2.6. Метод конечных элементов

В методе конечных элементов стержень разбивается на n элементов.

Рисунок 38. Разбиение на конечные элементы

На рисунке 38: x – глобальная координата; – глобальная нумерация узловых перемещений (1,2,…,n+1 – глобальная нумерация узлов).

Рассмотрим k-й конечный элемент (рисунок 35).

Рисунок 39. Отдельный конечный элемент

На рисунке 35: S – локальная координата; – локальная нумерация узловых перемещений (1,2 – локальная нумерация узлов).

В пределах каждого конечного элемента функцию перемещения и нагрузки представляем в виде линейных функций:

(2.6.1)

Для определения параметров имеем следующие условия:

(2.6.2)

Из этих условий получаем

(2.6.3)

Выражения (2.6.1) с учетом (2.6.3) приобретают вид:

(2.6.4)

Введем обозначения

(2.6.5)

и назовем N₁ и N₂ функциями формы (очевидно, что N₁(0)=1, N₁(h)=0, N₂(0)=0, N₂(h)=1), тогда (2.6.4) можно записать в матричной форме

(2.6.6)

Здесь: матрица-строка функций форм

(2.6.7)

вектор узловых перемещений и вектор узловых значений нагрузки конечного элемента соответственно

(2.6.8)

Запишем функционал энергии стержня (w - объем стержня):

(2.6.9)

Поскольку в соответствии с законом Гука для линейной области , а деформационное соотношение -, то первый интеграл (2.6.9) приобретает вид (площадь сечения –А постоянна):

(2.6.10)

и функционал запишется так:

(2.6.11)

Условие минимума или стационарности функционала – равенство нулю его первой вариации:

(2.6.12)

Для отдельного конечного элемента

(2.6.13)

поэтому

(2.6.14)

Раскроем выражения, входящие в (2.6.14) с учетом (2.6.13):

(2.6.15)

Обозначив для компактности

(2.6.16)

перепишем (2.6.15)

(2.6.17)

и внесем в (2.6.14)

(2.6.18)

Введем обозначения:

(2.6.19)

- матрица жесткости конечного элемента;

(2.6.20)

• матрица преобразования нагрузки.

С учетом введенных обозначений

(2.6.21)

Для всей системы (стержня) после суммирования методом прямой жесткости

(2.6.22)

где [К] – матрица жесткости стержня;

{u} – вектор узловых перемещений стержня.

Сокращая на вариацию вектора узловых перемещений и вводя обозначение

(2.6.23)

приходим к окончательной записи матричного уравнения метода конечных элементов

(2.6.24)

где – грузовой вектор стержня.

Вычислим значения и :

(2.6.25)

(2.6.26)

Таким образом, матрица жесткости k–го элемента

(2.6.27)

и матрица преобразования нагрузки k–го элемента

(2.6.28)

вектор внешних нагрузок -

. (2.6.29)

Матричное уравнение метода перемещений в конечноэлементной форме

. (2.6.30)

Здесь: матрица жесткости всей системы – [K], формирующаяся в соответствии с топологией системы; вектор неизвестных узловых перемещений – {U}; грузовой вектор системы -

, (2.6.31)

содержащий грузовую матрицу системы – [B] и вектор внешних нагрузок системы – {Q}.

Учитывая число участков (конечных элементов), запишем (2.6.30) с учетом (2.6.31) в раскрытом виде:

. (2.6.32)

Умножая матрицу преобразования на вектор узловых значений нагрузки, перепишем (2.6.32):

. (2.6.33)

В методе конечных элементов учитываются только геометрические граничные условия путем обнуления строки и столбца с общим диагональным элементом – множителем при нулевом перемещении (сам диагональный элемент при этом не обнуляется) и соответствующего элемента грузового вектора. Так для варианта граничных условий А система приобретает вид:

. (2.6.34)

Для варианта граничных условий В -

. (2.6.35)

Для варианта граничных условий С –

. (2.6.36)

Решение систем уравнений производится так же, как и в методе конечных разностей. Переход к нормальным усилиям осуществляется с помощью соотношения:

.(2.6.37)

где - матрица жесткости конечного элемента;- вектор узловых перемещений конечного элемента;- матрица преобразования узловых реакций в продольные узловые усилия.

