Графическое представление колебаний. Векторная диаграмма.

Выберем некоторую ось Ox и из точки O построим вектор , длинойA, образующий с осью Ox угол . Проекция этого вектора на ось Ox в начальный момент времени t0=0 равна:

Будем вращать этот вектор с угловой скоростью . За времявекторповернется на угол, и его проекция на осьOx в этот момент будет:

При вращении его проекция будет меняться в пределах отA до –A. За то время, пока повернется на угол, его проекция совершит одно полное колебание, причем координата этой проекции будет меняться по закону

Таким образом, гармоническое колебание может быть представлено с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, отложенного из произвольной точки под углом, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью вокруг этой точки.

Собственные колебания гармонического осциллятора.

Рассмотри колебания частицы под действием упругой или квазиупругой силы . Коэффициентназываетсякоэффициентом упругости. По второму закону Ньютона:

или (5)

Разделим (5) почленно на массу частицы и обозначим:

(6)

Тогда уравнение (5) примет вид:

(7)

Решением дифференциального уравнения (7) являются функции:

или

(8)

Таким образом, система, находящаяся под действием силы вида , совершает гармоническое колебание. Частота этого колебания:

(9)

период колебания:

(10)

Энергия гармонических колебаний.

Пусть гармонический осциллятор (ГО) колеблется по закону:

Полная энергия колебаний ГО равна:

(11)

(12)

Потенциальная энергия осциллятора:

(13)

Получаем (с учетом):

(14)

Тогда:

или:

(15)

Т.о., полная энергия гармонического колебания пропорциональна квадрату амплитуды и постоянна во все время колебания, как это следует из закона сохранения механической энергии. При этом кинетическая и потенциальная энергия непрерывно меняются с течением времени, переходя друг в друга.

Средние за период значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы и равны:

(16)

т.к. средние за период значения квадрата синуса и квадрата косинуса равны 1/2.

Физический маятник.

Физическим маятником называют всякое абсолютно твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести. Колебания физического маятника происходят под действием составляющей силы тяжести.

Знак «-» берется потому, что сила стремится вернуть маятник в положение равновесия. Силабудет квазиупругой, т.е. пропорциональной смещению, только при малых углах отклонения, когдаи (17)

Эта сила создает вращающий момент относительно оси вращения, проходящей через точку подвесаO перпендикулярно плоскости чертежа, равный:

(18)

R – расстояние от точки подвеса до центра тяжести C маятника.

Запишем уравнение вращательного движения относительно оси вращения:

или (19)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения

- угловое ускорение.

Разделив (19) на I, получим дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника:

(20)

Из него следует, что частота колебаний физического маятника:

(21)

а период колебаний:

(22)

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который колеблется синхронно с физическим. Из условия синхронности, где, найдем, что.