Пример

Вероятность точке попасть в точку {0,5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0.

Вместе с тем попадание в точку {0,5} не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.

Пример (Задача о встрече)

Два лица X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение

Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть и –

моменты прихода X и Y (точки отрезка [0,1]).

Все возможные результаты эксперимента – множество точек квадрата со стороной 1:

={( , ): 0 1, 0 1} = [0,1]x[0,1]

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества

A={( , ): | – | 1/6}
То есть попадание в множество A	наудачу
брошенной в квадрат точки означает, что	X и Y

встретятся. Тогда вероятность встречи равна

				5	2
	A		1	6		11
P A
						36
			1

Задача Бюффона

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины 2ℓ<2a. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Решение

Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого –либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

Обозначим через x [0,a] расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через [0, ] – угол между каким –то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника

= [0,a]x[0, ].

Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: x ℓ•sin .

Площадь области A , точки которой удовлетворяют та – кому неравенству, равна

A sin d cos |0 2

0

A так как ( )=a• , то искомая вероятность равна

P A 2 a