Рис. 40. Положительные направления узловых реакций (R) и узловых усилий (N) в отдельном конечном элементе

Так как направления узловых реакций конечного элемента и положительные направления внутренних сил (рис. 40) не совпадают, то матрица преобразования имеет вид:

.(2.6.38)

Произведение матрицы преобразования на матрицу жесткости конечного элемента представим в виде матрицы:

,(2.6.39)

тогда выражение (2.6.37)примет вид:

_. (2.6.40)

_{Для более точного определения усилий используется дифференцирующая матрица (12).}

Результаты расчета представляются в виде графиков. Исходные данные вводятся в программу «GAUSS1», результаты счета по которой сравниваются с ручным счетом.

Рассмотрим пример решения варианта А.

Конечноразностное уравнение запишется так:

_(2.6.41)

После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид:

_(2.6.42)

Учет геометрических граничных условий приведет к следующему соотношению:

_(2.6.43)

Решаем систему способом Крамера.

(2.6.44)

Определяем значения узловых перемещений, приводя к размерности точного решения

(2.6.45)

Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид:

(2.6.46)

Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть

(2.6.47)

(2.6.48)

Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы.

(2.6.49)

Полученные результаты представим в таблице 15 и на графиках (рис. 41, 42).

Таблица 15

	0	0.25	0.5	0.75	1.0
	0^* (0)	0.766^* (0.797)	1.125^* (1.125)	0.890^* (0.891)	0^* (0)
	3.064^* 3.878^** (4.0)	1.436^* 2.250^** (2.313)	-0.940^* 0.248^** (0.25)	-3.560^* -2.250^** (-2.188)	- -4.700^** (-5)

(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.

Рис. 41. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант А)

Рис. 42. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант А)

Рассмотрим пример решения варианта В. Конечноразностное уравнение запишется так:

(2.6.50)

После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид:

(2.6.51)

Учтем граничные условия на левом торце(u₁=0)

(2.6.52)

Выполним прямой ход исключения по Гауссу, идя снизу:

(2.6.53)

Выполним обратный ход, приводя результат к размерности точного решения

(2.6.54)

Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид:

(2.6.55)

Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть

(2.6.56)

(2.6.57)

Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы.

(2.6.58)

Полученные результаты представим в таблице 16 и на графиках (рис. 43, 44).

Таблица 16

	0	0.25	0.5	0.75	1.0
	0^* (0)	2.005^* (2.047)	3.611^* (3.625)	4.639^* (4.641)	5.000^* (5)
	2.673^* 2.939^** (3.0)	2.141^* 2.407^** (2.438)	1.371^* 1.756^** (1.750)	0.481^* 0.926^** (0.938)	- 0.037^** (0)

(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.

Рис 43. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант В)

Рис. 44. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант В)

Рассмотрим пример решения варианта C.

Конечноразностное уравнение запишется так:

_(2.6.59)

После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид:

_(2.6.60)

Учтем граничные условия (u₅=0)

(2.6.61)

Выполним прямой ход исключения по Гауссу, идя сверху:

(2.6.62)

Выполним обратный ход, приводя результат к размерности точного решения

(2.6.63)

Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид:

(2.6.64)

Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть

(2.6.65)

(2.6.66)

Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы.

(2.6.66)

Полученные результаты представим в таблице 17 и на графиках (рис. 45, 46).

Таблица 17

	0	0.25	0.5	0.75	1.0
	4^* (4)	3.797^* (3.797)	3.125^* (3.125)	1.891^* (1.891)	0^* (0)
	-0.271^* 0.042^** (0)	-0.896^* -0.583^** (-0.563)	-1.645^* -1.271^** (-1.25)	-2.521^* -2.083^** (-2.063)	- -2.959^** (-3)

(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.

Рис 45. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант C)

Рис. 46. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант C)

В силу универсальности алгоритма в настоящее время предпочтение отдается именно методу конечных элементов.