Петраков С.Н. Механизмы планирования в активных системах - неманипулируемость и множества диктаторства. М., 2001. 135 с

Пусть i таково, что s1i = 0

и si1 > si2 , то есть i Î(Z I L) , тогда при

любом

t Î(0,1],

si (t) < 0 .

Аналогично

"t Î (0,1], "i Î (O I R) ® si (t) > 1.

Для всех t Î (0,α)

верны следующие оценки

"i Î A(ρ1) ® s (t) £ s1 +

min(ε,1)

×

s1

- s2

£ s1

+ ε < 0 ,

i

i

max

si1 - si2

i

i

i

i I

"i Î M (ρ1) ® s (t) > s1 - ε > 0 ,

i

i

min(ε,1)

"i Î(Z I R) ® 0 < s (t) £ 0 +

×

s1

- s2

£ min(ε,1) £1,

i

max

si1

- si2

i

i

"i Î(O I L) ®1 > si (t) ³ 0 ,

i I

"i Î(O I E) ® si (t) = 1,

"i Î(Z I E) ® si (t) = 0 .

Тогда "t Î (0,α) ® s(t)Î Sρ~ .

Q. E. D.

Утверждение 3.2.4. "s1, s2 Î R2 , множество â(s1, s2 ) состоит из одного элемента.

Доказательство: Пусть есть два вектора

ρ1, ρ 2 Îâ и пусть существует

j Î A(ρ1)

такой,

что

j Ï A(ρ2 ) ,

тогда

j ÎC(ρ2 )

либо

j ÎM(ρ2) . Но

j Î M (ρ2)

невозможно, так как из того,

что [s1, s2 ] Ì Qρ1 следует, что

[s1, s2 ] Ì Qρ 2 ,

что s j (t) = 1, t Î[0,1] .

j ÎC(ρ

2

~

такой,

что

~

2

) U{ j} ,

) . Рассмотрим вектор ρ

A(ρ) = A(ρ

~

(ρ

2

~

2

1

2

] Ì Qρ 2 , то

M (ρ) = M

) , C(ρ) = C(ρ

) \ { j}. Так как [s , s

[s1 , s2 ] {s Î Rn : s

2

)

Î R

C(ρ 2 )

, s

2

)

= sρ 2

2

)

} =

C(ρ

−C(ρ

−C(ρ

n

~

1

ρ

2

= {s Î R

: sC(ρ) Î R

C(ρ)

, s j

Î R , s−C(ρ 2 ) = s−C(ρ 2 )} =

~

~

~

= {s Î Rn

: s

~

Î R

C(ρ)

, s

j

Î R1, s

~

= sρ

~

} .

C(ρ )

−C(ρ )\{ j}

−C(ρ )\{ j}

121

Из того, что

~

s j (t) = 0 . Тогда

1

2

] Qρ~ .

j Î A(ρ) следует, что

[s , s

Но

~

>

- C(ρ

2

)

, в то время, как

ρ

2

Î Argmax

- C(ρ)

. Получили

- C(ρ)

~

ρ

противоречие. Значит ρ2 Î Argmax - C(ρ) =1, множество â состоит из

~

ρ

одного элемента.

Q. E. D.

для любых s Î Rn .

Лемма 3.2.1. G (s)

не убывает по s

i

i

Доказательство: Рассмотрим произвольные вектор

s Î Rn

и АЭ i I .

Существует единственный вектор состояний

ρ ÎÃn

такой, что s Î Sρ .

Если i ÎC(ρ) то

G (s) = g

(sρ

,s

) .

Рассмотрим произвольный

i

i

−C(ρ)

C(ρ)

si¢ Î R1 .

Если

si £ si¢ £1,

то

Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i}, si¢) ³ Gi (s) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ))

так как g(s)

частично монотонна. При

si¢ >1,

вектор

(si¢, s−i ) принадлежит Sρ′ , где

вектор ρ

¢

¢

¢

¢

таков, что C(ρ ) = C(ρ)

\{i} , M (ρ ) = M (ρ) U{i},

A(ρ ) = A(ρ) .

