Качественное исследование фмп перед применением численных методов

Прежде чем приступать к численному поиску экстремума функции, необходимо провести качественное исследование функции, т.к. без предварительного анализа свойств функции численные методы поиска экстремума могут не дать желаемых результатов.

На первом этапе определяется сепарабельность или несепарабельность функции по ее виду и локализуется открытое множество М, чтобы в нем был экстремум. При локализации экстремума математика не дает четких правил. Однако инженер, зная характеристики объекта, всегда может провести локализацию необходимого экстремума.

Далее нужно знать, единственен ли экстремум и каков его характер, т.е. минимум или максимум. Установление указанных свойств выполняется на основе понятий о выпуклости и вогнутости функций. Четких определений давать не будем, укажем лишь, что для вогнутой функции одной переменной касательная в любой точке этой функции лежит выше этой функции, а для выпуклой функции – касательная в любой точке лежит ниже функции. Математически это записывается следующим образом: (для вогнутой). Для функций многих переменных все аналогично, но только здесь вместо касательных прямых – плоскости (для функции 2-х переменных).

Свойством выпуклых и вогнутых функций является то, что на открытом интервале они имеют единственный экстремум, т.е. каждый локальный экстремум выпуклой функции является ее глобальным минимумом, а каждый локальный экстремум вогнутой функции – максимумом. Это свойство и используется для предварительной локализации экстремальных точек и определения их характера.

Рассмотрим вопрос определения характера экстремума – минимум или максимум. Как известно для функции одной переменной это можно определить по знаку второй производной, если в точке экстремума вторая производная положительная, то это минимум, иначе – максимум. Аналогичным образом решается вопрос о минимуме/максимуме для ФМП. Однако перед этим следует ввести понятия градиента функции и матрицы Гессе.

Если ФМП дифференцируема, то частные производные первого порядка показывают направление наибольшего возрастания функциив точке. Этот вектор называется градиентомв точкеи представляет собой вектор-столбец, составленный из частных производных:

Каждая частная производная определяет проекцию градиента на соответствующую ось. Если взять значение градиента с обратным знаком, то он покажет направление наибольшего убывания функции.

Сейчас возьмем вторые производные от функции . По правилу дифференцирования функциональных матриц получим матрицу:

Данная матрица получила название матрицы Гессе, которая является аналогом второй производной для функций одной переменной. Поэтому по знаку матрицы Гессе можно судить о минимуме или максимуме функции, что значительно проще, чем определять это из определения выпуклости или вогнутости функции.

Существует теорема, которая говорит о том, что для выпуклости функции необходимо и достаточно, чтобы Н была положительно полуопределена (т.е. равна 0 не только в точке 0, но еще и в других точках). Если Н положительно определена для любого, то– строго выпуклая функция. Для строго вогнутой функции матрица Н должна быть отрицательно определенной для всех.

Таким образом, если будет показана выпуклость или вогнутость функции , то это будет означать, что на множестве М она будет иметь единственный минимум или максимум. Конструктивная работа с матрицей Гессе зависит от конкретного вида функции. Ранее говорилось о том, что на практике реальные характеристики объектов аппроксимируются сепарабельными или квадратичными функциями, которые в матричной форме можно записать:

Нв предыдущем уравнении является матрицей Гессе. Для квадратичной формы выпуклость или вогнутость проверяется по матрице Гессе просто, т.к. она состоит только из постоянных коэффициентов. Положительную или отрицательную определенность гессиана можно установить двумя способами.

Первый способиспользует критерий Сильвестра, который исследует знаки всех главных миноров Н. Если все главные миноры Н положительны, то матрица Н положительно определена и имеет место выпуклая функция с единственным минимумом. Если же главные миноры отрицательны, то Н отрицательно определена и имеем вогнутую функцию с единственным максимумом.

Пример: Рассмотрим матрицу Н для уравнения (3):

, ,, следовательно, функция (3) выпуклая и имеет единственный минимум.

Второй способустанавливает выпуклость или вогнутость функции на базе собственных чисел матрицы Н. Если все собственные числа больше 0, то функция выпуклая, если меньше нуля, то вогнутая.

Покажем это на примере функции (2):

, для которой матрица Н:

Собственные числа Н:

,

,

, ₁=8>0,₂=2>0, т.е. (2) – выпуклая функция имеет единственный минимум.

Исследуем выпуклость функции

Для нее гессиан: ,₁=2,₂=0,₁=4,₂=0.

Условие строгой выпуклости не выполнено, т.е. Н – положительно полуопределена. Данная поверхность представляет собой бесконечный желоб, и ее минимум будет в любой точке гребня. Такие функции называются слабовыпуклые или слабовогнутые.