- •Физика колебаний и волн. Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы.
- •Кинематика гармонических колебаний.
- •Графическое представление колебаний. Векторная диаграмма.
- •Собственные колебания гармонического осциллятора.
- •Энергия гармонических колебаний.
- •Физический маятник.
- •Затухающие колебания.
- •Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.
- •Резонансные кривые
- •Волновые процессы. Волны в упругих средах.
- •Плоские, сферические и цилиндрические волны.
- •Уравнение плоской волны.
- •Фазовая скорость.
- •Волновое уравнение.
- •Групповая скорость.
- •Энергия упругой волны. Плотность энергии.
- •Поток энергии. Плотность потока энергии.
Фазовая скорость.
Рассмотрим некоторую волновую поверхность, например, плоскость, содержащую т.M. Очевидно, фаза волны в этой плоскости будет меняться с течением времени. Чтобы фаза оставалась постоянной, плоскость должна перемещаться с некоторой скоростьювдоль осиx.
Скорость перемещения определенной фазы волны называется фазовой скоростью .
Найдем фазовую скорость из условия, что
и :
откуда: (57)
Фазовая скорость равна скорости распространения волны.
Волновое уравнение.
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы получить волновое уравнение, воспользуемся для простоты уравнением плоской волны, распространяющейся вдоль оси x:
и найдем и:
(58)
(59)
Из сравнения (58) и (59) получим волновое уравнение:
(60)
Если волна распространяется в произвольном направлении, то волновое уравнение примет вид:
(61)
Групповая скорость.
Совокупность волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн. Точка, в которой амплитуда колебаний группы волн максимальна, называется центром группы волн. Скорость, с которой распространяется максимум колебательного процесса (скорость центра группы волн), называется групповой скоростью. Групповая скорость – скорость передачи энергии группой волн.
В зависимости от частоты колебаний может меняться и скорость распространения волны. Зависимость скорости распространения волны от частоты колебаний частиц среды называется дисперсией.
Волновое число k равно:
Дисперсия приводит к нарушению линейной зависимости между k и . Зависимость =(k) называется дисперсионным уравнением или законом дисперсии.
Если среда не обладает дисперсией, то все гармонические волны независимо от частоты распространяются с одной и той же фазовой скоростью и пакет ведет себя как стационарная волна, т.е. , если в среде имеет место дисперсия, то.
Найдем связь между групповой и фазовой скоростями. Преобразуем выражение для фазы волны (51):
(62)
Для сохранения пакета волн необходимо, чтобы в центре пакета находился набор когерентных волн, распространяющихся с одинаковыми скоростями. Для таких волн изменение фазы в зависимости от длины волны должно быть равно нулю:
(63)
Взяв производную по от (62) и приравняв ее к нулю, после несложных преобразований получим:
(64)
Если , то- дисперсия отсутствует.
Если , то- в среде имеет место нормальная дисперсия.
Если , то- в среде аномальная дисперсия.
Энергия упругой волны. Плотность энергии.
Пусть в среде вдоль оси x распространяется плоская волна:
Выделим малый объем V среды, масса которого M=V, где - плотность среды.
Все точки этой среды совершают колебания со скоростью u:
Кинетическая энергия частицы , кинетическая энергия всех частиц среды в объемеV
(65)
Кинетическая энергия выделенного объема меняется с течением времени, поэтому найдем среднее значение ее за период . Т.к. среднее за период значение квадрата синуса равно1/2, то
(66)
Частицы среды, совершающие колебательное движение, обладают не только кинетической, но и потенциальной энергией U. Ранее было показано, что средние за период значения кинетической и потенциальной энергии ГО одинаковы. Аналогично, в случае среды, в которой распространяется волна:
(67)
Тогда среднее значение за период энергии среды в объеме V при распространении в ней волны будет равно:
(68)
Энергия упругой волны, заключенная в единице объема называется объемной плотностью энергии волны.
Разделив (24) на V, получим среднюю за период объемную плотность энергии волны:
(69)