При

таких

si¢

Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i},1) + (si¢ -1) > Gi (s) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)) .

Аналогично доказывается, что Gi (si¢, s−i ) £ Gi (s)

при si¢ £ si .

Если i C(ρ) , то без потери общности положим i Î M (ρ) . Из

i Î M (ρ)

следует, что si

>1. Если si¢ > si , то Gi (si¢, s−i ) - Gi (s) = si¢ - si

> 0 .

Если si

> si′ > 1, то

Gi (si¢, s−i ) - Gi (s) = si¢ - si

< 0 .

Поэтому, при

si¢ >1

функция Gi (s)

не убывает.

Если

si¢ Î[0,1],

то (si′, s−i )Ï Sρ′ , где

ρ¢

определяется так,

что

¢

\{i},

¢

¢

При

этом

M (ρ ) = M (ρ)

C(ρ ) = C(ρ) U{i} ,

A(ρ ) = A(ρ) .

Gi (si, s−i ) =

= gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i},1) + (si -1) > Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ)\{i}, sC(ρ), si¢) .

Если

si¢ < 0 ,

то

(si′, s−i )Ï Sρ′ ,

где ρ¢

определяется так,

что

¢

¢

(ρ) U{i} ,

¢

предыдущего

M (ρ ) = M (ρ)

\{i}, C(ρ ) = C

A(ρ ) = A(ρ) . Из

пункта G (s) > g

(sρ

, s

, 0) > g

(sρ

, s

ρ)

, 0) + s′ − 0 = G (s′, s

−i

) .

i

i

−C(ρ)\{i}

C(ρ)

i

−C(ρ)\{i}

C(

i

i i

122

Таким образом, G(s)

частично монотонна во всем Rn .

Лемма 3.2.2. G(s) непрерывна в Rn .

Q. E. D.

Доказательство: Обозначим

C(ρ)

= {ρ Î Rn : s

Î[0,1]

, s

³ sρ

, s £ s A

} ,

где

S

ρ

M (

ρ)

C(ρ)

M (ρ)

A(ρ)

запись

s

M (ρ)

³ s

ρ

означает

"i Î M (ρ), s ³ sρ ,

аналогично

M (ρ)

i

i

s

A(ρ)

£ s

ρ

означает "i Î M (ρ), s

£ sρ .

A(ρ)

i

i

Функции

s

- sρ

и

g(s

, sρ

)

непрерывны

в

.

−C(ρ)

ρ)

S

ρ

−C(ρ)

C(

−C(ρ)

Тогда G(s)

непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

Рассмотрим произвольный

s Î Rn . Из утверждения 3.2.2. найдется

Ã0 ÍÃ и

ε0 > 0 такие, что

"ε Î(0, ε0 )

и

"ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ ¹ Æ и

"ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ = Æ .

Положим

εk

= min(ε0,1 k), k = N .

При таком

определении

εk ,

"εk > 0, "ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ ¹ Æ ,

то выберем

для

каждого

ρ ÎÃ0

последовательность

sk, ρ

такую,

что

sk, ρ U

εk

(s) I S

ρ

. Так

как

sk, ρ ® s

при

k → ∞

и

для

всех

ρ , sk, ρ S

ρ

,

то

0

sk, ρ

> sρ

, sk, ρ

> sρ

, sk, ρ

Î[0,1]

C(ρ)

.

M (ρ)

M (ρ)

A(ρ)

A(ρ)

C(ρ)

По

свойствам

предельных

переходов

sM (ρ)

³ sMρ (ρ), sA(ρ) £ sAρ(ρ) ,

s

Î[0,1]

C(ρ)

. То есть s Î

, "ρ ÎÃ .

