8. Точные и итерационные методы

Методы решения линейных уравнений установившегося режима можно разделить на две группы: точные (или прямые) и итерационные (или приближенные).

Точными или прямыми методами называются такие, которые в предположении, что все вычисления ведутся точно (без округлений), позволяют получить точные значения неизвестных в результате конечного числа операций. Практически все вычисления ведутся с округлениями, поэтому и значения неизвестных, полученных точным методом, будут содержать погрешности. Из точных методов ниже рассмотрим метод Гаусса и решение линейных уравнений установившегося режима с помощью обратной матрицы.

Итерационными (приближенными) методами называют такие, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы уравнений лишь с заданной точностью Точное решение системы в случае применения итерационных методов может быть получено теоретически как результат бесконечного итерационного процесса. В данной главе рассмотрим два итерационных метода: простую итерацию и метод Зейделя. Эти методы не всегда сходятся при решении линейных уравнений установившегося режима.

Точные методы решения системы линейных уравнений установившегося режима сложных электрических систем при большом числе неизвестных могут оказаться трудно реализуемыми. При расчетах режимов сложных электрических систем метод исключения Гаусса и тем более применение обратной матрицы может привести к необходимости использования большого объема памяти ЭВМ или недопустимой длительности расчетов. В этих условиях для расчета установившегося режима иногда удобнее использовать приближенные или итерационные методы, часто называемые методами последовательных приближений.

Итерационные методы дают возможность получить последовательность приближенных значений неизвестных, сходящуюся к точному решению системы. Если элементы матрицы В удовлетворяют определенным условиям, то процесс простой итерации сходится к точному решению системы Uпри любом начальном значенииU⁽⁰⁾. Сходимость к решению означает, что

(57)

Т

(58)

аким образом, точное решение получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса. Всякий векторU⁽ⁱ⁾, определяемый наi-м шаге, является приближенным решением системы (47). Вектор погрешности этого приближенного решения равен

П

(59)

ри практических расчетах точное решение системы неизвестно и о погрешности решения судят не поe⁽ⁱ⁾, а по разности между значениями переменных наi-м и(i+l)-м шагах, т. е. по вектору поправок

Часто считают, что итерационный процесс сошелся, если поправки для всех переменных меньше наперед заданной величины е, т. е. при

(60)

где п — порядок решаемой системы.

В

(61)

общем случае это не всегда верно. О сходимости следует судить не только по поправкамUk, но и по невязкам. Невязка для первого уравнения системы (47), соответствующая значению напряжений наi-м шагеU₁⁽ⁱ⁾,U₂⁽ⁱ⁾ , U₃⁽ⁱ⁾, равна результату подстановки этих напряжений в первое уравнение системы, т. е.

Невязка уравнений узловых напряжений соответствует небалансам тока в узлах.

Если подставить в (61) U₁, U₂, U₃— точное решение системы (47), то невязкаp₁равна нулю. Более того, в этом случае равны нулю и невязки р₂, р_здля второго и третьего уравнений системы (47). Если итерационный процесс еще не сошелся(U₁⁽ⁱ⁾ , U₂⁽ⁱ⁾ , U₃⁽ⁱ⁾ -приближенное решение), то невязкиp₁⁽ⁱ⁾, p₂⁽ⁱ⁾ , р_з⁽ⁱ⁾не равны нулю. Чем дальше значения напряженийU_k⁽ⁱ⁾ от решения, тем больше небаланс тока. Вектор невязок, т. е. небалансов тока, равен результату подстановки вектораU⁽ⁱ⁾в систему (47), т. е.

(62)

г

(63)

деY_yиI— матрица и вектор-столбец системы (47). Если итерационный (процесс сошелся, то всеp_k⁽ⁱ⁾должны быть меньше наперед заданной величины, т. е.