- •Физика колебаний и волн. Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы.
- •Кинематика гармонических колебаний.
- •Графическое представление колебаний. Векторная диаграмма.
- •Собственные колебания гармонического осциллятора.
- •Энергия гармонических колебаний.
- •Физический маятник.
- •Затухающие колебания.
- •Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.
- •Резонансные кривые
- •Волновые процессы. Волны в упругих средах.
- •Плоские, сферические и цилиндрические волны.
- •Уравнение плоской волны.
- •Фазовая скорость.
- •Волновое уравнение.
- •Групповая скорость.
- •Энергия упругой волны. Плотность энергии.
- •Поток энергии. Плотность потока энергии.
Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.
Колебания, которые совершаются за счет работы внешних сил, называются вынужденными, а действующая сила – вынуждающей.
Рассмотрим простейший случай – воздействие на систему внешней силы, меняющейся по гармоническому закону:
(40)
где и- соответственно амплитудное значение и частота вынуждающей силы.
Запишем II закон Ньютона для вынужденных колебаний:
(41)
и вводя обозначения и, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ГО:
(42)
Сразу после приложения вынуждающей силы возникает переходный режим вынужденных колебаний, при котором система участвует в двух колебаниях – свободных затухающих колебаниях и незатухающих колебаниях с частотой вынуждающей силы. Однако через некоторое время свободные колебания системы практически прекращаются. Система переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, которые происходят по тому же закону и с той же частотой, с которой меняется вынуждающая сила.
Поэтому естественно предположить, что решение (42) должно иметь вид:
(43)
Неизвестные амплитуду и начальную фазу найдем с помощью векторной диаграммы этого колебания.
Построим векторную диаграмму для начального момента времени t0. Функция изобразится вектором, направленным по осиOx. Функция
|
изобразится вектором длиной, отложенным от осиOx под углом (-). Ускорение изобразится векторомдлиной, направленным противоположно вектору. Наконец, функция
изобразится вектором длиной , перпендикулярным, из треугольника видно, что
Следовательно, амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна:
(44)
а начальная фаза определяется из соотношения:
(45)
Резонансные кривые
Из (44) следует, что амплитуда A вынужденных колебаний зависит от частоты собственных колебаний, от частоты, амплитудывынуждающей силы и коэффициента затухания.
На рис. представлен график зависимости амплитуды A вынужденных колебаний от частоты и вынуждающей силы.
|
В реальных условиях , поэтому приамплитуда растет не до бесконечности, а до некоторого максимального значенияAmax.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний называется резонансом.
Частота , при которойA=Amax, называется резонансной частотой.
При дальнейшем возрастании () амплитудаA уменьшается.
Найдем резонансную частоту из условия минимума подкоренного выражения (44). Для этого возьмем производную пои приравняем к нулю..
,
откуда видно, что при , при.
Найдем сдвиг фаз при резонансе:
Если мало, тои. Если, тои, т.е. смещение при вынужденных колебаниях отстает по фазе от вынуждающей силы на