9. Метод Зеиделя

Метод Зейделя, который, как правило, отличается более быстрой сходимостью, получил значительно большее распространение, чем метод простой итерации. Метод Зейделя представляет собой незначительную модификацию простой итерации. Основная его идея в отличие от простой итерации заключается в том, что найденное (i+1)-eприближение(k-1)-го напряженияU_k-1⁽ⁱ⁺¹⁾ сразу же используется для вычисления следующегоk-гo напряженияU_k⁽ⁱ⁺¹⁾.

Иными словами, полученное (i+l)-eзначение напряженияU₁ сразу же используется для вычисления(i+l)-roзначения напряженийU₂,U_зи т. д. Таким образом, для системы (47) итерационный процесс метода Зейделя описывается следующим выражением:

(64)

По методу простой итерации (i+l)-eприближениеk-ro напряженияU_k⁽ⁱ⁺¹⁾для системыn-го порядка вычисляется по следующему выражению:

(65)

По методу Зейделя (i+1)-eприближениеk-ro напряженияU_k⁽ⁱ⁺¹⁾ вычисляется так:

(66)

М

(67)

ожно показать, что метод Зейделя эквивалентен простой итерации, но с другой матрицей и другим вектором. Для этого представим матрицуВв виде суммы двух матриц:

где в матрице b₁ равны нулю элементы, лежащие на диагонали и выше ее, а в матрице В₂— элементы, лежащие на диагонали и ниже ее. Для системы третьего порядка (47)

(68)

Учитывая правила умножения и сложения матриц, итерационный процесс Зейделя (64) можно записать в матричном виде следующим образом:

(69)

где

(70)

Перенесем в (64) первое слагаемое из правой части в левую и получим

(71)

Умножим последнее выражение слева на матрицу (Е—B₁)^-1и получим выражение итерационного процесса Зейделя в матричном виде:

(72)

Из (72) очевидно, что метод Зеиделя эквивалентен простой итерации, но с матрицей, характеризующей итерационный процесс,

(73)

и

(74)

вектор-столбцом

При расчете установившегося режима методом Зейделя элементы матриц, входящих в правую часть выражений для матрицы 3 и вектора з (73), (74), определяются по правилам электротехники. Сходимость метода Зейделя определяется свойствами матрицы 3, характеризующей итерационный процесс, аналогично тому, как сходимость простой итерации определялась свойствами матрицы В. Как правило, метод Зейделя надежнее и быстрее сходится, чем метод простой итерации. Более надежная сходимость означает, что метод Зейделя сходится в тех случаях, когда сходится простая итерация, и может сходиться,, когда простая итерация расходится. Теоретически из этого правила возможны исключения. При расчетах режимов электрических систем не встречались такие случаи, когда сходимость методов Зейделя оказывалась менее надежной и быстрой, чем для простой итерации. Кроме того, метод Зейделя требует несколько меньшей памяти, чем простая итерация, так как необходимо помнить только один вектор переменных. Действительно, при решении по Зейделю, например, уравнений узловых напряжений сразу после вычисления (i+l)-eприближениеk-ro узлового напряженияU_k⁽ⁱ⁺¹⁾засылается в то место оперативной памяти, где ранее хранилосьi-eприближениеU_k⁽ⁱ⁾. При использовании простой итерации необходимо помнить два вектора узловых напряжений, соответствующихi-му и (i+l)-мyшагам.

Алгоритмическая реализация метода Зейделя столь же проста, как и простой итерации. Единственное изменение в алгоритме расчета состоит в засылке вычисленного U_k⁽ⁱ⁺¹⁾в то место памяти, где ранее хранилосьU_k⁽ⁱ⁾. В сравнении с точными методами процесс Зейделя при сходимости за число шагов, меньшееп, обладает теми же преимуществами с точки зрения времени расчета, что и простая итерация.

Поскольку метод простой итерации не имеет никаких преимуществ перед методом Зейделя, при практических расчетах установившихся режимов в электрических системах на ЭВМ всегда используется метод Зейделя, а не простая итерация.

