Экстремум функции многих переменных без ограничений

Для функции справедливо, что если в открытом пространстве функцияимеет в точке х^*минимум (максимум), то эту точку можно окружить такой окрестностью, что для всех точек х извыполняется неравенство(для максимума знак).

Для функциисправедливо и обобщение теоремы Ферма о необходимом условии существования экстремума в точке х^*, которое говорит о том, что необходимым условием существования экстремума ФМПв точке х^*является равенство в ней нулю частных производных первого порядка, т.е. в точке х^*справедлива система уравнений (1). Решение этой системы уравнений зависит от вида функции. Реальные, снятые экспериментально или полученные аналитически, характеристики объекта управления в инженерной практике, как правило, аппроксимируются так, чтобы порядок функциибыл не выше 2-го. При этом возможна аппроксимация:

1. Сепарабельными функциями.

2. Квадратичными (несепарабельными) функциями.

Сепарабельные функции являются частным случаем квадратичных. Они представляются в виде:

,

т.е. координаты в этой функции развязаны. Примером сепарабельной функции может быть эллиптический параболоид, имеющий уравнение

, (2)

Квадратичные несепарабельные функции представляются в виде уравнения поверхности второго порядка, которое записывается в матричной форме следующим образом:

Частным случаем квадратичной функции является квадратичная форма:

Примером квадратичной функции является следующее уравнение:

, (3)

В матричной форме: , С=(1,1),

Сделаем проверку:

Определение экстремума квадратичных функций

Определить экстремальные точки квадратичных функций можно из условия существования экстремума (1). Для сепарабельных функций экстремальные точки определяются элементарно из уравнений . Возьмем для примера функцию (2). Запишем для нее уравнения по правилу (1), из которых получаем точки минимума функции (2).

Для несепарабельных квадратичных функций экстремальные точки определяются из решения системы линейных уравнений вида , откуда. Возьмем для примера функцию (3). Запишем для нее по (1):

Получили систему линейных уравнений, в которой матрицы Н и С равны:

Найдем обратную матрицу ,

Вычислим – координаты экстремальной точки (минимума).

Вообще говоря, решение системы линейных уравнений не вызывает проблем при хорошо обусловленной матрице Н, когда ее определитель не мал и не велик, как и ее элементы. Но хорошо обусловленные матрицы получаются не всегда при реальных аппроксимациях. Кроме того, операция обращения матрицы довольно громоздкая. Поэтому для поиска экстремума ФМП широкое распространение получили приближенные (численные) методы поиска экстремума. Вторая причина – возможность использования численных методов в автоматических устройствах.

Для ознакомления с этими методами рассмотрим понятия линий уровня. Линии уровня функцииполучаются из уравнения. Геометрически дляэто означает, что поверхность рассекается плоскостями, параллельными плоскости (х₁, х₂). В этих плоскостях образуются линии, которые проектируются на плоскость (х₁, х₂). Проекции этих линий называются линиями уровня.Для сепарабельной функции оси линий уровня получаются параллельными осям х₁и х₂(т.к. при постоянной одной из координат функция зависит только от другой), а для квадратичной функции оси линий уровня повернуты относительно осей.