Mekhanika_ver4

Опорные реакции RyA и RyB направим вертикально вверх. Горизон-

тальная составляющая реакций в неподвижной опоре RxA.

Для определения реакций RyA и RyB воспользуемся уравнениями рав-

новесия для плоской системы (1.3)

– уравнение проекций всех сил на ось x:

RxA 0,

– исходя из условия – сумма моментов относительно любой точки равняется 0 (система 1.3), составим два уравнения, относительно первой и второй опоры:

						МА	0,
q a		a		M RyB a b c F a b c d 0,
	2
						МB	0,
	a					M RyA a b c F d 0,
q a					b c
	2

отсюда

			q		a2		M F a b c d
RyB				2
							a b c			,
	10	3,5		2		15 12 3,5 3,0 2,0
	2								20,97 кН
							3,5 3,0 2,0

51

			a
		q a			b c		M F d
RyA			2
						a b c
			3,5		2							,
	10 3,5					3,0 2,0			15 12 2,5
			2
											26,03	кН
					3,5 3,0 2,0

– для проверки правильности вычислений реакций RyA и RyB состав-

ляем уравнение проекций всех сил на ось y (система 1.3)

Fxi 0 RyA q a RyB F 26,03 10 3,5 20,97 12 0.

Условие выполняется, следовательно, реакции найдены, верно.

Построение эпюры поперечных сил Q

Для построения эпюр, используем метод сечений. Разбиваем балку на четыре участка (a, b, c, d).

Рис. 2.8. Сечения балки

Участок a. Проводим сечение I-I на расстоянии z1; 0 z1 a от ле-

вого конца балки. Правую часть балки откидываем, левую зарисовываем,

52

добавляя при этом, поперечную силу Q1 (согласно правилу знаков рис. 2.9)

рис. 2.10 а:

Рис. 2.9. Правило знаков

z1є(0;a)	z2є(0;b)
а)	б)

z3є(0;d)	z4є(0;c)
в)	г)

Рис. 2.10. Рассматриваемые участки балки

Рассмотрим равновесие левой части балки. Поперечную силу в ис-

комом сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3). 53

RyA q z1 Q1 0,

отсюда

QI RyA q z1.

Поперечная сила Q1 зависит линейно от z. Поэтому для построения эпюры Q1 на первом участке вычислим значения поперечной силы в начальной и конечной точках:

– при z1=0

Q1 26,03 10 0 26,03 кН,

– при z1=a=3,5 м

Q1 26,03 10 3,5 8,97 кН.

Затем отложим полученные ординаты и соединим их прямой линией

(рис. 2.11, эпюра Q).

Участок b. Проводим сечение II-II на расстоянии z2; 0 z2 b от ле-

вого конца балки. Правую часть балки откидываем, левую зарисовываем,

добавляя при этом, поперечную силу Q2 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.10 б.

Рассмотрим равновесие левой части балки. Поперечную силу в ис-

комом сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3).

RyA q a Q2 0,

отсюда

Q2 RyA q a 26,03 10 3,5 8,97 кН.

54

Поперечная сила на участке b постоянна, поэтому эпюра представля-

ет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс и имеющую ордина-

ту –8,97 кН.

Рис. 2.11. Схема и эпюры

Участок d. Проводим сечение III-III на расстоянии z3; 0 z3 d от правого конца балки. Левую часть балки откидываем, правую зарисовыва-

ем, добавляя при этом, поперечную силу Q3 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.10 в.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Поперечную силу в ис-

комом сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3).

55

F Q3 0,

отсюда

Q3 F 12 кН.

Эпюра на участке d – прямая с ординатой +12 кН (рис. 2.11).

Участок с. Проводим сечение IV-IV на расстоянии z4; 0 z4 c от правого конца балки. Левую часть балки откидываем, правую зарисовыва-

ем, добавляя при этом, поперечную силу Q4 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.10 г.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Поперечную силу в ис-

комом сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3).

RyB F Q4 0,

отсюда

Q4 F RyB 12 20,97 8,97 кН.

Эпюра на участке с – прямая с ординатой –8,97 кН (рис. 2.11).