C(ρ)

S

ρ

0

В силу непрерывности G(s)

на

ρ

можно

S

"ρ ÎÃ0 , "ε Î(0, ε0 ) $ε Î(0, ε0 ) $δ (ρ) > 0 :"s¢ÎUδ (ρ) (s) I

ρ ®

S

Положим δ = min δ ρ . Так как {Sρ }ρn

→

G(s) − G(s′)

< ε .

образует разбиение Rn , можно

ρ0

записать

U(Uε (s) I Sρ ) =Uε (s) .

Из

утверждения

3.2.2

ρn

"ρ ÏÃ0 , "ε Î(0, ε0 ),Uε (s) I Sρ = Æ , то

U(Uδ (s) I

ρ ) = Uδ (s) .

S

ρ0

123

¢	ÎUδ (s) ®		¢		< ε .
"ε Î (0, ε0 ) $δ > 0 :"s			G(s) - G(s )
					Q. E. D.

Лемма 3.2.3. Если g(s) непрерывна и частично монотонна, то "r Î Rn $s Î Rn такой, что G(s) = r .

Доказательство: Возьмем произвольный r Î Rn , тогда существует L > 0

такое,	что "i Î I,		ri		< L . В силу					непрерывности	g(s) ограничена и
M >	0 : i I , "s Î S,						gi (s)		< M .	Обозначим	L0 = max(L, M ) +1 3 .
Определим следующие множества

W= {s Î Rn : "i Î I,-3L0 < s < 3L0} ,

W={s Î Rn : "i Î I,-3L0 £ s £ 3L0} ,

∂W = {s Î Rn :$K Í I :Æ Ì K(s) Í I, "i Î K,

s

= 3L, "i Î I \ K,

s

< 3L} .

i

i

Возьмем произвольный s ∂Ω . Для этого s существует ρ ÎÃn

такой, что

s Î Sρ .

Рассмотрим

некоторый

АЭ

j Î K(s) ,

тогда

s j

= 3L0 .

Предположим, что s j

= 3L0 , тогда

G j (s) = 3L0 − sρj

+ g j (sC(ρ), s−ρC(ρ)) > 3L0 −1 − 2M = 3max(L,M ) +1−1− 2M >

> max( L, M ) > L > rj .

Аналогично получим оценку G j (s) < -L < rj

при

s j = −3L0 .

Таким

образом

для

любого

s ∂Ω

найдется

jÎI

такой,

что

sign(Gj

- rj ) = sign(s j

- 0) ¹ 0 , так как L0 > 0 , и векторные поля G(s) - r

и s - 0

направлены не противоположно на

∂Ω . При этом для любого

s ∂Ω

существует jÎI такой, что

G j (s) - rj ¹ 0

и s j

¹ 0 . Из того, что

векторные поля на ∂Ω в ноль не

обращаются

и не

противоположно

направлены следует [8], что они гомотопны и имеют одинаковое вращение γ ((s - 0),∂W) =1. По теореме о нуле векторного поля [8] существует s Rn такой, что G(s) − r = 0 и G(s) = r .

Q. E. D.

Теорема 3.2.1. Пусть процедура планирования g : S ® Rn непрерывна в S

и частично монотонна в S. Тогда для любого ϕ Î Rn с вектором точек пиков r Î Rn существуют равновесие Нэша s (r) и вектор состояний

124

ρ ÎÃn такие, что s (r) = (s−ρC(ρ),sC(ρ) ) , gC(ρ)(s (r)) = rC(ρ) , gM (ρ) (s (r)) < rM (ρ)

где sC(ρ) Î[0,1]C(ρ) . При этом и gA(ρ)(s (r)) > rA(ρ) .

Доказательство:

В

силу

того,

что

рассматриваемое

отображение

g : S ® Rn

удовлетворяет

условиям

леммы

3.2.3,

"r Î Rn $s Î Rn :G(s) = r .

Тогда

ρ n : s Sρ .

