Mekhanika_ver4

S1			F		400 103		0,005
								м2.
					0,5 160 10	6
			[ ]
	1

При реализации метода последовательных приближений целесооб-

разно получить зависимость гибкости стержня λ от площади сечения S

стержня f S . Для этого определим, прежде всего, минимальный мо-

мент инерции сечения Jmin Jx (или Jy ); он будет равен разности момен-

c

тов инерции квадрата со стороной а и круга диаметром d 2 .

		c4		d 4		c4		c4		4
Jmin									0,08 c		.
						12
	12		64					64 16

Площадь сечения

S c2	d	c2	c2	0,8 c2 ,
			4 4
4

отсюда

	c	S	1,116		.
				S
		0,8

Минимальный радиус инерции

J

min

0,08 c4

imin

0,316 c 0,316 1,116

S 0,353 S .

0,8 c

2

S

81

Гибкость стержня

1				1 2				5,66			.
				0,353 S
		i							S
		min

Итак, искомая зависимость λ от S получена.

Вычислим

	1		5,66				5,66				80,0.
							0,005
				S
	Коэффициент φ (см. Приложение Г)								для стали 3 при 80 равен
'	0,75.
1

Разница между 1 и 1' значительная, поэтому повторим расчет,

принимая

		'		0,5 0,75
2	1	1			0,625.
		2		2

Тогда

S2 400 103 0,004м2, 0,625 160 106

2		5,66					5,66		90.
							0,004
			S2

Коэффициент изгиба для 2 90 равен '2 0,69.

82

Напряжение в поперечном сечении стержня получается при этом

F 400 103 103 МПа 100МПа . S2 0,004

Допускаемое же напряжение при расчете на устойчивость

[ y ] '2 [ ] 0,69 160 110,4 МПа.

Недонапряжение составляет

110,4 100 100 % 9,4% 5%. 110,4

Делаем еще одно приближение. Вычислим

			2	'		0,625 0,69
3				2			0,658	,
				2		2

SD 400 103 0,0038м2, 0,658 160 106

	3			5,66		92.
				0,0038

Коэффициент '3 получаем, интерполируя значения φ, соответству-

ющие 90 и 100:

'3 0,69 0,69 0,6 2 0,67. 10

83

Напряжение

400 103 105,3МПа. 0,0038

Допускаемое напряжение

[ y ] 0,67 160 107,2МПа.

Недонапряжение

107,2 105,3 100% 1,8%, 107.2

что допустимо.

Зная площадь сечения A3 0,0038 м2, найдем размеры поперечного сечения стержня: сторона квадрата

c 1,116A 1,1160,0038 0,068м 6,8см.

Диаметр отверстия

d c 6,8 3,4 см. 2 2

Гибкость стержня 92 меньше λпред=100, поэтому критическую си-

лу определим с использованием формулы Ясинского:

Fкр кр A a b A 310 1,14 92 0,0038 780 кН.

где a и b – экспериментальные коэффициенты, зависящие от материала (табл. 2.4).

84

Таблица 2.4

Материал	a, МПа	b, МПа
Ст. 2, Ст.3, Ст.5	310	1,14
Чугун	776	12
Дерево	29.3	0.194

В том случае, если λ>λпред=100, то критическую силу определяют по формуле Эйелера:

	F		2	Е J
			2
	кр

Коэффициент запаса устойчивости

	ny	Fкр		780	1,95.
		F		400

85

Задание

Дано:

Стальной стержень длиной сжимается силой F . Стержень имеет схему закрепления с коэффициентом приведенной длины 1 и попереч-

ное сечение, показанное на рисунке.

Требуется:

- найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении

[ ] 160 МПа (расчет произвести последовательными приближениями,

предварительно приняв величину коэффициента продольного изгиба

0,5);

-найти числовое значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Рис. Схема балки

Числовые данные:

Вариант	Нагрузка F,	, м	Вариант	Нагрузка	, м
	кН			F, кН
1	100	2,1	6	600	2,6
2	200	2,2	7	700	2,7
3	300	2,3	8	800	2,8
4	400	2,4	9	900	2,9
5	500	2,5	10	1000	3

86

Формы сечений (варианты):

I

II

III

IV

VI

V

VIII

VII

IX

X

87

2.5. Сдвиг. Смятие и срез

Пример 1. Дано:

Рассчитать заклепочное соединение двух листов одинакового сече-

ния толщиной t= 16 мм, перекрытых двумя накладками (рис. 2.18), если

F=0,5 MH и диаметр заклепок d=20 мм. Допускаемые напряжения: σadm =160 МПа, τadm = 90 МПа, σ’соп=320 МПа.

Рис. 2.18. Схема

Решение:

В данном случае заклепки двухсрезные, т. к. для разрушения соеди-

нения необходимо, чтобы каждая заклепка срезалась по двум плоскостям.

Определяем необходимое число срезов по формуле:

n		F				0,5		17,6	срезов.
		d2				(20 103)2
			adm				90
		4				4

Следовательно, необходимо принять девять заклепок. Необходимое число заклепок по смятию определяем по формуле:

88

	n'	F			0,5	5,85 6 заклепок.
		t d	'		0,016 0,02 320
			соп

Решающим явился расчет на срез. Принимаем девять заклепок – с каждой стороны стыка в три ряда по три заклепки в ряд. Подберем сече-

ние листа из расчета на растяжение:

A	F		0,5	31,3см2 .

adm 160

Отсюда при толщине t=1,6 см найдем ширину листа:

A 31,3

b0 t 1,6 19,5см.

К этой рабочей ширине надо добавить ширину отверстий 3d = 6 см,

тогда получим полную ширину листа:

b= 19,5 + 6=25,5 см.

Этой ширины вполне достаточно для размещения трех заклепок.

Расстояние между центрами заклепок принимаем равным 3d. Толщина t1

каждой накладки должна быть не менее половины толщины листа; прини-

маем t1= 0,8 см.

Пример 2. Дано:

Диаметр вала ступицы d=48 мм. Длина ступицы L=70 мм. Крутящий момент T=400 Н·м передает одна шпонка с размерами b=14 мм, h=9 мм,

=63 мм. Глубина паза в валу t1=5,5 мм. Определить напряжения смятия и среза и проверить, проходит ли данная шпонка по допускаемым напряже-

ниям смятия [σсм]=100 МПа и среза [τср]=60 МПа.

89

Решение:

При расчете шпонки на смятие используется формула:

см		2 T 103						2 400 103			97,2 МПа,
		d b (h t )					48 (63 14) (9 5,5)
				1
что меньше допустимого см 100 МПа.
При расчете на срез формула имеет вид:
			2 T 103					2 400 103
		ср							18,9	МПа,
			d
				b				48 63 14

что меньше допустимого [τср]=60 МПа. Следовательно, шпонка удовлетво-

ряет заданным условиям.

90