобные соотношения для

и

рассмотрим два случая:

~

~

~

t

~

~

t, E

−1(β ) =

- если rt −1(λ)

< Wλ

, то β Ξω(r)−1 ,

min (rt

−1(β ) ,Wβ −1 ) = rt

= rt −1 (β )

< rt −1 (λ )

~

~

~

~

и

t, E

)

−1(λ) . При этом из

β Ξω(r) ,

min (rt−1(β ) ,Wβ −1

= rt

(П.12)

~

≤ r −1

= h(r)

;

h(r )

(λ)

t

112

min min

(rt−1

~

(rt−1

	t	~		t		~		t	~
- если					, то		−1(λ)		t, E	]
	Wλ−1 ³ rt		−1(λ) ³Wλ			rt		Î[Wλ	,Wλ−1
t	~	−1(β )		< rt−1(λ)	,			а
(β ) ,Wβ −1) = rt

~

(β ) ,Wβt,−E1

Таким

= ~

) rt−1(λ) . Тогда из (*),

h(~r ) = ~rt−1(λ) = h(r) .

образом,

если

rt−1(λ) = h(r) ,

~

и "β ÎXω(r)−1 ,

~

"β Î Xω(r) ,

для всех

~

−1(λ)

~

rt−1(λ −1) £ rt

£ rt−1(λ) , h(r ) £ h(r) .

б) Теперь

рассмотрим

случай,

когда

явных

диктаторов

нет,

то

есть

"j Î Eω (r) ,

rj

t, E

t, E

>Wt( j)−1

и h(r) =Wt( j)−1 . Тогда выполнены следующие

соотношения

"α Î W(r) , min (W t, E , r

) = W t, E

= W t

,

и r

> W t

,

где

λ =

min α ,

α −1

t−1(α )

α −1

λ −1

t−1(α )

λ−1

(П.14)

α Ω(r)

max min (r

−1(β )

,W t, E ) = r

£ W t

,

(П.15)

β Λ

t

β −1

t−1(β )

λ−1

max min (r

−1(β )

,W t, E ) = W t, E

£ W t

.

(П.16)

β

t

β −1

β −1

λ−1

~

Рассмотрим сначала

случай,

rt−1(λ)

При

этом,

< rt −1(λ) £ rλ .

rt−1(λ−1)

W(r) ¹

I) Если

< Wλt−1 . Иначе, если rt−1(λ−1)		³ Wλt−1 , то min (rt−1(λ) ,Wλt−1) ³ Wλt−1 и
Argmax min (rt−1(α ) ,Wαt,−E1 ) .
α Θ	~
t		t	t	и при новом разбиении
Wλ−1	< rt−1(λ ) , то min (rt−1(λ)	,Wλ −1)	= Wλ−1

	~	перестановка t			сохранится. Новое разбиение
	E
	~				~
		= Xl , l = 1, λ -1,				= {λ},
	Xl				Xω(r)

~

E будет таким, что

~

Xω (r)+1 = W(r) \ {λ} ,

~

Xl+1 = Xl , l = ω(r) +

~

диктаторства [Wδt, E

1,		E		. Для элементов из множества					~	отрезок
									Xω (r)+1
~					= [W t ,W t ]. Так как W t			£ W t	, то
,W t, E ]
		δ −1			δ λ	~	λ	λ−1
		max min (r					£ W t
						,W t, E )
		α Λ			t−1(α )	α −1	λ−1

max min (r			~
		,W t, E ) £ W t
α	t−1(α )		α −1	λ−1
max	min (r		~
			,W t, E ) £ W t
α Ω\{λ}	t−1(α )		α −1	λ−1

113

max min (r

~

) < W t

= W t

.

,W t, E

α{λ}

t−1(α )

α −1

λ

λ−1

Поэтому

~

t

.

