Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матмод Желонкин

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

1.99 Mб

Скачать

☆

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский Государственный Университет

Инженерно-строительный факультет

Кафедра строительных конструкций

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

По курсу «Математическое моделирование в строительстве»

Выполнил ст-т гр. СТ-22

___________________ Желонкин А.Ю.

Принял преподаватель

___________________ Буравлев В.Ф.

Киров 2014

Вариант 7-А

Рис. 1. Расчетная схема стержня

Точное решение

Дифференциальное уравнение равновесия имеет вид:

(1.1)

Дважды интегрируем:

(1.2)

Удовлетворяем геометрическое граничное условие на левом торце:

откуда:

(1.3)

Удовлетворяем геометрическое граничное условие на правом торце:

откуда:

(1.4)

Внося полученные константы интегрирования (1.3) и (1.4) во второе соотношение (1.2), приходим к выражению для продольного перемещения:

(1.5)

Умножая на EА и беря производную по x, получим выражение для нормального усилия:

(1.6)

Произведем расчет перемещений и усилий по формулам (1.5) и (1.6) cпомощью программы на языке программирования «Pascal»в пяти равноотстоящих точках и сведем результаты расчета в таблицу 1.

PROGRAM STTR;

uses crt;

const

q=1.0;EA=1.0;l=1;m=4;

var i:integer;

uu,nn,dx,x,x2:real;

u,N: array[1..m+1] of real;

BEGIN

clrscr;

writeln;

writeln('Результат решения');

writeln;

writeln('Координата Перемещение Усилие');

dx:=1/m;

nn:=(q*l)/3;

uu:=nn*q*l*l/(EA*3);

for i:=1 to m+1 do begin

x:=dx*(i-1)/1;

X2:=sqr(x);

u[i]:={uu*}(-3*exp(x)-2*x*x*x+3*x*(exp(1)-1/3)+3);

N[i]:={nn*}(-3*exp(x)-6*x*x+3*(exp(1)-1/3));

writeln;

writeln ('x=', x:3, ' u=', u[i]:6:3, ' n=', n[i]:6:3);

end;

readln;

END. Таблица 1

0	0,25	0,5	0,75	1,0
0	0,905	1,381	1,169	0
4,155	2,928	0,709	-2,571	-7,000

Представим результаты расчета в виде таблицы 1 и графиков (рис. 2, 3).

Рис. 2. Изменение перемещения по длине стержня (точное решение)

Рис. 3. Изменение продольного усилия по длине стержня (точное решение)

Приближенные решения

2.1 Метод конечных разностей

Обозначим узловые точки (1-5) в местах разбиения стержня на четыре участка (рис. 4).

Рис. 4. Разбиение стержня на элементы

Запишем дифференциальное уравнение в конечно-разностной форме:

(2.1.1)

Здесь введено обозначение

(2.1.2)

Запишем уравнение для всех внутренних точек:

(2.1.3)

По условию: U₁=0;U₅=0;

-2U₂+U₃=2,284α; 2U₂=2U₄+5,117α-2,284α;

U₂-2(2U₂+2,284α)+U₄=3,649α;

U₂-4U₂-4,568α+U₄=3,649α;

-3U₂+U₄-8,217α=0; U₄=3U₂+8,217α; U₃-2U₄=5,117α;

2U₂+2,284α-2(3U₂+8,217α)=5,117α;

2U₂+2,284α-6U₂-16,434α=5,117α;

-4U₂=5,117α-2,284α+16,434α;

-4U=19,267α;

U₂=-4,817α=

U₃=2(-4,817)+2,284α;

U₃=-7,35α=

U₄=3(-4,817)+8,217α;

U₄=-6,234α=

Найдем перемещения, внося α и приводя результат к размерности точного решения.

₄=-4,817α==1,169;

U₃=-7,35α==1,379;

U₂=-4,817α=

(2.1.6)

Осуществим переход к нормальным усилиям с учетом размерностей для перемещений и усилий в точном решении при помощи соотношения

(2.1.7)

где черта над uобозначает, что берутся только ее численные значения.

(2.1.8)

Воспользуемся соотношением, осуществляющим переход к усилиям с помощью дифференцирующей матрицы

, (2.1.10)

которое в раскрытом виде с учетом числа элементов (h=l/4) и размерностей, использованных для перемещений и усилий в точном решении, запишется так:

(2.1.11)

Результаты представлены в таблице 2 и на рисунке 3.

