Mekhanika_ver4

	Таблица 1.1
Примеры для самообучения с ответами
Дано: Груз массы m=2 кг поддержи-	Дано: Определить усилия в стержня
вают два одинаковых стержня (мас-	АС и ВС, если массы подвешенных
сой стержней пренебречь), соеди-	грузов m=5 кг. Массой стержней
ненных шарнирно в узле А и состав-	пренебречь.
ляющих угол α=60° с вертикалью.
Определить реакции в стержнях.
Ответ: R1=R2=19,62 Н
	Ответ: RАС= 134,02 Н
	RВС= –134,02 Н
Дано: Два невесомых стержня АС и	Дано: Заданы силы P1=10 Н, P2=20
ВС Соединены в точке С и шарнир-	Н, P3=20 Н, P4=40 Н, которые лежат
но прикреплены к полу. К шарниру	в одной плоскости и линии действия
С подвешен груз. Определить реак-	которых пересекаются. Силы имеют
цию стержня BC и вес груза G, если	с осью Х следующие углы α1=30 º,
усилие в стержне АС равно	α2=0 º, α3=45 º, α4=60 º. Найти равно-
RАС=100 Н. Углы α=30 º и β=60 º.	действующую
	Ответ: R=82,7 Н
Ответ: RBС=173,2 Н,
G=200 Н

11

1.2. Пространственная система. Усилие в стержнях

Дано:

Горизонтальная прямоугольная плита (рис. 1.6) весом G закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим в точке В и невесомым стержнем DD'. На плиту в плоскости параллельной xz, действует сила F,

а в плоскости, параллельной yz, момент пары сил M. Нагрузки и длины участков: G=3 кН; F=8 кН; М=4 кН·м; α=60º; АС=0,8 м; АВ=1,2 м;

ВЕ=0,4 м; ЕН=0,4 м. Определить реакции опор А и В и стержня DD'.

Рис. 1.6. Схема для задачи

Решение:

Рассмотрим равновесие плиты (рис. 1.7). На плиту действуют задан-

ные силы G, F и пара сил с моментом М. Реакция сферического шарнира разложим на три составляющие XA, YA, ZA, цилиндрического – на две со-

ставляющие XB ZB; реакцию N стержня направляем вдоль его от D к D’.

Для возможности определения реакций, силу F раскладываем на две про-

екции F' и F''.

12

Рис. 1.7

Для определения шести неизвестных реакций составляем систему уравнения из условий (1.1) и (1.2).

XA XB

F cos(60 ) 0,

Fxi

Fyi

YA

N cos(30 ) 0,

F

Z

A

Z

B

G N sin(30 ) F sin(60 ) 0.

zi

AB

M

x

( F ) M G

Z

B

AB F AB sin(60 ) N AB sin(30 ) 0,

i

2

AC

AC

My

( Fi ) G

F

sin(60 ) F BE cos(60 ) N AC sin(30 ) 0,

2

2

Mz(Fi ) F AB cos(60) N AC cos(30 ) XB AB 0.

Преобразуя системы уравнений и подставляя необходимые значения,

получаем:

13

G

AC

F

AC

sin(60 ) F BE cos(60 )

2

2

N

5,9кН,

AC sin(30 )

M G

AB

F AB sin(60 ) N AB sin(30 )

2

2,1кН,

ZB

AB

F AB cos(60) N AC cos(30 )

7,4кН,

XB

AB

XA XB F cos(60 ) 3,4кН,

N cos(30 ) 5,1кН,

YA

ZB G N sin(30 ) F sin(60 ) 4,8кН.

ZA

Знак минус указывает, что реакция XB направлена противоположно

показанной на рис. 1.7.

14

1.3. Определение центра тяжести геометрических сечений

Центр тяжести – геометрическая точка, неизменно связанная с твёр-

дым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести,

действующих на частицы этого тела при любом положении последнего в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела

(например, у кольца).

Координаты центра тяжести тела в пространстве находят по формулам:

			Gi xi		,
Xc			Gi
		Gi Yi
Y				,
	c		Gi		(1.5)
		Gi Zi
Z					,
	c		Gi

где Gi – сила тяжести элементарной частицы тела; xi, yi, zi – координаты центра тяжести частицы.