~

h(r )

= Wλ−1 = h(r)

II)

t

t

Если Wλ−1 ³ rλ ³ Wλ , то

~

~

1

£ W

t

= h(r)

.

h(r ) = r

λ)

λ−1

t

−

(

~

III)

Если

t

,

t

~

t

t

и верны следующие

r

< Wλ

то min (rλ ,Wλ ) = rλ < Wλ

£ Wλ−1

соотношения:

~

max min (r

£ W t

−1

(α )

,W t, E )

α Λ

t

α −1

λ−1

max min (r

~

£ W t

−1

(α )

,W t, E )

α

t

α −1

~

λ−1

max

min (r

(α )

,W t, E ) £ W t

α Ω\{λ}

t−1

~

α −1

λ−1

max min (r

) < W t

£ W t

.

,W t, E

α{λ}

t−1(α )

α −1

λ

λ−1

Тогда

~

t

.

h(r )

£ Wλ−1 = h(r)

Резюмируя случай 1), получаем, что если

t(i) ÎW(r) ,

то при

ri

~

£ h(r) ,

~

ri

~

³ h(r) ,

£ ri

h(r ) £ h(r) . Симметричный случай:

(r )+1

³ ri

ω (r )−1

ω

~

h(r ) ³ h(r) .

£ rt−1(α )

£ rt−1(α ) .

2)

Рассмотрим случай, когда α Î Xl Î D и rt−1(i )

~

~

l−1

а)

Пусть

rt

−1(i

)

−1(α ) £ rt−1(α ) .

При

этом,

отрезок

диктаторства

при

< rt

l−1

[W t

,W t

W t

£ W t

новом разбиении

определяется

как

]

и

и

min (r ,W t

) = W t

£ W t £ h(r) . Тогда

α

α −1

α −1

δ

α

α −1

α −1

δ

h(~r ) = h(r) .

б) Если rt−1(il−1) = ~rt−1(α ) £ rt−1(α ) , то новое разбиение будет таким, что

Xl = Xl , l

~ìïXω(r) Xω (r) = íïX

îω(r)

= 1, (ω(r) -1) ;

U{α},α Î Xω (r)+1;

,α Ï Xω (r)+1.

114

~

ìX

l

U{α},α Î X

l

+1

;

ï

X

ω (r)

=

í

,α Ï X

, l = ω(r),

E

.

ïX

î

l

l+1

~

Рассмотрим l такой, что α Î Xl−1

~

~

t, E

,W

t, E

)

= max min (r

,W

) .

max min (r

−1(α )

α Λ

t

α −1

α Λ

t−1(α )

α −1

I)

Если l −1 = ω(r) ,

то новый

отрезок диктаторства для элементов из

~

множества Xω (r) будет следующим:

~

~

] = [W t ,W t

] .

[W t, E

,W t, E

Тогда

α

α −1

α

λ−1

~

~

t, E

max

,W

t, E

)

=

max min (r

,W

) .

min (r

−1

−1

~

t

(α )

α −1

α Ξω (r )

t

(α )

α −1

α Ξω (r )

Так как множество D \ {α}

беднее множества

, то

~

~

t, E

max

,W

t, E

)

£ max min (r

,W

) .

min (r

−1(β )

β −1

−1(β )

β −1

α \{α}

t

β \{α}

t

Тогда

~

= h(r) .

h(r )

II) Если

l −1 > ω(r) ,

значит

меняется

нижняя

граница

отрезка

диктаторства для элементов из

Xl−1 и верхняя граница диктаторства для

элементов

из множества

Xl−2 . Так

как при

этом

Ξl−1 ,

Xl−2

Í D

и

~

~

~

−1(α )

t, E

t, E

rt

> min (rλ ,Wλ−1

) ³ Wα −1

, то

~

= h(r) .

h(r )

Резюмируя случай два и симметричный ему случай, получаем: если α

и

rt−1(i

~

−1(α ) £ rt−1(α ) ,

то

~

и

если

α Λ

и

) £ rt

h(r ) = h(r)

l−1

~

rt

−1(i

~

= h(r) .

) ³ rt

−1(α ) ³ rt−1(α ) , то h(r )

l+1

3) Рассматривается

аналогично

случаю

2).

Если

если

α

и

rt

−1(i

~

−1(α ) ³ rt−1(α ) ,

то

~

= h(r)

и

если

α Λ

и

) ³ rt

h(r )

rt

l+1

~

~

= h(r) .

