10. Нелинейные уравнения узловых напряжений

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока (§ 1.2, 1.3).

В схеме замещения электрической системы нелинейным источникам тока соответствуют генераторы с постоянной мощностью либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью. Постоянная мощность нагрузки потребителя или генератора задается в виде узлового тока

(75)

где S_k^*=const- постоянная мощность трех фазk-гo узла;U_k^* — сопряженный комплекс междуфазного напря-женияk-гоузла;I_k(U)—нелинейный источник тока, зависящий от напряжения.

Если мощность нагрузки потребителя задана статической характеристикой, то нелинейный источник тока определяется следующим выражением:

(76)

где P_k(U), Q_k(U) - статические характеристики активной и реактивной нагрузокk-гоузла.

Нелинейные уравнения узловых напряжений при задании постоянной мощности нагрузки потребителей и генераторов в узлах для системы переменного тока из четырех узлов запишем в виде, аналогичном (48):

(77)

В

(78)

матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид, аналогичный (55):

где Y_y— комплексная матрица собственных и взаимных узловых проводимостей;I(U) -вектор-столбец задающих токов,k-й элемент которого определяется выражением (3.1);Y_бU_б- вектор-столбец,k-й элемент которого равенY_kбU_б; U_б- заданное напряжение балансирующего узла.

Каждое из записанных уравнений (77) соответствует балансу комплекса тока в узле. Поэтому будем называть (77) и (78) уравнениями узловых напряжений в форме баланса токов. Система трех комплексных уравнений узловых напряжений (78) может быть заменена системой из шести действительных уравнений, аналогичных (47). Три действительных уравнения соответствуют балансу вещественных составляющих токов в узлах, а три - ба лансу (мнимых составляющих.

Уравнения (77) записаны для трех независимых узлов, в каждом из которых заданы Р и Qнагрузки. В систему (77) не входит уравнение балансирующего (четвертого) узла.

Если один из узлов — балансирующий по реактивной мощности, то его уравнение баланса мнимых составляющих токов не входит в число независимых уравнений узловых напряжений. В общем случае .может быть не один, а несколько балансирующих узлов. После решения системы независимых уравнений все Р_г иQ_гдля балансирующих узлов иQ_rдля узлов, балансирующих пoQ, определяются из уравненийбаланса токов для этих узлов, не входящих в число независимых уравнений узловых напряжений.

Часто используются уравнения узловых напряжений в форме баланса мощности, которые можно получить, если каждое уравнение баланса токов (77) умножить на сопряженный комплекс напряжения соответствующего узла. Узловые уравнения баланса мощности для системы переменного тока из четырех узлов можно записать следующим образом:

(79)

Систему (79) можно записать в матричной форме следующим образом:

(80)

где U^*_диаг- диагональная матрица,k-й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряже-нияk-го узла;S* — вектор-столбец сопряженных мощностей в узлах,k-й элемент которого равен заданной сопряженной мощностиk-го узла.

Матричное уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей (80) можно (получить в результате умножения матричного уравнения баланса токов (3.4) слева на диагональную матрицу U*_диаг. Чтобы получить алгебраическое уравнение баланса мощностей, необходимо уравнение баланса токов умножить на сопряженный комплекс напряжения узла.

Н

(81)

елинейные уравнения установившегося режима в самой общей форме можно записать в виде системы неявных функций

где W- вектор-функция;XиY—вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.

Эти уравнения связывают между собой параметры установившегося режима электрической системы. Часть параметров режима задана (независимые переменные). Обозначим вектор-столбец независимых переменных при расчете установившегося режима Y. Остальные (зависимые) переменные могут быть найдены из уравнений установившегося режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменныхX. Число зависимых переменныхX_k равно числу уравнений установившегося режима. Это означает, что вектор-функцияWи вектор-столбецXимеют одинаковый иорядок. В зависимости от постановки задачи и способов задания исходных данных в состав векторов независимых и зависимых переменныхYиXмогут входить разные параметры режима.

Разделение параметров режима на зависимые и независимые переменные играет важную роль при оптимизации режимов, при определении предельных по статической апериодической устойчивости режимов и при исследовании существования и единственности решения уравнений установившегося режима.

При расчетах установившегося режима вектор независимых переменных задан, т. е. Y=const. Нелинейную систему уравнений установившегося режима можно записать в следующем виде, вытекающем из (81) приY=const:

(82)

Число уравнений в этой системе равно числу зависимых переменных х, т. е. равно порядку вектораX. В результате решения уравнений установившегося режима (82) можно найти все зависимые переменныех.

Выше рассматривались нелинейные уравнения узловых напряжений. Уравнения установившегося режима (81) или (82) могут быть записаны и в виде нелинейных контурных уравнений. Все рассматриваемые методы могут использоваться и в этом случае. Однако, нелинейные контурные уравнения оказались менее эффективными при расчетах и оптимизации режимов на ЭВМ, чем уравнения узловых напряжений.

Точных методов, пригодных для решения нелинейных алгебраических уравнений, не существует. Система нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов обладает следующей особенностью. Эта система уравнений линейна слева и нелинейна в правой части. Сравним линейные уравнения узловых напряжений (48) и нелинейные (78). Левые части их одинаковы и равны произведению матрицы проводимостей узлов на вектор-столбец переменных — напряжений узлов.

Именно в этом смысле нелинейная система уравнений узловых напряжений в форме баланса токов, линейна слева. Нелинейность системы (78) состоит только в наличии нелинейных правых частей. Физически эта особенность определяется тем, что все параметры схемы замещения электрической системы линейны, кроме источников токов I_k(U_k). Иногда говорят, что продольная часть схемы замещения линейна, а поперечная нелинейна.