Лекция 2
Точное решение
Уравнение (5) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, решаемое в квадратурах, т. е. оно решается последовательным интегрированием. Проинтегрировав его дважды
(1.1)
мы получим решение с точностью до констант интегрирования С1 и С2.
Эти константы определяются из граничных условий (из условий закрепления торцов стержня). Граничные условия могут быть геометрическими (ГГУ), когда на торцах заданы перемещения, статическими (СГУ), когда на торцах заданы силы, или смешанными, когда на одном торце заданы ГГУ, а на другом – СГУ.
Рассмотрим примеры решения при различных граничных условиях.
Пусть, например, нагрузка изменяется по линейному закону
.
(1.2)
Дифференциальное уравнение (5) примет вид (ЕА=const):
.
(1.3)
Дважды интегрируем уравнение (7):
(1.4)
Рассмотрим геометрические ГУ (рис. 5 для варианта А).
Рисунок 5. Геометрические граничные условия (вариант А)
Подчиним решение (9) геометрическим граничным условиям
(1.5)
откуда
(1.6)
Внося полученные значения констант во второе соотношение (1.4), получаем выражения для перемещения
.
(1.7)
Здесь введена безразмерная координата
.
(1.8)
На основании соотношения (4) получаем выражение для продольного усилия
.
(1.9)
Произведем ручной счет по формулам (1.7) и (1.9) в пяти равноотстоящих точках. Результаты представим в виде таблицы 1 и графиков (рис. 6 и 7).
Таблица 1
|
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
|
0 |
51/64 (0.797) |
9/8 (1.125) |
57/64 (0.891) |
0 |
|
|
4.0 |
37/64 (2.313) |
1/4 (0.25) |
-35/16 (-2.188) |
-5 |
Рис 6. Изменение продольного перемещения по длине стержня (точное решение - вариант А)
Рис. 7. Изменение продольного усилия по длине стержня (точное решение - вариант А)
Запишем программу, численно реализующую выражения (1.7), (1.9), на алгоритмическом языке «Паскаль».
PROGRAM STTR;
uses crt;
const
qo=1.0; l=1.0; EA=1.0; m=4;
var i: integer;
qoln,qolu,dx,x,x3: real;
u,N: array[1..m+1] of real;
BEGIN
clrscr;
qoln:=qo*l/6;
qolu:=qoln*l/EA;
dx:=l/m;
writeln;
writeln(‘ Результат решения’);
writeln;
writeln(‘Координата Перемещение Усилие’);
for i:=1 to m+1 do begin
x:=dx*(i-1)/l;
x2:=sqr(x);
u[i]:={qolu*}x*(-x2-3*x+4);
N[i]:={qoln*}(-3*x2);
writeln;
writeln(‘ x=’,x:5:3,
‘ u=’,u[i]*6:7:4,’ N=’,N[i]*6:7:4);
end;
readln;
END.
Лекция 3
Cлучай смешанных ГУ (геометрическое на левом торце и статическое – на правом, вариант В).
Рисунок 8. Смешанные граничные условия (вариант В)
Решение (9) подчиним смешанным граничным условиям
(1.10)
откуда
(1.11)
Внося полученные значения констант в соотношение (8), получаем выражения для перемещения
(1.12)
На основании соотношения (4) получаем выражение для продольного усилия
.
(1.13)
Результаты расчетов представлены в виде таблицы 2 и графиков на рисунке 9 и 10.
Таблица 2
|
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
|
0 |
131/64 (2.047) |
29/8 (3.625) |
297/64 (4.641) |
5 |
|
|
3.0 |
39/16 (2.438) |
7/4 (1.75) |
15/16 (0.938) |
0 |
Рис 9. Изменение продольного перемещения по длине стержня (точное решение - вариант В)
Рис. 10. Изменение продольного усилия по длине стержня (точное решение - вариант В)
Запишем программу, численно реализующую выражения (1.12), (1.13), на алгоритмическом языке «Паскаль».
PROGRAM STTR;
uses crt;
const
qo=1.0; l=1.0; EA=1.0; m=4;
var i: integer;
qoln,qolu,dx,x,x3: real;
u,N: array[1..m+1] of real;
BEGIN
clrscr;
qoln:=qo*l/2;
qolu:=qoln*l/(EA*3);
dx:=l/m;
writeln;
writeln(' Результат решения');
writeln;
writeln('Координата Перемещение Усилие');
for i:=1 to m+1 do begin
x:=dx*(i-1)/l;
x2:=sqr(x);
u[i]:=qolu*x*(3-x2);
N[i]:=-qoln*(1-x2);
writeln;
writeln(' x=',x:5:3,
' u=',u[i]*6:7:4,' N=',N[i]*2:7:4);
end;
readln;
END.