11. Применение метода Зейделя для решения нелинейных уравнений узловых напряжений

Метод Зейделя может применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (77) аналогично тому, как они применялись для решения линейной системы алгебраических уравнений (64) или (65) и (66).

Все различие состоит в том, что вместо (постоянных величин b_k в итерационных процессах (65) или (66) при решении нелинейных уравнений узловых напряжений (77) необходимо использовать нелинейные токи в узлах. По методу простой итерации(i+l)-eприближение напряженияk-roузла определяется следующим выражением:

(83)

где - нелинейная функция, определяющая итера-ционный процесс простой итерации.

Если использовать вектор-функцию ф(U),k-й элемент которой равенф_k(U), то вектор-столбец узловых напряжений по методу простой итерации определяется с помощью следующего итерационного процесса, записанного в векторной форме:

(84)

Метод Зейделя отличается тем, что найденное приближение узлового напряжения сразу же используется для определения напряжений других узлов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением, аналогичным (66):

(85)

где - нелинейная функция, описывающая итера-ционный процесс Зейделя.

При решении уравнений установившегося режима на ЭВМ обычно используется метод Зейделя как обладающий более надежной и быстрой сходимостью, чем простая итерация. В расчетах на ЭВМ система комплексных уравнений узловых напряжений (78) заменяется действительной системой, аналогичной (47). Соответственно по методу Зейделя определяются вещественные и мнимые составляющие напряжений узлов, т. е.

(86)

где -мнимая и действительная части нелинейной функцииφ_3k (85), описывающей итерационный процесс Зейделя.

Расчетные выражения метода Зейделя легко получить, если разделить мнимую и действительную составляющие в правой части выражения (85). Если использовать вектор-функцию φ _з(U),k-й элемент которой равенφ _3k(U), то можно записать итерационный процесс Зейделя в векторной форме, аналогичной (84).

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная, В значительной степени это связано с особенностями матрицы собственных и взаимных проводимостей узлов, т. е. со свойствами линейной системы узловых напряжений. Условия сходимости и ее скорость при решении линейных уравнений узловых напряжений по методу Зейделя определяются свойствами матрицы 3, характеризующей итерационный процесс [см. (72), (73)]. Сходимость при решении нелинейных уравнений узловых напряжений зависит от свойств вектор-функции φ ₃ (U)определяющей итерационный процесс Зейделя. Нелинейность уравнений установившегося режима существенно замедляет сходимость метода Зейделя и даже приводит к рас ходимости при определении режимов, близких к предельный.

В практических расчетах установившихся режимов на ЭВМ необходимо использовать ускорение сходимости метода Зейделя. Наибольшее распространение здесь получило применение ускоряющих коэффициентов, или метода неполной релаксации. Использование ускоряющих коэффициентов сводится к следующему. Обозначим U_k^(l+l) значение напряженияk-го узла, определенное на(i+l)-м шаге по обычным итерационным формулам (85). Ускоренное(i+l)-eприближение значения напряженияk-го узла определяется по формуле :

(87)

где - поправка по напряжениюk-го узла на (i+1)-м шаге;t - ускоряющий коэффициент.

Значение напряжения, вычисленное с ускорением принима-ется в качестве исходного при расчете следующего, (i+2)-гo шага.

Вслучаеt=1 выражение (87) сводится к , т. е. неуско-ренный итерационный процесс соответствует случаю, когда ускоряющий коэффициентt принимается равным единице.

Метод Зейделя медленно сходится и в ряде случаев расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлением обмотки среднего напряжения и для электрических систем с дальними линиями электропередачи и сильной неоднородностью параметров.

Метод Зейделя также плохо сходится либо расходится в расчетах режимов, близких к предельным, либо при определении режимов, неустойчивых по статической апериодической устойчивости.

Метод Зейделя нашел широкое применение в расчетах установившихся режимов на современных ЭВМ. Основное достоинство метода в том, что он легко программируется и требует малой памяти ЭВМ. Недостаток метода - в медленной сходимости.