Рассмотрим

вектор

s* = (s

, sρ

) и получим следующие результаты:

C(ρ)

−C(ρ)

r

= G

(s) = G

(s

, s

−C(ρ)

) = g

C(ρ)

(s

, sρ

) = g

C(ρ)

(s

(r)) ,

C(ρ)

C(ρ)

C(ρ)

C(ρ)

C(ρ)

−C(ρ)

r

= G

M (ρ)

(s) = g

M (ρ)

(s

ρ)

, s

ρ

) + s

− sρ

> g

M (ρ)

(s

, s

ρ

) =

M (ρ)

C(

−C(ρ)

M (ρ)

M (ρ)

C(ρ)

−C(ρ)

= gM (ρ) (s (r)),

r

< g

A(ρ)

(s (r)) .

A(ρ)

Пусть i Î A(ρ) , тогда

r Î g(s (r)) . При этом

sρ = s =1

и в силу

i

i

i

частичной монотонности для любых

s

i

Î[0,1],

g

(s , s

) £ g(s ) < r . Из

i

i

−i

i

того,

что

g

(s , s

) £ g

(s ) < r

следует,

что

(s ), r ) ³ ϕ

(s ,s

i

i

−i

i

i

ϕ

(g

i

(g

), r ) .

Рассматривая

аналогичным

образом

i

i

i

i

i

−i

i

i ÎC(ρ) ,

i Î A(ρ)

убеждаемся, что s - равновесие Нэша при данном r.

Таким образом, утверждение доказано.

Q. E. D.

Лемма 3.3.1. Пусть выполнено А.3.3.1, тогда "ρ ÎÃn , Dρ0

= G(Sρ ) .

Доказательство: Пусть s ÎSρ

тогда по определению G(s)

имеем

G

(s) = g

C(ρ)

(sρ

, s

)Î g

C(ρ)

(sρ

,[0,1]

C(ρ)

) ,

C(ρ)

−C(ρ)

C(ρ)

−C(ρ)

G

ρ)

(s) = g

M (ρ)

(sρ

, s

) + s

M (ρ)

- sρ

> g

M (

ρ)

(s

ρ

, s

C(ρ)

) =

M (

−C(ρ)

C(ρ)

M (ρ)

−C(ρ)

= xρ

(g

C(

ρ)

(s

ρ

, s

)) ,

M (ρ)

−C(ρ)

C(ρ)

125

G

A(ρ)

(s) < xρ

(g

C(ρ)

(s

ρ

, s

ρ)

)).

A(ρ)

−C(ρ)

C(

Таким образом G(s) Dρ0

и G(Sρ ) Dρ0 .

Пусть теперь

r D0 ,

докажем,

что существует s

C(ρ)

Î[0,1]

C(ρ)

такой,

ρ

что g

C(ρ)

(s

ρ

, s

C(ρ)

) = r

. При этом из условия А.3.3.1 следует, что

−C(ρ)

C(ρ)

g

C(ρ)

(sρ

, s

ρ)

) = xρ (r

) . Определим s

M (ρ)

= r

- xρ

(r

)

−C(ρ)

C(

C(ρ)

M (ρ)

M (ρ)

C(ρ)

по определению Dρ0 .

Аналогично

определим

sA(ρ) > sAρ(ρ)

и

по

определению Sρ такой s

принадлежит Sρ . Таким образом, Dρ0 G(Sρ )

и поэтому Dρ0 = G(Sρ ) .

Q. E. D.

Лемма 3.3.2. Пусть выполнены условия 3.3.1-3.3.3, тогда для любого i I

справедливы

n		0				M i	−1
а) ρ	:i M (ρ),r Dρ		выполняется ri > Gi (si				, GM i (r−i )) ,
б) ρ n :i C(ρ), r D0		выполняется G (sM i		, G−1i	(r	)) ³ r ³ G (sAi		, G−1i	(r	)) ,
	ρ		i i	M	−i		i i i	A	−i
n		0		Ai		−1
в) ρ	:i A(ρ),r Dρ		выполняется Gi (si		, GAi (r−i )) > ri .

