Петраков С.Н. Механизмы планирования в активных системах - неманипулируемость и множества диктаторства. М., 2001. 135 с

В силу условий теоремы данная подсистема уравнений имеет

единственное решение, т.е.

существует единственный

sˆ

ˆ

такой, что

C(γ )

rC(γˆ) = g(siM

i

ˆ

ˆ

, sˆC(γˆ)) . При этом однозначно определяется решение

, sγ

−C(γ )

подсистемы

r

= g

(sM

i

ˆ

, sˆ

)

+ sˆ

ˆ

−C(γˆ)

, sγ

ˆ

- sγ

ˆ

−C(γˆ)

i

C(γˆ)

−C(γˆ)

−C(γ )

−C(γ )

sˆ−C(γˆ) = g−C(γˆ)(siM

i

ˆ

, sˆC(γˆ) )

- r−C(γˆ)

ˆ

.

, sγ

ˆ

- sγ

ˆ

−C(γ )

−C(γ )

Таким образом, уравнение

i

ˆ

) + EI \{i}|−C(γˆ)(s−C(γˆ)

ˆ

)

r−i = gI \{i}(siA

, sC(γˆ), sγ

ˆ

- sγ

ˆ

−C(γ )

−C(γ )

имеет единственное решение и отображение G(sM i , s−i )

глобально

обратимо,

а

значит,

G(s

M i

, G

−1

))

однозначно.

Аналогично

M

i (r

−i

доказывается однозначность соответствия G(s

Ai

, G

−1

(r

)) .

A

−i

3) Необходимо доказать, что "i Î I, "s Î R2 : s Î[0,1]

выполнено

i

G (s

M i

, G

−1

(G

i

(s))) ³ G (s)

³ G (s

Ai

, G

−1

(G

i

(s))) .

M

i

)

A

i

)

i i

C(M

i

i i

C(A

Рассмотрим набор промежуточных поверхностей

æ

Ai

n

ö

n−1

Gçs

i

+

, s

i

÷ ,

s

i

Î[0, 1]

m

è

C(A

)

ø

C(A

)

æ

i

n +1

ö

и докажем,

что

поверхность

GçsA

+

, s

i

÷

лежит выше

m

è

i

C(A

)

ø

æ

i

n

ö

поверхности Gçs A

+

, s

i

÷ , т.е. для любых

i I

и s Î

m

è i

C(A

)

ø

s Î

é n

,

n +1ù

выполнено неравенство

ê

ú

i

ë m

m û

æ

n +1

(G i

G

çs Ai

+

, G−1

i ç

i

m

i

ç

s A

+ n+1 C(M )

è

m

æ

n

³ G

ç s Ai

+

, G−1

i ç i

m

i

ç

s A +

è

Rn таких, что

)ö

(s) ÷÷ ³ Gi (s) ³

÷

ø

	(G			ö
n		i	)	(s))÷÷ .
	C( A			÷
m				ø

131

Рассмотрим

некоторый

фиксированный

s−i Î Rn−1

и

найдем

разность

æ

i

n

ö

ç

A

−1

÷

D(s−i , si ) = Gi (s−i , si ) - Gi çsi

+

, G Ai

n (GC(Ai ) (s−i , si ))÷ .

m

+

è

s

m

ø

В силу того,

что для любого

sI \{i} Rn−1

найдется единственный

γ ÎÃn−1 такой, что s

I \{i}

Î S

,

γ

æ

n öæ

n

ö

æ

n

ö2

æ

n ö

J

ç s

,

֍s

-

÷ - M

ç s

-

÷ £ G(s

, s ) - Gçs

,

÷ £

m

m

m

m

I|{i}è

I \{i}

øè

i

ø

1è

i

ø

I \{i}

i

è

I \{i}

ø

æ

, sγ

n

öæ

n

ö

æ

n ö2

£ J

ç s

,

֍ s -

÷

+ M

çs

-

÷ .

m

m

I|{i}è

C(γ )

−C(γ )

m øè

i

ø

1

è i

ø

Рассмотрим

механизм

планирования

с

n −1

АЭ,

определяемый

æ

n ö

[0, 1]n−1 .