Таблица 2

0,25

0,5

0,75

1,0

(0)

0,903

(0,905)

1,379

(1,381)

1,169

(1,171)

(0)

3,612*

4,478**

(4,155)

1,904*

2,762**

(2,928)

-0,28*

0,532**

(0,709)

-4,676*

-2,762**

(-2,571)

-6,606**

(-7,000)

(…) – точное решение; ^* - решение в рамках МКР; ^** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.

Рис. 5. Изменение перемещения по длине стержня (метод конечных разностей)

Рис. 6. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных разностей)

2.2 Метод Бубнова-Галеркина

Дифференциальное уравнение упругого равновесия растяжения – сжатия стержня имеет вид:

Запишем аппроксимирующую функцию:

где - неизвестные параметры, подлежащие определению;

координатные функции, удовлетворяющие граничным условиям.

Внесем аппроксимирующую функцию в дифференциальное уравнение:

при этом в правой части появляется функция невязки , представляющая по физическому смыслу неуравновешенную нагрузку.

Неизвестные параметры будем определять из условия равенства нулю работы невязки на возможных перемещениях, для чего умножим уравнение почленно на возможное перемещениеи проинтегрируем по длине стержня.

В силу ограниченности тригонометрических функций

Остальные интегралы берутся по частям:

Внося значение интегралов в выражение для работы невязки на возможных перемещениях, приходим к равенству:

откуда

Выражение для перемещения с учетом размерности в точном решении принимает вид:

Дифференцируя по xи умножая на жесткость растяжения-сжатия ЕА, приходим к выражению для продольного усилия:

Program BH;

usescrt;

const

q=1.0;l=1.0;EA=1.0;m=4;mn=100;

var

i,j,k: integer;

dx,x,nn,uu,un,px,p,p1:real;

u,N:array[1..m+1] of real;

BEGIN

clrscr;

dx:=l/m;

nn:=6*l*q/sqr(pi);

uu:=nn*l/(EA*pi);

Writeln;

Writeln(' RezultatyraschetametodomBubnova-Galerkina ');

Writeln;

Writeln('KoordinataPeremeshenieUsilie ');

fork:=1 to m+1 do begin

x:=dx*(k-1)/l;

u[k]:=0;

N[k]:=0;

forj:=1 to mndo begin

i:=j;

p:=i*pi;

px:=p*x;

p1:=sqr(p)/(sqr(p)+1);

un:=(p1*(1-exp(1)*cos(p)+1/p*exp(1)*sin(p))+4*(1/p*sin(p)-cos(p)))/sqr(i);

N[k]:=N[k]+un*cos(px);

u[k]:=u[k]+un*sin(px)/i;

end;

Writeln;

Writeln (' x=',x:5:2,' u=',u[k]*uu:6:3,

' N=',N[k]*nn:6:3);

end;

readln;

END.

Результаты счета представлены в таблице 3 на рисунке 4. В таблице приведены результаты расчета при удержании одного, десяти и ста членов рядов (3.9) и (3.10), которые сходятся относительно быстро.

Таблица 3

0,25

0,5

0,75

(0)

0,905

(0,903)

1,381

(1,379)

1,171

(1,169)

(0)

4,149

(4,155)

2,928

(2,928)

0,709

(0,709)

-2,571

(-2,571)

-6,959

(-7)

Рис.4. Изменение продольного перемещения и нормального усилия по длине стержня (метод Бубнова-Галеркина).

Метод конечных элементов

Для отдельного конечного элемента матрица жесткости имеет вид:

матрица преобразования нагрузки (грузовая матрица) –

вектор внешних нагрузок:

Матричное уравнение метода перемещений в конечноэлементной форме:

Здесь: матрица жесткости всей системы - , формирующаяся в соответствии с топологией системы; вектор неизвестных узловых перемещений - ; грузовой вектор системы –

содержащий грузовую матрицу системы - и вектор внешних нагрузок системы - .

Учитывая число участков (конечных элементов), запишем (7.4) для нашего примера в раскрытом виде:

Умножая матрицу преобразования на вектор узловых значений нагрузки, перепишем (7.6) в виде:

Геометрические граничные условия ( и ) учтем, обнуляя строки и столбцы с общими диагональными элементами – множителями при и и соответствующие элементы грузового вектора и заменяя , система (7.7) приобретает окончательный вид: