II. Программа работы.

1. Изучить алгоритм оптимального по комбинированному критерию управления линейными объектами.

2. Рассчитать фазовые траектории и функции переключения.

3. Ознакомиться с реализацией системы по комбинированному критерию качества.

4. Изучить влияние реальных характеристик элементов и наличия возмущений на поведение системы оптимального управления.

III. Теоретические сведения.

1. Объект управления.

Объектом управления в данной системе является тот же объект, что и в системе оптимального быстродействия (см. п.1 раздел III ла­бораторной работы №3).

2. Синтез оптимальной оистемы по комбинированному критерию.

Для объекта управления, описываемого уравнениями относительно ошибки

, (8)

, ,

определим алгоритм управления, обеспечивающий минимум критерия

, Т – задано заранее,

при переходе из начальной точки l₁₀, l₂₀ в конечную .

В данном критерии первое слагаемое учитывает время переходного процесса, а второе - расход ресурсов на управление за время переходного процесса.

Для определения алгоритма управления применим принцип максимума, с этой целью составим гамильтониан

.

Выпишем слагаемые, явно зависящие от управления

.

Максимум функции H' достигается одновременно с функцией Н при выполнении следующих условий в зависимости от значений функции :

Анализ показывает, что для рассматриваемого полноотье управляемого объекта управления условие не может выполняться на каком-либо отрезке времени , т.е. в системе отсутствуют особые управления. Поэтому, управляющий сигнал может принимать только три значения: +1, 0, -1.

Запишем уравнения и соответствующие им решения для сопряженных переменных

(9)

Графики рис. 13 иллюстрируют один из возможных вариантов управления. Таким образом, а отличие от задачи быстродействия, где управление переключается с одного знака на другой, в системе с комбинированным критерием качества имеется интервал времени на котором управление отключено , что и приводит к уменьшению расхода ресурсов, т.е. .

Для определения моментов переключения и построения замкнутой системы используем совместно принцип максимума и метод фазовой плоскости. В отличие от задачи быстродействия, в которой использовалась одна линия переключения, здесь необходимо иметь две линии переключения: одна - геометрическое место точек, соответствующих отключениям управления U=0 на интервале СОД; другая - геометрическое место точек, соответствующих переключениям на торможение, АОВ (рис. 14).

Для линии переключения, обеспечивающей переключение на торможение, справедливо выражение, полученное в задаче быстродействия

, , . (9а)

Найдем уравнение линии переключения, определяющей моменты отключения управления. Используя решения дня сопряженных переменных (9), найдем постоянную С₁

Рис. 13. Закон изменения оптимального по

комбинированному критерию управления

Рис. 14. Фазовые траектории в оптимальной по комбинированному

критерию системе управления

откуда

, . (10)

С другой стороны, учитывая условие M(t)=0, имеем

и, следовательно,

(11)

В результате сравнения выражении (10) и (11) найдем длительность интервала τ₁, на котором U=0:

Иэ фазовых траекторий (рис, 14) следует, что

, (12)

где .

Точка расположена на линии переключения АОВ, соответствусщей фазовой траектории торможения, т.е.

. (13)

Приравнивая выражения (12) и (13), после подстановки выражения для τ₁ получим зависимость, связывающую координаты и в момент отключения управляющего сигнала

, |U|=1. (14)

После опускания индекса "о" придем к искомому уравнении линии переключения, на которой происходит отключение управления

, (15)

где

На основе уравнений линий переключения (9а) и (15) запишем функции переключения

, (16)

(17)

В зависимости от граничных условий знаки функций переключения и сигналы управления связаны следующими соотношениями:

Исходя из полученных выше выражений с учетом уравнений фазовых траекторий; найдем длительности интервалов управления

,

или после подстановки (15)

,

,

.