процедурой планирования

gˆ(sI \{i}) = gI \{i}çsI \{i},

÷ ,

sI \{i}

m

è

ø

Механизм

планирования

gˆ(sI \{i}) ,

sI \{i} [0, 1]n−1

удовлетворяет

условиям

теоремы,

и

в

силу

индуктивного

предположения

G(s ) = G ç s

Ai

+

n

, s

÷

соответствующая

ему

функция

ˆ

æ

ö

I \{i}

I \{i} è i

m I \{i} ø

удовлетворяет

С.1-С.3.

Множества

диктаторства

механизма

gˆ(sI \{i})

ˆ

ˆ

нормальны и Dγ

= G(Sγ ) .

é n

n +1ù

(s

, s )

ˆ

Пусть для некоторого s Î

,

G

−i

Î D

ˆ , где вектор

ê

ú

I \{i}

i

m

i

γ

ë m

û

γˆ ÎÃn−1

существует

и

единствен

в

силу

того,

что

выполнено

С.2.

ˆ

γ

ˆ

γ

GC(γˆ) (s) = gC(γˆ)(sC(γˆ)

, s

ˆ

ˆ

) ,

G−C(γˆ) (s) = g−C(γˆ) (sC(γˆ), s

ˆ

ˆ

) +

−C(γ )

−C(γ )

ˆ

) .

В силу того, что функция

G(s−i , si )

непрерывна и

+ (s−C(γˆ) - sγ

ˆ

−C(γ )

æ

i

n

ö

возрастает

по

s ,

а

функция

Gçs A

+

, s

i

÷

глобально

обратима,

m

i

è

i

C(A

)

ø

	ˆ	ì				é n			n +1ù
множества точек	Sγ =	í	s	i	Î	ê		,		ú
									m
		î				ëm				û

					ü
G(s		ˆ				являются
	, s )Î Dˆ ý
−i	i		γ		þ

132

объединением

замкнутых,

непересекающихся

отрезков

[sk , sk +1] Í

é n

,

n +1

ù

,

k ÎQ , sk

< sk +1

[11].

ê

i

i

m

ú

i

i

ëm

û

Пусть

отрезок

[si0, si1]

таков,

что

для

любых

si Î[si0, si1]

ˆ

0

1

γ

G(s

I \{i}

, s )Î Dˆ

и s

i

и s

i

являются граничными точками множества S

ˆ

.

i

γ

r0

= G

0 ) ,

æ

n

ö

Обозначим

(s

−i

, s

в силу однозначности G

çs

,

÷

m

I \{i}

I \{i}

i

I \{i}

è

I \{i}

ø

æ

n

ö

существует и единствен

s0

S

ˆ

такой, что

r0

= G

çs0

,

÷ .

В

I \{i}

I \{i}

I \{i}è I \{i} m ø

γ

силу того, что

g(s)

дважды непрерывно дифференцируема на компакте,

¢

> 0

и

окрестность

¢

> 0

такие,

что

для

существуют константа M2

δ2

0

любого r ÎU

ˆ

ˆ

выполнена следующая оценка

δ

′ (rI \{i}) I D

2

γ

é

ˆ

n

ù

−1

G−1

n

(r

) - s0

£

ê

J

γ

(

, s0

)

ú

(r

- r0

) +

m

Ai

I \{i}

I \{i}

I \{i}|I \{i}

I \{i}

I \{i}

I \{i}

si

+

ë

û

m

2 .

′

0

+ M2 (rI \{i} − rI \{i})

Аналогично, найдутся M2 > 0

и окрестность δ2 > 0

такие, что для

любых s Î

é n

,

n +1

ù

,

1

< δ

будет справедлива следующая оценка:

ê

2

i

m

ú

m

ë m

û

æ

n

ö

G−A1i

n (GI \{i}(s))- ç

, sI0\{i} ÷

£

si

+

è m

ø

m

öù−1

é

ˆ

æ n

é

æ

n

öù

£

ê

Jγ

ç

, s

I \{i}

÷

ú

ê

J

I \{i}|I \{i}

ç

, s

I \{i}

÷

ú

(s - s0) +

I \{i}|I \{i}

è m

è m

i

i

ë

øû

ë

øû

+ B

(s0

− sˆ

I \{i}

)(s

i

− s0) + M

2

(s − s0 )2 ,

I \{i}|I \{i}

I \{i}

i

i

i

где

BI \{i}|I \{i}

- матрица с элементами,

ограниченными константой, не

зависящей от sI \{i} .

