2.5. Метод коллокаций

В методе коллокаций неизвестные параметры находятся из условия равенства нулю функции невязки в точках коллокации. После внесения аппроксимирующей функции (2.2.1) в дифференциальное уравнение упругого равновесия (5)

(2.5.1)

выбираются точки коллокации с координатами x_k и записывается система алгебраических уравнений

(2.5.2)

число которых равно, естественно, числу точек коллокации n. Внося полученные в процессе решения системы алгебраических уравнений u_i в соответствующую аппроксимирующую функцию, получаем выражение для перемещения. Выражение для усилия получаем на основе равенства (4). Разрабатывается программа для численной реализации полученных выражений, и производится счет при удержании необходимого числа точек коллокации, при этом производится сравнение приближенного решения с точным. Строятся графики в редакторе «Excel».

В случае варианта А запишем систему уравнений для двух точек коллокации:

(2.5.3)

Перепишем систему уравнений, раскрывая численные значения

(2.5.3)

Найдем определители системы

(2.5.4)

Определим перемещения, приводя их к размерности точного решения,

(2.5.5)

Выражения для перемещения и усилия приобретают вид:

(2.5.5)

Результаты представим в таблице и на графиках (рис. 32, 33)

Таблица 12

	0	0.25	0.5	0.75	1.0
	0 (0)	0.709 (0.797)	1.002 (1.125)	0.709 (0.891)	0 (0)
	3.148 (4)	2.186 (2.313)	0 (0.25)	-2.186 (-2.188)	-3.148 (-5)

Рис 32. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод коллокаций - вариант А, 2 точки коллокации)

Рис. 33. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод коллокаций - вариант А, 2 точки коллокации)

Для получения удовлетворительного решения необходимо брать большее число точек коллокации.

В случае варианта В запишем систему уравнений для двух точек коллокации:

(2.5.3)

Перепишем систему уравнений, раскрывая численные значения

(2.5.3)

Найдем определители системы

(2.5.4)

Определим перемещения, приводя их к размерности точного решения,

(2.5.5)

Выражения для перемещения и усилия приобретают вид:

(2.5.5)

Таблица 13

	0	0.25	0.5	0.75	1.0
	0 (0)	1.903 (2.047)	3.531 (3.625)	4.636 (4.641)	5.027 (5)
	2.598 (3.0)	2.414 (2.438)	1.872 (1.75)	1.027 (0.938)	0 (0)

Рис 34. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод коллокаций - вариант В, 2 точки коллокации)

Рис. 35. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод коллокаций - вариант В, 2 точки коллокации)

В случае варианта С запишем систему уравнений для двух точек коллокации:

(2.5.3)

Перепишем систему уравнений, раскрывая численные значения

(2.5.3)

Найдем определители системы

(2.5.4)

Определим перемещения, приводя их к размерности точного решения,

(2.5.5)

Выражения для перемещения и усилия приобретают вид:

(2.5.5)

Таблица 14

	0	0.25	0.5	0.75	1.0
	3.642 (4)	3.447 (3.797)	2.790 (3.125)	1.592 (1.891)	0 (0)
	0 (0)	-0.540 (-0.563)	-1.236 (-1.25)	-1.927 (-2.063)	-2.226 (-3)

Рис 36. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод коллокаций - вариант С, 2 точки коллокации)

Рис. 37. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод коллокаций - вариант С, 2 точки коллокации)