Для задач данного типа справедливы следующие проверки по

эпюрам поперечных сил:

– Если на балке имеются сосредоточенные силы, то на эпюре, дол-

жен быть скачок по направлению и на величину данной силы.

– Эпюра параллельна нулевой линии, кроме случаев, когда действует распределенная нагрузка (на этих участках, эпюра наклонена под опреде-

ленным углом).

56

Проверки эпюры поперечных сил (рис. 2.11):

– На балке имеются 3 сосредоточенные силы RyA, RyB, F. На эпюре поперечных сил имеются скачки в точках приложения, равные по значе-

нию и направленные в сторону рассматриваемых сил.

– Эпюра имеет наклон только на участке a, где имеется распреде-

ленная нагрузка q. В остальных случаях эпюра параллельна нулевой линии.

Построение эпюры изгибающих моментов

Для построения используем те же участки что и при рассмотрении эпюры поперечных сил.

Участок a. Сечение I-I на расстоянии z1; 0 z1 a. Добавляем, из-

гибающий момент M1 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.10 а.

Рассмотрим равновесие левой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3), относи-

тельно центра тяжести сечения c1.

Mc1 0 RyA	z1	q z1			z1	M	1,
				2
M1 RyA	z1	q	z2
			1	.
		2

Получили уравнение параболы. Для ее приближенного построения достаточно найти значения момента в трех точках: начало, конец и середи-

на (в случае если имеется вершина параболы, то обязательно ее построение):

– при z1=0

M1 26,03 0 10 0 0 кН∙м,

57

– при z1=a=3,5 м

	M1 26,03 3,5 10	3,52	29,86	кН∙м.
		2

Вершина параболы определяется точкой, в которой Q=0. Для этого используем уравнение для построения эпюр поперечных сил, и приравни-

ваем его к нулю:

QI RyA q z1 0,

отсюда

	z1	RyA		26,03
					2,6	,
		q		10

при z1= 2,6 м

M1	26,03 2,6 10	2,6	2	33,88 кН∙м.
		2

Отложив вычисленные значения изгибающих моментов, проведем через них параболу с вершиной в точке М1=33,88 кН∙м.

Участок b. Сечение II-II на расстоянии z2; 0 z2 b. Добавляем, из-

гибающий момент M2 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.10 б.

Рассмотрим равновесие левой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим используя уравнение равновесия (1.3), относи-

тельно центра тяжести сечения c2.

58

Mc2				a
	0 RyA		(a z2 ) q a				z2			M2 ,
				2
			a
	M2	RyA (a z2 ) q a				z2		.
			2

Уравнение прямой линии. Для построения достаточно найти две точки:

– при z2=0

		a
M2	RyA (a z2 ) q a				z2
		2							,
		3,5
26,03 (3,5 0) q 3,5						0		22,86	кН м
				2

– при z2=b=3 м

		a
M2	RyA	(a z2 ) q a			z2
		2							.
		3,5
26,03 (3,5 3) q 3,5						3		2,94	кН м
				2

Ставим на эпюре две точки и соединяем прямой.

Участок d. Сечение III-III на расстоянии z3; 0 z3 d Добавляем,

изгибающий момент M3 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.10 в.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3), относи-

тельно центра тяжести сечения c3.

Mc3 0 F z3 M3 ,

M3 F z3 .

59

Уравнение прямой линии. Для построения достаточно найти две точки:

– при z3=0

M3 F z3 12 0 0 кН∙м,

– при z3=d=2,5 м

M3 F z3 12 2,5 30 кН∙м.

Ставим на эпюре две точки и соединяем прямой.

Участок c. Сечение IV-IV на расстоянии z4; 0 z4 c Добавляем,

изгибающий момент M3 (согласно правилу знаков рис. 2.9) – рис. 2.10 г.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим, используя уравнение равновесия (1.3), относи-

тельно центра тяжести сечения c4.

Mc4 0 RyB z4 F d z4 M4 ,

M4 RyB z4 F d z4 .

Уравнение прямой линии. Для построения достаточно найти две точки:

– при z4=0

M4 RyB z4 F d z4 20,97 0 12 2,5 0 30 кН∙м,

60