Лекция 12
2.3. Метод Ритца-Тимошенко
В методе Ритца-Тимошенко записывается функционал полной потенциальной энергии, который в случае растяжения-сжатия стержня имеет вид:
(2.3.1)
После внесения аппроксимирующей функции в функционал (2.3.1) он приобретает вид:
(2.3.2)
Неизвестные параметры ui находятся из условия минимума функционала полной потенциальной энергии
(2.3.3)
Внося полученные соотношения для ui в соответствующую аппроксимирующую функцию, получаем выражение для перемещения. Выражение для усилия получаем на основе равенства (4). В случае одинаковых аппроксимирующих функций решение методом Ритца-Тимошенко полностью совпадает с решением методом Бубнова-Галеркина.
Для варианта А при внесении аппроксимирующей функции (2.2.5) функционал приобретает вид:
(2.3.4)
В силу ортогональности второй интеграл
(2.3.5)
а первый –
(2.3.6)
Выражение (2.3.4) приобретает вид:
(2.3.7)
Из условия минимума функционала
(2.3.8)
следует
(2.3.9)
Интеграл, входящий в (2.3.9), был записан в (2.2.9), поэтому выражение для параметра
полностью совпадает с (2.2.11).
Для варианта В при внесении аппроксимирующей функции (2.2.14) функционал приобретает вид:
(2.3.10)
В силу ортогональности второй интеграл
(2.3.11)
а первый –
(2.3.12)
Выражение (2.3.10) приобретает вид:
(2.3.13)
Из условия минимума функционала
(2.3.15)
следует
(2.3.16)
или с учетом (2.2.18)
(2.3.17)
Это выражение полностью совпадает с (2.2.20).
Для варианта С при внесении аппроксимирующей функции (2.2.23) функционал приобретает вид:
(2.3.18)
В силу ортогональности второй интеграл
(2.3.19)
а первый –
(2.3.20)
Выражение (2.3.18) приобретает вид:
(2.3.21)
Из условия минимума функционала
(2.3.22)
следует
(2.3.23)
Это выражение полностью совпадает с (2.2.29).
2.4. Метод наименьших квадратов
В методе наименьших квадратов рассматривается функционал квадратичной ошибки, который в случае растяжения-сжатия стержня записывается так:
(2.4.1)
Внося аппроксимирующую функцию (2.2.1) в (2.4.1), приходим к соотношению
(2.4.2)
Неизвестные параметры ui находятся из условия минимума функционала квадратичной ошибки
(2.4.3)
Внося полученные соотношения для ui в соответствующую аппроксимирующую функцию, получаем выражение для перемещения. Выражение для усилия получаем на основе равенства (4). В случае одинаковых аппроксимирующих функций решение методом наименьших квадратов полностью совпадает с решением методом Бубнова-Галеркина.
Запишем функционал квадратичной ошибки для варианта А: внесем аппроксимирующую функцию (2.2.5) в выражение для функционала (2.4.2)
(2.4.4)
Первый интеграл
(2.4.5)
Второй интеграл равен нулю в силу ортогональности (2.2.8). Третий интеграл был взят в (2.2.9)
(2.4.6)
Таким образом, (2.4.4) приобретает вид:
(2.4.7)
Запишем условие минимума функционала
(2.4.8)
откуда следует
что полностью совпадает с решением (2.2.11), полученным в методе Бубнова-Галеркина.
Запишем функционал квадратичной ошибки для варианта В: внесем аппроксимирующую функцию (2.2.14) в выражение для функционала (2.4.2)
(2.4.9)
Первый интеграл
(2.4.10)
Второй интеграл равен нулю в силу ортогональности (2.2.17). Третий интеграл был взят в (2.2.28)
(2.4.11)
Таким образом, (2.4.9) приобретает вид:
(2.4.12)
Запишем условие минимума функционала
(2.4.13)
откуда следует
что полностью совпадает с решением (2.2.20), полученным в методе Бубнова-Галеркина
Запишем функционал квадратичной ошибки для варианта С: внесем аппроксимирующую функцию (2.2.23) в выражение для функционала (2.4.2)
(2.4.14)
Первый интеграл
(2.4.15)
Второй интеграл равен нулю в силу ортогональности (2.2.26). Третий интеграл был взят в (2.2.27)
(2.4.16)
Таким образом, (2.4.9) приобретает вид:
(2.4.17)
Запишем условие минимума функционала
(2.4.18)
откуда следует
что полностью совпадает с решением (2.2.29), полученным в методе Бубнова-Галеркина