Доказательство: Рассмотрим некоторые ρ ÎÃn и r Dρ0 . По лемме

3.2.3 существует s Î Sρ

такой, что G(s) = r .

а)

Пусть

i Î M (ρ) ,

тогда

si > siM i

и

G (sM i ,s

−i

) = G (s) − s + sM i

< G (s) = r

и

G

(sM i , s

−i

) = r

.

Тогда

i i

i

i

i

i

i

−i

i

−i

G(s

M i

,s

−i

) = G(s

M i

,G

−1

(r

)) и r > G (s

M i

,G

−1

(r

)) .

M

i

M

i

i

i

−i

i

i i

−i

б) Если i ÎC(ρ) , то si

Î[0,1] . По условию А.3.3.3 можно записать, что

G (s

M i

,G

−1

(r

)) ³ G (s) = r ³ G (s

Ai

,G

−1

(r

)) .

i i

M

−i

i

i

i i

A

−i

в) Случай, когда i Î A(ρ)

доказывается аналогично а).

Теорема

3.3.1. Пусть

Q. E. D.

для всех элементов функции предпочтений

ϕi ÎGSP .

Пусть

g(s)

непрерывна и

частично

монотонна

в S и

126

выполнены предположения А.3.3.1-3.3.3, тогда верны следующие утверждения:

1)

Существует

выбор равновесия

s : Rn → S

такой,

что для

каждого r Rn ,

s (r)

- равновесие Нэша в механизме

g : S → Rn

и для

любых

ρ n

и

r Dρ введенные

в

А.3.3.1

функция

xρ (r

) = g(s (r)) ,

где

C(ρ)

D

ρ

= {r Rn : r

< g

M (ρ)

(s (r)), r

= g

C(ρ)

(s (r)), r

> g

A(ρ)

(s (r))} .

M (ρ)

C(ρ)

A(ρ)

2)

Разбиения

B

и B0

совпадают

и

соответствующий

g(s)

прямой

механизм неманипулируем.

r Rn

Доказательство: 1) из теоремы 3.2.1 для любого

существует

равновесие

Нэша

s (r)

и

при

этом

найдется

ρ n

такой, что

s (r) = (sρ

, s

) ,

где

s

[0,1]

C(ρ)

и

при

этом

−C(ρ)

C(ρ)

C(ρ)

r

ρ)

= g

C(

ρ)

(s (r)) g

C(ρ)

(sρ

, [0,1]

C(ρ)

) ,

C(

−C(ρ)

r

> g

M (ρ)

(s

(r)), r

< g

A(ρ)

(s (r)) .

M (ρ)

A(ρ)

Так как при выполнении А.3.3.1 r

g

C(ρ)

(sρ

,[0,1]

C(ρ)

)

C(ρ)

−C(ρ)

определена

и

единственна

функция

xρ (r

)

такая,

что

C(ρ)

xρ

(r

) = r

ρ)

.

При

этом

g(s (r)) = x

ρ

(r

)

в

силу

C(ρ)

C(ρ)

C(

C(ρ)

C(ρ)

единственности

xρ (r

)

для

всех

r

ρ)

g

C(ρ)

(sρ

,[0,1]

C(ρ)

) .

C(ρ)

C(

−C(ρ)

Тогда

если

r D

ρ

,

то

r

ρ)

g

C(ρ)

(sρ

,[0,1]

C(ρ)

) ,

C(

−C(ρ)

r

> x

ρ

(r

) ,

r

< xρ

(r

)

и первое утверждение теоремы

M (ρ)

M (ρ)

C(ρ)

A(ρ)

A(ρ)

C(ρ)

доказано. Кроме этого видно, что Dρ Dρ0 .

2)

Так как для любого

r Rn

s (r) - равновесие Нэша в механизме

g : S → Rn ,

то

B

является

разбиением

Rn

и

поэтому

для

любых

ρ1, ρ2 n

верно D

1 I D

ρ

2

= . Докажем, что для любых ρ1, ρ2 n

ρ

верно

также,

что

D0

I D0

= .