−1(i

) £ rt

−1(α ) £ rt−1(α ) , то h(r )

l−1

Пусть необходимо показать, что если

ri > h(r) , то

~

³ h(r) ,

~

"ri

и

~

< h(r) ,

~

Если

ri

> h(r) ,

h(ri , r−i ) = h(r)

ri

h(ri , r−i ) < h(r) .

рассмотрим произвольный

~

³ h(r) .

Пусть

m = {l Î{1,...,

E

}: t(i)ÎXl } .

ri

Тогда m > ω(r) .

115

Если

ω(r) = m -1 , то из случая 2) получаем утверждение. Если

ω(r) < m -1 ,

то

1

= rim−1 , по случаю

2)

1

~

рассматриваем ri

"ri

£ ri £ ri ,

~

, r−i ) = h(r) .

Далее, если ω(r) < m - 2 , рассмотрим

2

= rim−2 . Из 2),

h(ri

ri

2

£

~

£

1

~

"ri

ri

ri

, будет выполнено h(ri , r−i ) = h(r) и т.д., пока ω(r) = m - k , и

k

£

~

£

k−1

,

~

утверждение:

"ri

ri

ri

h(ri , r−i ) = h(r) . Таким образом доказано

если ri

~

~

> h(r) , то "ri

³ h(r) , h(ri , r−i ) = h(r) .

Аналогично

доказываются

остальные утверждения

леммы.

Q. E. D.

Лемма 2.1.14. ММ выполнено.

Доказательство. Следует из определения ММ, при условии, что функции полезности элементов являются однопиковыми и леммы 2.1.13.

Q. E. D.

Лемма 2.1.15. НСМ выполнено.

Доказательство: очевидно из определения ММ, при условии, что функции полезности элементов являются однопиковыми и леммы 2.1.13.

Q. E. D.

Лемма 2.1.16. ОПВ выполнено.

Доказательство: Рассмотрим тождественную перестановку t T , то есть такую, что t(i) = i и разбиение E такое, что E1 = {1, ...,n -1} и E2 = {n} . При этом отрезки диктаторства определятся следующим образом:

[W t, E ,W t, E ] = [W t

−1

,1]

и [W t, E ,W t, E ] = [0,W t

] .

j

j−1

n

n

n−1

n−1

При этом либо (а) W t

> 0

, либо (б) W t

< 1. Рассмотрим случай

n−1

n−1

а). Положим r = 0, i =

и

r

= W t

. Тогда r Î[W t, E ,W t, E ] и

1, n -1

i

n

n−1

n

n

n−1

h(r) = rn ¹ ri , i = 1, n -1 .

Аналогично рассматривается случай (б). ОПВ не выполнено.

Q. E. D.

Лемма 2.1.17. ПО выполнено.

Доказательство: Очевидно ПО эквивалентно утверждению, что

h(r)Î[min ri , max ri ] .

i I i I

116

Допустим, ПО не выполнено, тогда без потери общности предполагаем,

что	~	Î[d, D]		n	~	Î[d, D]	n	такой, что
	h(r) < min ri , тогда рассмотрим r				r
	i I				~	~
rj = min ri . Из леммы III.1.13 получаем, что								j I . С
			h(r )			= h(r) < rj ,
	i I

~	~
другой стороны, [Wjt, E	,Wjt−, 1E

] = [0,1] и h(~r ) = ~rj , j I . Получили

противоречие, ПО выполнено.				Q. E. D.
Утверждение 3.2.1. Совокупность множеств		{Sρ }ρn есть разбиение
Rn .
Доказательство: Необходимо доказать,		что "s Î Rn		существует
единственный вектор ρ ÎÃn такой, что s ÎSρ		и "ρ ¹ ρ′ s Î Sρ′ .
			определим	ρi , i Î I по
Пусть "s Î Rn . Для каждого i =1, n

следующей процедуре. Возможны три взаимоисключающих случая: (1) si < 0 ; (2) si Î[0;1] ; (3) si >1. В первом случае положим ρi = a , во

втором - ρi = c , в третьем - ρi = m .

117

Эта процедура однозначно определяет

ρ ÎÃn .

