§2. Определители.

2.1. Понятие определителя.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка n

А=

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие числовую характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Обозначение ∆=detA=|A|=(1)

Если порядок матрицы А n=1, то есть А=(a₁₁), то определителем первого порядка, соответствующим такой матрице, называется величина этого элемента, т.е. |A|= a₁₁.

Если n=2, то есть матрица А имеет видА=, то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, называется числоa₁₁a₂₂–a₂₁a₁₂,т.е. определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали.

Т.о. по определению ∆=det A=|A|== a₁₁a₂₂–a₂₁a₁₂.

Пример: А=|А|==1·3–(–1)·2=5

Если n=3, то естьA=, то определителем 3-го порядка этой матрицы называется число, равное

=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃–а₃₁а₂₂а₁₃–а₂₁а₁₂а₃₃–а₁₁а₂₃а₃₂.(2)

Правила вычисления определителей третьего порядка:

1) правило треугольника:

=–

2). правило «дождика»

– – – + + +

Пример: =1·4·8+2·5·6+3·3·7–6·4·3–3·2·8–1·5·7=32+60+63–72–48–35=155–155=0

=0

Минором М_ij некоторого элементаа_ijопределителяn-го порядка (1) называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Пример: |A| =M₃₂=M₂₁=

|A| =M₃₂==5–9=–4

Алгебраическим дополнением А_ijэлементаа_ijназывается минор этого элементаМ_ij, умноженный на (–1)^i+j, т.е.А_ij=(–1)^i+j М_ij.

Пример: |A| =А₃₂=(–1)³⁺²= –

А₂₁=(–1)²⁺¹= – |A| =А₃₂=–=–(5–9)=4

Используя эти понятия определитель 3-го порядка можно записать следующим образом:

|A| ==а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃– разложение определителя 3-го порядка по 1-ой строке. Если расписать в этой формуле каждое алгебраическое дополнение и раскрыть скобки, то получится формула (2).

Задание: проверить это равенство самостоятельно.

Пример: = 0.

Замечание: Разложение определителя можно проводить по любой строке или столбцу.

Определителем квадратной матрицы А=(а_ij)n-го порядка называется число

∆=detA=|A|===

разложение по разложение по

элементам i-й строки элементамj-го столбца

2.2. Свойства определителей.

Сформулируем и докажем эти свойства для определителей 3-го порядка. Они справедливы и для определителей любого порядка.

1. Определитель не меняется, если его строки и столбцы поменять местами. Это свойство устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. Поэтому в дальнейшем для краткости все свойства будут сформулированы для столбцов (для строк то же самое).

=.(посчитать левый и правый и сравнить)

2. При перестановке двух столбцов местами определитель меняет знак.

= –(посчитать левый и правый и сравнить)

3. Определитель, содержащий два одинаковых столбца равен нулю.

= (по второму св-ву) –, т.е. ∆=–∆, 2∆=0, ∆=0.

4. Если все элементы какого-либо столбца определителя умножить на некоторое число k, то определитель умножится на это число. (Общий множитель какого-либо столбца можно вынести за знак определителя).

=k(посчитать левый и правый и сравнить)

5. Если элементы двух столбцов пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

=⁴⁾k=³⁾0

6. Если элементы какого-либо столбца определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

=+(посчитать левый и правый и сравнить)

7. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на любое число.

∆ = =

=⁶⁾⁴⁾+k=+k0 = ∆

8. Определитель, содержащий столбец нулевых элементов равен нулю. Это св-во вытекает из 4 при k=0.

9. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: |А·В|=|А|·|В|.

10. Сумма произведений элементов столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения другого столбца равны нулю, т.е. a_j1A_i1+a_j2A_i2+a_j3A_i3=0 (i=1,3;j=1,3;i≠j)

По определению ∆= а_i1А_i1+а_i2А_i2+а_i3А_i3. НоA_i1, A_i2, A_i3не зависят отa_i1. a_i2, a_i3 (элементовi-й строки) и если вi-й строке записать элемент другой строки, например,j-й, то получим определитель с двумя равными строками, который равен 0 по свойству 3.

Лекция 3