Допустим, что

это

не

так,

тогда

ρ1

ρ 2

127

найдутся		различные		ρ1, ρ2 ÎÃn :		Dρ01 I Dρ0 2 ¹ Æ и		следовательно
найдется		j I	такой, что		ρ1j = ρ 2j .		Рассмотрим	варианты а)
ρ1j = c, ρ	2j	= m;	б)	ρ1j = c, ρ2j	= a; в)	ρ1j	= m, ρ 2j = a .	Все остальные

варианты сводятся к этим трем и кроме этого доказательства вариантов б) и в) аналогичны, поэтому рассмотрим варианты а) и б).

а) для

ρ1 ,

i ÎC(ρ1) , "r¢Î D0

,

G (sM i

,G

−1i

(r¢

)) ³ r¢ ³ G (s Ai

,G−1i

(r¢

))

ρ1

i i

M

−i

i

i i

A

−i

и

для

A2 ,

i ÎC(ρ2 ) ,

"r¢¢Î D0

,

G (sM i ,G−1i (r¢¢ )) < r¢¢ .

И

если

ρ 2

i

i

M

−i

i

D0

I D0

¹ Æ

то

найдется

r Î D0

I D0

.

Из

того,

что

ρ1

ρ 2

ρ1

ρ 2

r Î D

0

, r £ G (s

M i

,G

−1

))

а

из

того,

что

r Î D

0

следует

ρ1

M

i (r

i

i

i

−i

M 2

r £ G (s

M i

,G

−1

(r

)) . Получили противоречие.

i

M

i

i

i

−i

б) Воспользуемся теми же соображениями, что и в а), при этом

неравенства

для r Î D0

и

r Î D0

и

будут выглядеть

следующим

ρ1

ρ 2

образом:

r > G (sM i

,G−1i (r¢

)) ³ G (sAi

,G−1i (r¢

)) > r .

i

i i

M

−i

i i

A

−i

i

Получаем противоречие и случай б) доказан.

Dρ Í Dρ0 ,

Из

части

1)

доказательства

имеем

при

этом

"ρ1, ρ2 ÎÃn выполнено

D01

I D0 2 = Æ . Допустим, что Dρ0 ¹ Dρ

для

ρ

ρ

некоторого

ρ ÎÃn , тогда существует

r Î Dρ0

такой, что r Ï Dρ . Так как

B - разбиение Rn , то найдется ρ¢ÎÃn

такой,

что r Î Dρ′ , но так как

Dρ′ Í Dρ0′ ,

то r Î Dρ0 I Dρ0′

и

D01 I D0 2

¹ Æ .

Получили противоречие,

ρ

ρ

значит B = B0 .

Все условия теоремы 3.1.1		выполнены, поэтому соответствующий
g : S ® Rn	прямой механизм	неманипулируем и существует

эквивалентный ему прямой механизм g(s (r)) .

Q. E. D.

128

Лемма 1. Пусть A			- квадратная матрица размерности n× n . Для
заданного	вектора	γ ÎÃт−1 определим			квадратную	матрицу Aγ
размерности n× n как матрицу,				составленную из элементов матрицы
AI|C(γ ) и	EI|−C(γ ) ,	где	AK|J ,	K, J I	обозначает	подматрицу

размерности K ´ J матрицы A со столбцами, соответствующими

элементам множества J , и строками, соответствующими элементам множества K .

Справедливо следующее равенство

A

- Aγ

[Aγ

]−1 A

= det(AC(γ )U{i}|C(γ )U{i}) .

{i}|{i}

{i}|I \{i}

I \{i}|I \{i}

I \{i}|{i}

det(AC(γ )|C(γ ) )

Доказательство.

ì(-1)il + jk M

l, k

(A

)

[Aγ

]−1

ï

C(γ )|C(γ )

, l ÎC(γ );

=

ï

det(A

)

I \{i}|I \{i} k, l

í

C(γ )|C(γ )

ï

ï(-1)il + jk δ

l, k

, l ÎC(γ ).