В случае однородных тел по таким же формулам можно определять координаты центра тяжести объемов, площадей и линий.

Для плоских (однородных) фигур можно записать:

			Si xi		,
Xc			Si
		Si Yi			(1.6)
				,
Y

Sic

где Si – площадь частицы тела.

15

Дано:

Дана плоская фигура с размерами a=2 м, b=3 м, D=3 м. Определить ее центр тяжести.

Рис. 1.7. Схема для задачи 1.2

Решение:

Поместим рассматриваемую плоскую фигуру в координатные оси

XOY. Разобьем ее на простейшие (рис. 1.8): прямоугольник (центр тяжести c1), треугольник (центр тяжести c2), круг (центр тяжести c3).

Рис. 1.8

Площади данных фигур:

S1 3a 3b 3 2 3 3 54м2 ,

S2		1		a 3b			1	2 3 3 9м2		,
	2				2
S3			d2			32			7,07м2 .
	4				4

16

Определяем центры тяжести простых фигур, относительно заданных осей координат.

– Для прямоугольника:

Xc1				3a				3 2		3м ,
		2				2
Yc1			3b				3 3		4,5м.
		2				2

– Для треугольника (согласно приложения Г):

Xc2	3a			a	3 2					2	6,67м,
		3						3
	Yc2			3b			3 3		3м .
		3				3

– Для круга:

Xc3 a 2м,

Yc3 3b b 3 3 3 6м .

Общий центр тяжести, согласно системы (1.6):

Xc	S1 Xc1		S2 Xc2 S3	Xc3				54 3 9 6,67 7,07 2		3,71м ,
			S1 S3 S3
								54 9 7,07
Y		S1 Yc1	S2 Yc2 S3	Yc3			54 4,5 9 3 7,07 6		4,07 м.
c			S1 S3 S3					54 9 7,07

Нанесем центр тяжести на рассматриваемую фигуру рис. 1.9.

17

Рис. 1.9

Таблица 1.2

Примеры для самообучения с ответами

Дано: Определить центр тяжести Дано: Определить центр тяжести
сечения, если а=2 м, b=3 м.	сечения, если а=2 м, b=4 м.

Ответ: Хс=3 м; Yc=4,5 м	Ответ: Хс=3,41 м; Yc=5,5 м

18

1.4. Определение основных геометрических характери-

стик составного сечения

Дано:

Для заданного поперечного сечения (рис. 1.10) требуется:

1.определить положение центра тяжести сложной фигуры;

2.найти осевые и центробежные моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести;

3.определить направление главных центральных осей (Х0 и Y0);

4.найти момента инерции относительно главных центральных

осей;

5.вычертить сечение в масштабе, на рисунке указать все размеры в числах и все оси.

Рис. 1.10. Исследуемое поперечное сечение

19

Решение:

Проводим временные оси Xвр и Yвр через левый нижний угол сечения

(рис.) и разбиваем сечение на две фигуры: швеллер I и уголок II. Для этих фигур в сортаменте (приложение А) имеются следующие данные:

– для швеллера:		площадь A 25,2см2; положение центра тяжести
			1
Z01 2,28см; осевые моменты инерции Jx1				1670см4, Jy1 139 см4;
–	для уголка площадь		A 19,2см2, положение центра		тяжести
			2
Z02 2,83см, моменты инерции относительно собственных центральных
осей	Jx0 284см4,	Jy0	74,1см4,	осевые моменты	инерции

Jx2 Jy2 179 см4.

Определяем координаты центра тяжести:

xc		A1 x1 A2 x2				25,2 5,72 19,2 10,83			7,93см,
			A1 A2				25,2 19,2
	yc		A1 y1 A2 y2				25,2 10 19,2 2,83		6,9см.
							25,2 19,2
			A1 A2

где x1, x2, y1, y2 – координаты центров тяжести фигур относительно вре-

менных осей, которые относительно временных осей находятся как:

x1 8 z01 5,72 см,

20

y1 2 10 см,

x2 8 z02 10,83 см,

y2 z02 2,83 см.

20