Аналогично, найдутся M2 > 0

и окрестность δ3 > 0

такие, что для

любых s Î

é n

,

n +1

ù

,

1

< δ

будет справедлива следующая оценка:

ê

3

i

m

ú

m

ë m

û

133

æ

(G

(s)),

ö

æ n

ö

G

ç

G

−1

n ÷

£ G

, s0

+

I \{i}

÷

ç

÷

i ç

i

n

m

i

è m

I \{i}

ç

siA +

÷

ø

m

è

ø

é

ˆ

æ n

öùé

ˆ

æ

n

öù−1

é

æ n

öù

+ êJ{γi}|I \{i}ç

, sI \{i}

÷úêJIγ\{i}|I \{i}ç

, sI \{i}

÷ú

êJI \{i}|I \{i}ç

, sI \{i}

÷ú

(si - si0 ) +

ë

è m

øûë

è m

øû

ë

è m

øû

+ C

(s

0

- sˆ

I \{i}

)(s - s0 ) + M

3

(s

i

- s0 )2

,

{i}|I \{i}

I \{i}

i

i

i

где g(s)

- матрица с элементами, ограниченными константой, не

зависящей от

.

A

Тогда

0

æ

n

ö

0

D(s

−i

, s

) - D(s

−i

, s

) ³

J

ç

, s

÷(s

- s

)

-

i

i

{i}|{i} è m

I \{i} ø

i

i

- J

γˆ

æ n

, s

öé

Jγˆ

æ n

, s

öù−1

J

æ n

, s

ö

(s - s0 ) -

ç

I \{i}

÷

ê

ç

I \{i}

÷

ú

I \{i}|I \{i}

ç

I \{i}

÷

{i}|I \{i}

è m

I \{i}|I \{i}

è m

è m

ø

i

i

øë

øû

-C{i}|I \{i}(s0I \{i} - sˆI \{i})(si - si0 ) - (M1 + M3)(si - si0)2 .

Всилу того, что все диагональные миноры матрицы J (s) положительны, отображение g(s) непрерывно дифференцируемо, а

множество

S

замкнуто,

найдутся

константы

A

и A такие, что для

любого подмножества АЭ

K I

для диагональной матрицы JK

K (s)

выполнены следующие ограничения: A £ JK

K (s) £

,

s S .

A

Выберем число промежуточных поверхностей m таким образом,

æ

ö

1

ç

1

A

1

1

A

1

÷

< minçδ

¢

÷ , тогда для всех

что

,

,

m

2, δ2, δ3

4 A n max

C

ç

4 A M3 + M1

÷

è

j I \{i}

i, j

ø

отрезков [s0

, s1] Î S ˆ

справедлива следующая оценка:

i

i

γ

D(s−i, s1i ) - D(s−i, si0) ³

æ

æ

, sγ

n ö

ö

det ç J

I|{i}

çs

C(γ )

,

÷

÷

ç

−C(γ )

÷

1

è

è

m øC(γ )U{i}|C(γ )U{i} ø

Ds > 0 .

2

æ

æ

, sγ

n ö

ö

i

det ç J

I|{i}

çs

,

÷

÷

ç

è

C(γ )

−C(γ )

m øC(γ )|C(γ )

÷

è

ø

134

Таким образом, на каждом из множеств Sγˆ , γ ÎÃn−1 приращение

(s−i , s1i )

строго положительно, откуда в

силу непрерывности G(s)

получаем, что для любого sI \{i} Rn−1

выполнено неравенство

æ

A

i

n +1

−1

ö

æ

i n

−1

ö

ç

÷

ç A

÷

Giç si

+

, G Ai

n+1

(GC(M i ) (s))÷

³ Gi (s) ³ Gi ç si

, G Ai

n

(GC(Ai )

(s))÷

m

+

m

+

è

s

m

ø

è

s

m

ø

,

x = g(s) ,

s S

из

которого

следует,

что для механизма

выполнено

условие С.3, для этого механизма выполнены условия теоремы 1 и для него существует эквивалентный прямой механизм.

Q.E.D.

135