Из определения

вектора ρ следует, что s

A(ρ)

< sρ

, s

M (ρ)

> sρ

и

s

Î[0,1]

C(ρ )

.

A(ρ)

M (ρ)

C(ρ)

Значит s Î Sρ . Пусть

существует

два

различных

вектора ρ1, ρ 2 ÎÃn

такие, что s Î S

ρ

1 , s Î S

ρ

2 . Вектора

ρ1, ρ2

отличаются хотя бы в одной

компоненте

j I

так

что

ρ1j ¹ ρ 2j .

С

точностью

до перестановки

номеров векторов возможны

лишь три случая: (1)

ρ1j

= a, ρ j2 = c ;

(2)

ρ1j = a, ρ j2 = m ; (3)

ρ1j

= c, ρ 2j

= m . В первом случае из значений ρ1, ρ2

следует, что

s j

< 0, s j Î[0,1] . Аналогично

получаем

противоречия

во

втором и третьем случаях.

Q. E. D.

Утверждение 3.2.2. Для любого s Î Rn

существует множество векторов

состояний

Æ ÌÃ0 ÍÃ

и

число

ε0 > 0

такие,

что

"ε Î(0, ε0), "ρ ÎÃ0,Uε (s) I Sρ ¹ Æ и "ρ ÏÃ0,Uε (s) I Sρ ¹ Æ .

Доказательство: Рассмотрим произвольную точку s Î Rn и произвольное

ε > 0 . Обозначим Uε (s)

- ε

- окрестность точки s .

Для

каждой точки

~

ÎUε (s)

найдется единственный вектор

s

~

n

что

~

~

.

Обозначим

через Ã

совокупность

ρ(s )

ÎÃ

такой,

s Î S

ρ(s )

ε

~

~

Множество

n

конечно

и Ãε

n

при

любых ε > 0 .

{ρ(s )}s U .

Ã

ÍÃ

Поэтому, Ãε

конечно для любых ε > 0 .

~

Единственность вектора

~

ρ(s ) для каждого

s ÎUε (s) позволяет

записать "ρ ÎÃε ,Uε (s) I Sρ ¹ Æ и "ρ ÏÃε ,Uε (s) I Sρ = Æ .

Обозначим

Ã0 = IÃε .

Докажем, что

$ε0 > 0

такой,

что

ε >0

"ε Î(0, ε0), "ρ ÎÃ0,Uε (s) I Sρ ¹ Æ

и

"ρ ÏÃ0,Uε (s) I Sρ ¹ Æ .

Для

этого необходимо показать, что одновременно верны следующие утверждения:

1)$ε10 > 0 :"ε Î(0, ε10 ), "ρ ÎÃ0 Uε (s) I Sρ ¹ Æ ;

2)$ε02 > 0 :"ε Î (0, ε02 ), "ρ ÏÃ0 Uε (s) I Sρ = Æ .

118

Из определения Ã0 = IÃε , любой ρ ÎÃ0 принадлежит всем

ε >0

Ãε , ε > 0

и

поэтому

"ρ ÎÃ0, "ε > 0ε Î(0, ε 0) $ρ ÎÃ0 :Uε (s) I Sρ ¹ Æ .

Первое утверждение доказано.

Допустим

не

верно

второе

утверждение

и

"ε0 > 0 $ε Î(0, ε0 ) $ρ ÎÃ0 :Uε (s) I Sρ ¹ Æ . Это эквивалентно тому,

что

"ε0 > 0, $ε Î(0, ε0)

такое, что Ã0

строго принадлежит Ãε .

Положим

ε0

(k) =

1

, k = 1, 2, ...

Для

любого

ε0(k)

найдется

k

ρ k

ρk может

ε(k)Î(0, ε

0

(k))

такое, что найдется

\ . Так как

ε (k) 0

принимать

лишь

конечное

множество

значений

из

Ãn ,

последовательность

ρ

k

принимает

некоторое

значение

~

n

ρ ÎÃ

бесконечное число раз.

Существует

подпоследовательность

{ρ k j

}

такая,

что

j N, ρ

k j

~

найдется

= ρ . Рассмотрим произвольный j N . Для ε0 (k j )

ε(k j )Î(0, ε0 (k j ))

такое,

что

~

\Ã0 .

