- •Физика колебаний и волн. Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы.
- •Кинематика гармонических колебаний.
- •Графическое представление колебаний. Векторная диаграмма.
- •Собственные колебания гармонического осциллятора.
- •Энергия гармонических колебаний.
- •Физический маятник.
- •Затухающие колебания.
- •Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.
- •Резонансные кривые
- •Волновые процессы. Волны в упругих средах.
- •Плоские, сферические и цилиндрические волны.
- •Уравнение плоской волны.
- •Фазовая скорость.
- •Волновое уравнение.
- •Групповая скорость.
- •Энергия упругой волны. Плотность энергии.
- •Поток энергии. Плотность потока энергии.
Затухающие колебания.
Любое реальное колебание происходит в какой-либо среде, которая оказывает сопротивление движению. На преодоление сопротивления среды расходуется часть энергии колеблющегося тела. Происходит рассеяние энергии и уменьшение амплитуды колебаний.
Колебания, амплитуда которых медленно уменьшается с течением времени, называются затухающими.
При достаточно малых скоростях сила сопротивления оказывается пропорциональной скорости:
(23)
где r – коэффициент сопротивления, характеризующий взаимодействие тела со средой (r0). Знак «-» показывает, что сила сопротивления направлена противоположно скорости.
II закон Ньютона при наличии сил сопротивления примет вид:
(24)
Ведем обозначения:, где- частота собственных колебаний ГО;, где- коэффициент затухания. Тогда (24) перепишется в виде:
(25)
(25) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний ГО.
Для решения этого уравнения введем новую переменную z, связанную с x соотношением:
(26)
Найдем и:
Подставим в (25) и вынесем за скобки
Разделим на :
или:
(27)
Предполагая, что сопротивление среды мало , обозначими запишем (27) в виде:
(28)
Его решение имеет вид:
(29)
С учетом (26) получим уравнение затухающих колебаний:
(30)
Из (30) видно, что затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по закону: (31) Циклическая частота затухающих колебаний: (32) |
период затухающих колебаний:
(33)
Выясним теперь физический смысл коэффициента затухания .
Пусть - промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшилась вe раз. -время релаксации.
Найдем отношение амплитуд, соответствующих моментам времени t и (t+):
(34)
по определению имеем , откуда:
и (35)
Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.
Найдем теперь отношение двух амплитуд At и A(t+T), отстоящих друг от друга на период:
(36)
Натуральный логарифм отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на период, называется логарифмическим декрементом затухания:
(37)
С учетом (36)
(38)
Обозначим через Ne – число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в e раз.
Тогда и, т.е. логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается вe раз.
Для характеристики колебательной системы, кроме логарифмического декремента затухания, используется также величина:
(39)
называемая добротностью контура.
Заметим, что все приведенные здесь вывода верны при . Если затухание велико, то возникающее движение не является колебательным и носит апериодический характер.