- •Глава 1. Линейная алгебра.
- •§1. Матрицы и действия над ними.
- •1.1. Понятие матрицы
- •1.2. Основные операции над матрицами и их свойства.
- •§2. Определители.
- •2.1. Понятие определителя.
- •2.2. Свойства определителей.
- •§3. Обратная матрица.
- •3.1. Понятие обратной матрицы. Теорема об обратной матрице.
- •3.2. Метод элементарных преобразований.
- •§4. Системы линейных уравнений. Методы решения.
- •4.1. Понятие системы линейных уравнений.
- •4.2. Матричный способ решения слу.
- •4.3. Формулы Крамера.
- •§5. Ранг матрицы. Теорема кронекера-капелли. Решение произвольных методов гаусса. Однородные системы.
- •5.1.Ранг матрицы.
- •5.2. Методы нахождения ранга матрицы.
- •5.3. Теорема Кронекера-Капелли.
- •5.4.Решение произвольных систем методом Гаусса.
- •5.5. Однородные системы.
- •§6. Линейные и евклидовы пространства.
- •6.1. Понятия вектора, линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость векторов. Базис.
- •6.3. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
6.3. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, по которому любым двум векторамставится в соответствие действительное число, обозначаемое (), и эта операция подчиняется следующим аксиомам:
1) ()=(),
2) ,
3) ,
4) еслии, если.
Длиной вектора называется число ||=(модуль вектора). ||>0, еслии ||=0, если.Углом между векторамииназывается число. Если один из векторов нулевой, то угол не определен.Расстоянием между векторамииевклидова пространства называется неотрицательное число.
Теорема 1:Для любых двух векторов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского:.
Доказательство:Рассмотрим вектор. Из 4) следует(действительное число).=. Это неравенство второй степени относительносправедливо для любыхи.. (Так как квадратный трехчлен относительнопринимает неотрицательные значения при любомтогда и только тогда, когда).
Следствие:.
Два вектора иевклидова пространства называютсяортогональными, если. Обозначение. Нулевой вектор ортогонален любому вектору пространства.Система векторовназываетсяортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.
Базис евклидова пространства называетсяортонормированным, если
и.
Любой вектор в евклидовом пространстве, заданный в ортонормированном базисе, может быть представлен единственным образом. Длина вектораВектор евклидова пространства называетсянормированным, если его длина равна 1, обозначаетсяего координаты равны=.
Пусть даны два вектора ив евклидовом ортонормированном пространстве. Тогда:
1) ,
2) – условие коллинеарности векторов,
3) условие ортогональности векторов,
4)
Пример 1: Система координатXOYповернута относительно начала координат на угол. Обозначим новую систему черезX1OY1и выразим координаты векторав новой системе через его координатыв старой системе. Проекция векторана ось ОXравнаcos, на ось ОY–sin.
Пример: 1)
2)