Бели метод Зейделя сходится быстро, т. е. если для решения системы n-го порядка требуется менееп шагов, то при расчете на ЭВМ получим выигрыш во времени в сравнении с точными методами, например с методом Гаусса.

Это вытекает из того, что число арифметических операций, необходимых для одного шага метода Зейделя, пропорционально n², а общее число арифметических операций, например, в методе Гаусса пропорционально п³. Приведенное соотношение числа операций справедливо для расчетов установившегося режима, если не учитывается слабая заполненность матрицы узловых проводи-мостей.

В то же время и в случае учета слабой заполненности этих матриц метод Зейделя, если сходится быстро, требует меньше времени ЭВМ, чем точные методы.

Важное достоинство метода Зейделя состоит в простоте алгоритма я в удобстве его реализации на ЭВМ. Этот метод особенно эффективен с точки зрения требуемой памяти при расчетах установившихся режимов, если учитывается слабая заполненность матрицы узловых проводимостей. В этом случае в памяти ЭВМ следует хранить только ненулевые собственные и взаимные проводимости узлов. Как отмечалось ранее, число не равных нулю взаимных узловых проводимостей равно числу ветвей электрической системы. Поэтому при итерационном расчете режима сети постоянного тока с (n+1)-м узлом ит ветвями необходимо помнитьп собственных ит взаимных узловых проводимостей. При применении, например, метода Гаусса необходимо помнить элементы треугольной матрицы, т. е. п²/2 элементов. Экономия памяти при использовании метода Зейделя становится тем существенней, чем больше узлов содержит электрическая система. Применение специальных методов учета слабой заполненности матрицы узловых проводимостей при решении уравнений установившегося режима точным методом несколько уменьшает преимущество метода Зейделя с точки зрения необходимого объема памяти ЭВМ. Однако такой учет алгоритмически не прост и даже при его применении метод Зейделя все равно требует меньше памяти ЭВМ. Вопросы экономии памяти играют важную роль при сопоставлении различных методов расчета режимов.

Отметим, что всякий сходящийся итерационный метод обладает самоисправляемостью, т. е. отдельная ошибка, допущенная при расчете, не отражается на его результате, так как результат шага, на котором допущена ошибка, можно рассматривать как новое начальное приближение. Кроме того, погрешности округления в итерационных методах оказываются значительно меньше, чем в методе Гаусса.

Указанные выше преимущества метода Зейделя с точки зрения памяти и времени расчета относятся только к случаю быстрой сходимости итерационных методов. Во многих случаях при расчетах сложных электрических систем метод Зейделя сходится медленно. Поэтому для эффективного применения метода Зейделя при расчете установившихся режимов сложных электрических систем необходимо ускорение сходимости с помощью ускоряющих коэффициентов.

Подробнее вопросы ускорения сходимости рассмотрены в рекомендованной литературе.

Существенный недостаток метода Зейделя — его медленная сходимость или даже расходимость при расчете электрических систем с устройствами продольной компенсации с трехобмоточными трансформаторами, когда сопротивление обмотки среднего напряжения очень мало, а также при расчетах предельных и неустойчивых режимов.

Расчет установившегося режима электроэнергетических систем возможен только итерационными методами. Расчеты установившихся режимов начали осуществляться на ЭВМ с конца 50-х годов. Для этих расчетов использовалось большое количество различных методов при различных формах записи уравнений установившегося режима и при выборе разных переменных. Опубликовано очень большое количество работ, посвященных расчетам установившегося режима на ЭВМ.

В настоящее время накоплен достаточно большой опыт практических расчетов установившихся режимов на ЭВМ и исследовательских разработок по их усовершенствованию и сопоставлению. Этот опыт показывает, что наиболее эффективно применение нелинейных уравнений узловых напряжений, которые следует решать методом Ньютона или Зейделя, а в случае плохой сходимости - по параметру.