Тогда

ρ ÎÃε (k j

)

"j Î N,Uε (k j )(s) I Sρ~ ¹ Æ .

~

~

, то найдется

Так как ρ ÏÃ0 = IÃε

ε′ > 0 такое, что ρ ÏÃε′ .

e>0

Возможно

лишь

ε′ < ε(k j )

иначе,

Uε (k j ) (s) Ì Uε ′(s)

и

из

Uε (k j ) (s) I Sρ~ ¹ Æ будет следовать, что Uε ′(s) I Sρ~ ¹ Æ

~

и ρ ÎÃε′ .

В силу того,

что

1

стремится к нулю при

j

стремящемся к

k j

бесконечности,

для

данного

ε′

найдем

номер

l

такой,

что

ε¢ >

1

.

1

kl

~

Обозначим

δ

=

.

Вектор

ρ ÎÃ

)

и

U

ε (kl )

(s) I S ~

¹ Æ .

Из

kl

ε (kl

ρ

неравенства

ε′ > δ

следует,

что

Uδ (s) Ì Uε′(s) .

Поэтому из того,

что

Uε (kl ) (s) I Sρ~ ¹ Æ

вытекает

Uε ′(s) I Sρ~

¹ Æ .

Получили противоречие.

Вторая часть утверждения доказана и справедливо утверждение 3.2.2.

Q. E. D.

119

Утверждение

3.2.3.

Пусть

s1 ¹ s2 Î Rn.

s1 Î Sρ1

и

s2 Î Sρ 2

и

ρ1 ¹ {c, ..., c}, тогда α > 0 и ρ′: t (0,α ) s(t) = s1(1− t) + s2t Sρ′

и

ρ′ ¹ {c,..., c} .

Доказательство:

Пусть

s1, s2 Î Rn , s1 Î Sρ1 , ρ1 ¹ {c, ..., c}, s2 Î Sρ2 .

Найдем ρ¢ÎÃn

и α > 0 .

s1 Î Sρ1 = {s Î Rn : sM (ρ1)

= sMρ1(ρ1), sA(ρ1) = sAρ(1ρ1), sC(ρ1) Î[0,1]

C(ρ1)

} .

Компоненты si , i ÎC(ρ1)

могут располагаться либо строго внутри

отрезка [0,1] , либо на его концах. Введем обозначения:

Z Í C(ρ1) –

множество

всех

АЭ

i ÎC(ρ1)

таких,

что

s1

= 0 ;

аналогично

i

O = {i ÎC(ρ1) : s1i

= 1} и K = {i ÎC(ρ1) : s1i

Î(0,1)}.

Множество координат i таких,

что

si2

лежит левее

s1i

обозначим

через

L .

Для любого

j L

любая точка отрезка

[s1, s2 ]

лежит левее

точки s1

по

j

- координате. Аналогично определим R = {i Î I : si1 < si2}

и

E = {i Î I : si1 = si2}.

Пусть

i I

такова, что

si1 Ï{0,1} , то есть i Î K U (-C(ρ1)) , тогда

очевидно найдется ε > 0

такое, что "i Î K U (-C(ρ1)) Uε (s1i ) I{0,1} = Æ .

min(ε,1)

~

Положим α =

и возьмем

ρ такой, что

при малых t

1

2

max

si - si

si (t)

i I

~

остается

внутри

То

есть

(0,1), i ÎC(ρ) .

~

~

= (O I R) U M (ρ

1

)

C(ρ)

= (Z I R) U (O I L) U K U (Z I E) U (O I E) . M (ρ)

состоит из всех координат i

таких,

что либо i Î M (ρ1)

либо

s (t)

при

t > 0

si

i

уходит вправо от точки 1 и попадает в область

>1. Аналогично

~

= (Z I L) U A(ρ

1

) .

Легко

показать,

что

такое

задание

~

A(ρ)

ρ

соответствует

некоторому возможному

вектору

состояний,

то

есть

~

~

~

= I .

M (ρ) U A(ρ) U C(ρ)

120