î

Тогда A

− Aγ

[Aγ

]−1 A

=

{i}|{i}

{i}|I \{i}

I \{i}|I \{i}

I \{i}|{i}

(-1)il + jk M

l, k

(A

)

= ai, i - å ai, k

C(γ )|C(γ )

al, i

=

det(AC(γ )|C(γ ) )

k C(γ )

l C(γ )

(−1)il + jk M

l, k

(A

)

det(A

)

= ai, i − å

ai, k

C(γ )|C(γ )

al, i =

C(γ )U{i}|C(γ )U{i}

.

det( AC(γ )|C(γ ))

det(AC(γ )|C(γ ))

k C(γ )

l C(γ )

Q.E.D.

Теорема 3.4.1. Пусть функции полезности

АЭ

из множества

I

обобщенно однопиковые, процедура планирования

g : S ® Rn

дважды

непрерывно

дифференцируема в

S , для

любых

ρ ÎÃn

и

~

−C(ρ)

~

s−C(ρ) Î[0,1]

функции gC(ρ) (sC(ρ)

, s−C(

ρ) ) глобально обратимы на

множестве

s

Î[0, 1]

C(ρ)

,

матрица

Якоби

J (s) =

∂gi

(s)

имеет

C(ρ)

∂s j

положительные диагональные

миноры

для

всех

s S .

Тогда

для

129

механизма, определяемого S = [0,1]n и процедурой g : S → Rn , существует эквивалентный прямой механизм. Þ Доказательство. 1) Проверим выполнение условия С.1. Рассмотрим произвольный вектор r Rn и произвольный ρ n и пусть

rC(ρ) gC(ρ) (s−ρC(ρ), [0, 1]C(ρ) ) .

Уравнение rC(ρ) = gC(ρ)(s−ρC(ρ), sC(ρ)) имеет единственное

решение в силу условия теоремы.

Тогда соответствие

g(s−ρC(ρ), gρ−1(rC(ρ)))

однозначно и условие С.1 выполнено.

2) Проверим выполнение условия С.2. Доказательство проведем по индукции. Легко показать, что для механизмов g(s) с одним АЭ, удовлетворяющих условиям теоремы, условия С.1-С.3 выполнены. Пусть

для механизмов

g

I \{i}

(sAi

, s

I \{i}

) ,

g

I \{i}

(sM i , s

I \{i}

)

с количеством АЭ

i

i

I

−1

условия С.2-С.3 выполнены. Докажем,

что для механизма

g(s) ,

удовлетворяющего условиям теоремы, выполнены условия С.2-С.3.

Рассмотрим механизм

g

I \{i}

(sAi , s

I \{i}

)

и

векторы

состояний

i

γ n−1

для

этого

механизма. Тогда

по

теореме

1

для

механизма

g

(s

Ai

, s

)

множества диктаторства

D

,

n−1

нормальны

и

I \{i}

I \{i}

γ

i

γ

образуют разбиение Rn−1 .

Допустим,

существует

r

Rn−1

такой,

что

G(sAi

, G−1i

(r

))

−i

M

−i

неоднозначно. Так как множества

диктаторства

образуют

разбиение

Rn−1 , то существует единственный вектор состояний γˆ n−1

такой, что

r

Dˆ = G(S

ˆ ) . Тогда система уравнений

−i

γ

γ

r

=

g

(sA

i

, s

ˆ

) + E

(s

ˆ

)

I \{i}

, sγ

ˆ

I \{i}|−C(γˆ)

−C(γˆ)

− sγ

ˆ

−i

i

C(γˆ)

−C(γ )

−C(γ )

имеет несколько различных решений. Найдем решение подсистемы данной системы уравнений:

rC(γˆ) = gC(γˆ)(siAi , sC(γˆ), sγ−ˆC(γˆ) ) .

130