II. Программа работы.

1. Изучить алгоритм оптимального по быстродействию управления линейными объектами.

2. Рассчитать фазовые траектории и определить линию переключения.

3. Ознакомиться с реализацией оптимального быстродействия в замкнутой системе:

а) в случае линейной обратной связи;

б) в случае нелинейной обратной связи.

4. Изучить влияние реальных характеристик элементов и возмущений на свойства системы оптимального быстродействия.

III. Теоретические сведения.

1. Объект управления.

В качестве управляемого объекта используется модель в виде двух последовательно включенных интеграторов (рис. 5). Первый интегратор выполнен на операционном усилителе, изменение выходного напряжения описывается уравнением

Второй интегратор собран по более сложной схеме, так как он должен интегрировать линейно-изменяющийся сигнал с выхода первого интегратора. Для повышения точности интегрирования двигатель Д1 охвачен отрицательной обратной связью по скорости с помощью тахогенератора ТГ, таким образом, скорость x₁(t) двигателя Д1 с доcтаточной точностью повторяет сигнал x₂(t), т.е. x₁=k₁x₂. Вал двигателя Д1 через редуктор связан с многооборотным потенциометром П1, с движка которого снимается напряжение , и дифференциальное уравнение 2-го интегратора имеет вид

Рис. 5. Функциональная схема управляемого объекта

Рис. 6. Закон изменения оптимального по быстродействию управления

2. Синтез оптимальной системы по критерию времени.

Исследуемый объект представляется уравнениями

(1)

Найдем закон изменения управляющего сигнала U, при котором достигается минимальное время переходного процесса, т.е. минимум критерия , при переходе из начального состояния х(0)=(х₁₀,х₂₀) в конечное x(t_k)=(x_1k,x_2k).

Для решения задачи поставим гамильтониан согласно принципа максимума

и выпишем слагаемые, явно зависящие от U

Максимум по U функций H и H’ достигается одновременно, поэтому, с учетом ограничения |U|≤1, придем к следующему алгоритму управления

При этом функция ₂(t) не может быть тождественно равной нулю на каком-либо отрезке времени [t’,t"], t"-t’≠0, так что

Это следует из анализа условий управляемости

det(δ,Aδ)≠0,

а также сопряженных уравнений

,

решение которых имеет вид

При любых значениях постоянных с₂ и с₃ функция 2 изменяет знак не более одного раза. Таким образом, минимальное время перехода системы из одного начального состояния в конечное требует релейного закона управления U(t)=sign k₂₂ (t) с числом переключений управляющего сигнала не более одного (рис. 6).

Для определения моментов переключения и построения замкнутой оптимальной системы используем метод фазовой плоскости. С целью удобства рассмотрения процессов при различных начальных и конечных условиях введем фазовые координаты, использующие ошибку системы

l₁=x_1k-x₁,

l₂=x_2k-x₂.

Рис. 7. Фазовые траектории в оптимальной по быстродействию

системе управления

Рис. II. Фазовые траектории системы с линейной функцией переключения

С учетом этих координат вместо системы (1) придем к системе

. (2)

Теперь задача состоит в переводе за минимальное время системы из начального состояния l₁(0)=l₁₀, l₂(0)=l₂₀ в конечное l₁(t_k)=l₂(t_k)=0, т.е. в начало координат (рис. 7). Системе (2) соответству.т фазовые траектории

(3)

где С определяется начальными условиями.

Фазовые траектории при отработке различных начальных рассогласований состоят из двух участков Например, в случае ступенчатого изменения координаты x₁, начальное значение ошибки равно l₁₀=x₁k, l₂₀=0 и первый интервал управления U=+1, которому соответствует траектория КМ. Построим теперь фазовую траекторию ОВ, проходящую через начало координат, т.е. через конечную точку, при U=-1. Точка С пересечения траекторий разгона и торможения, т.е КМ и ОВ; соответствует моменту переключения управляющего сиг­нала с +1 на -1. Аналогичная ситуация будет для любых других l₁₀>0, вcе переключения должны происходить на траектории ОВ. В случае l₁₀<0 первому интервалу U=-1 соответствует траектория КМ, а второму (U=+1) - траектории ОВ₁. Объединение траекторий ОВ и ОВ₁ есть линия переключения В₁ОВ - геометрическое место точек, соответствующих координатам l₁, l₂ в момент переключения. Уравнение линии переключения найден из выражений (3) при С=0.

(4)

так как согласно рис. 7 δ=sign l₂.

Для построения оптимальной системы при любых граничных условиях, необходимо реализовать устройство, которое обеспечило бы изменение (автоматически) знака U на линии переключения В₁ОВ. С этой целью введем, используя выражение (4), функцию

(5)

Эта функция обращается в нуль на линии переключения В₁ОВ, выше В₁ОВ – μ>0, а ниже В₁ОВ – μ<0. Поэтому функцию μ, называемую функцией перерключения, можно использовать для построения оптимальной системы.