25

Лекция 1.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. «Наука», М.,1971.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. «Наука»,М.,1969.

3.Гусак А.А. Высшая математика в 2-ух томах. ТетраСистемс, Минск, 2003.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1, т.2, «Наука».

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. «Наука» М., 1980.

6.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ух частях. «Высшая школа». М., 1986.

7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник. «Наука», М.,1982.

8.Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Кожухов И.Б. и др. Сборник задач по математике для втузов. В 4-ех частях. Изд-во физ.-мат. литературы, М., 2003.

9. Добронец Б.С., Носков М.В. и др. Под общ. ред. Гульновой Б.В. Высшая математика. Линейная и векторная алгебра, элементы аналитической геометрии: Учебное пособие КГТУ. 2001.

10. Загибалов В.И., Петрова В.Г., Широкова О.Д. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебное пособие, Красноярск, КГТУ, 1999.

Глава 1. Линейная алгебра.

§1. Матрицы и действия над ними.

1.1. Понятие матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений, содержащая некоторое количествоmстрок и некоторое количествоnстолбцов. В этом случае говорят, что матрица имеет размерностьmn.

Обозначения:

А==

Числа a_ijназываются элементами матрицы. Первый индексi означает номер строки, а второй индексj - номер столбца.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов.

А=

При этом число nназываетсяпорядкомматрицы. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний (a₁₁,a_22,...,a_nn). Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний (a_n1,a_(n-1)2,…,a_1n).

Примеры: (просто матрица и квадратная матрица).

Матрица, содержащая один столбец , называетсяматрицей-столбцом. Матрица, состоящая из одной строки, называетсяматрицей-строкой.

Треугольнойматрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

А=А=

верхняя треугольная матрица нижняя треугольная матрица

Матрица произвольных размеров

, гдеа_ii≠0 (i= 1,2,…r),a_ik=0 приi>rназываетсяквазитреугольной (ступенчатой или трапецевидной).

Две матрицы А=(а_ij)иB=(b_ij)называютсяравными, если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны, т.е.а_ij=b_ij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n).

Нулевой матрицейО называется матрица, у которой все элементы равны нулю.Единичной матрицейЕ называется квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, а все остальные нулю.Диагональной матрицей называется матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю. Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны, называетсяскалярной.

Пример: О=,Е=С=,D=

1.2. Основные операции над матрицами и их свойства.

а) Сложение матриц.Суммойдвух матрицА=(а_ij)иB=(b_ij) (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n) одной и той же размерности называется матрицаС=(с_ij) (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n) той же размерностиmn, элементы которой равныc_ij=a_ij+b_ij .Для обозначения суммы двух матриц используют запись:C=A+B.

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1. A+B=B+A (переместительное)

2. (A+B)+C=A+(B+C) (сочетательное).

Разность матриц определяется следующим образом: С=А–В=А+(–1)В

Пример:

б) Умножение матрицы на число. Произведением матрицыА=(а_ij)на вещественное число α называется матрицаС=(с_ij)(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), элементы которой равныс_ij=α а_ij. (i=1,…,m,j=1,…,n). Для обозначения произведения матрицы на число используют запись:C=αA (C=Aα).

Свойства операции умножения матрицы на число:

1. сочетательное свойство относительно числового множителя (αβ)А=α(βА);

2. распределительное свойство относительно суммы матриц α(А+В)=αА+αВ;

3. распределительное свойство относительно суммы чисел (α+β)А=αА+βА.

Пример:

в). Перемножение матриц.Произведением матрицыА=(а_ij)(i=1,m,j=1,n) размерностиmnна матрицуB=(b_ij)(i=1,n,j=1,l) размерностиnlназывается матрицаС=(с_ij)(i=1,m,j=1,l), имеющая размерностьml, элементы которой определяются по формуле:

c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_nj=i=1,m,j=1,l. , т.е. элементc_ij равен сумме произведений элементовi-й строки матрицыАна соответствующие элементыj-го столбца матрицыВ.

Для обозначения произведения матриц используют запись C=AB.

Перемножаются только те матрицы, у которых число столбцов первой равно числу строк второй.

Свойства:

1. (АВ)С=А(ВС) (сочетательное);

2. распределительное относительно суммы матриц (А+В)С=АС+ВС;

Произведение двух матриц не обладает перестановочным свойством, т.е. АВ≠ВА. ЕслиАВ=ВА, то такие матрицы называютсяперестановочными.

Пример:

В силу сказанного выше AE=EA=Е, AO=OA=O.

г). Транспонирование матриц. Транспонированием матрицыАназывается такая операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. ОбозначениеС=А^т.

Свойства:

1. (А+В)^т=А^т+В^т;

2. (АВ)^т=В^т А^т;

3. (αА)^т=αА^т.

Пример:

Лекция 2.