Mekhanika_ver4

По значениям координат центра тяжести фигуры наносим точку С

(рис. 1.11) и проводим центральные оси xc и yc параллельно временным осям.

Рис. 1.11

Вычисляем осевые моменты инерции относительно случайных цен-

тральных опорных осей xc и yc:

Jxc Jxc I Jxc II Jx1 A1 a12 Jx2 A2 a22

1670 25,2 3,1 2 179 19,2 4,07 2 2409см4 ,

21

Jyc Jyc I Jyc II Jy1 A1 b12 Jy2 A2 b22

139 25,2 2,21 2 179 19,2 2,9 2 603см4 ,

где а1, а2 – расстояние от оси xc до центров тяжести швеллера и уголка, со-

ответственно (см. рис. 1.11);

b1, b2 – расстояние от оси yc до центров тяжести швеллера и уголка,

соответственно (см. рис. 1.11).

Вычисляем центробежный момент инерции сечения относительно осей xc и yc. Центробежный момент швеллера относительно собственных осей равен 0, т. к. его оси проходят через центр тяжести, и одна из них яв-

ляется осью симметрии.

Для уголка собственные центральные оси, т. е. x2 и y2 не являются главными, поэтому центробежный момент уголка в этой системе коорди-

нат не равен 0.

Jx2y2		Jx0 Jy0	sin(2 ) Jx0y0
	2

Угол α отрицателен, т. к.

вой стрелки (рис. 1.12).

cos(2 ) 284 74,1 1 0 104,95 см4. 2

поворот осей x0, y0 направлен по ходу часо-

Рис. 1.12. Правило знаков для уголка

22

Jx y	c	Jx y	I	Jx y	II	Jx1y1 A1 a1 b1 Jx2y2 A2 a2 b2
c		c c		c	c

0 25,2 3,1 2,21 104,95 19,2 4,07 2,90 501,9 см4 .

Угол поворота главных осей инерции:

tg2 0		2Jxc yc			2 501,9		0,555
		Jyc Jxc			603 2409
		0		14 31'30".

Откладываем полученный угол против хода часовой стрелки от цен-

тральных осей xс и yс (рис. 1.11).

Определяем главнее моменты инерции:

Jx0	Jxc	cos2 0 Jyc	sin2 0 Jx y		c	sin 2 0 2536 см4,
				c
Jy0	Jxc	sin2 0 Jyc	cos2 0	Jx y		sin 2	0 476	см4.
				c		c

Так как Jxc Jyc , то Jmax будет относительно оси x0, а Jmin будет

относительно оси y0.

23

2. Основы сопротивления материалов

Основной задачей науки сопротивления материалов, является разра-

ботка надежных и наиболее экономичных в отношении стоимости и веса деталей, а также отдельных элементов и изделия в целом. Расчет является тем надежнее, чем он ближе отражает реальную работу детали и изделия.

Для расчетов деталей машин и сооружений на прочность необходи-

мо знать внутренние силы и напряжения, возникающие в результате дей-

ствия приложенных к деталям внешних сил. Для определения величины внутренних усилий используется метод сечений: тело мысленно разрезает-

ся плоскостью на две части (рис. 2.1), любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы,

действовавшие до разреза; оставленная часть рассматривается как само-

стоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.

Очевидно, что, согласно третьему закону Ньютона (аксиома взаимо-

действия), внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и отбро-

шенной частей тела, равны но модулю, но противоположны по направле-

нию. Таким образом, рассматривая равновесие любой из двух частей рас-

сеченного тела, получается одно и то же значение внутренних сил.

Рассечем брус (рис. 2.1) поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.

В общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, дей-

ствующих в сечении а-а, будут главный вектор Fгл, приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент Ми, уравновешивающие плоскую си-

стему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса. Эти состав-

ляющие, называются внутренними силовыми факторами.

24

Рис. 2.1. Метод сечений

Разложим главный вектор на составляющую N – продольная сила,

направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q – поперечная сила,

перпендикулярную этой оси, т. е. лежащую в плоскости поперечного сечения.

Для нахождения внутренних силовых факторов, можно использовать уравнения равновесия статики. Для плоского состояния:

		Fxi	0,
Rx
Ry		Fyi	0,	(2.1)
M	и	M(F ) 0.
			i
		25

В случае пространственной системы сил, возникает шесть внутрен-

них силовых факторов (рис. 2.2). Для определения также можно использо-

вать уравнения статики (1.1–1.2).

Шесть внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении бруса в самом общем случае, носят следующие названия: N – про-

дольная сила, Qх, Qy – поперечные силы, Мк – крутящий момент, Мих, Миу –

изгибающие моменты.

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по се-

чению необходимо ввести меру их интенсивности. За такую меру прини-

мается напряжение.

Pср	F
	S .	(2.2)

В сопротивлении материалов, полное напряжение раскладывается на две составляющие: нормальное – σ и касательное – τ.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные внутренние силовые факторы. Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N. В этом случае это деформация растяжения или деформация сжатия, приводят к возникнове-

нию только нормальных напряжений – σ.

2.В сечении возникает только поперечная сила Q. В этом случае это деформация сдвига, приводит к возникновению только касательных напряжений – τ.

3.В сечении возникает только крутящий момент Мк. В этом случае это деформация кручения, приводит к возникновению только касательных напряжений – τ.

4.В сечении возникает только изгибающий момент Ми. В этом слу-

чае это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возни-

26

кает изгибающий момент Ми и поперечная сила Q, то изгиб называют по-

перечным.

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий и крутящий моменты или изги-

бающий момент и продольная сила), то в этих случаях имеет место соче-

тание основных деформаций.

Так как угол между нормальным и касательным напряжениями все-

гда равен 90º, то модуль полного напряжения определяется по формуле:

p

2 2 .

(2.3)

27

2.1. Растяжение, сжатие

Дано:

К стальному стержню приложены продольные силы (рис. 2.2), F1=10 кН, F2=30 кН. Модуль упругости E 2 105 МПа Верхний конец стержня жестко закреплен в опоре, а нижний конец – свободен и его торец имеет линейные перемещения относительно верхнего конца. Длины участ-

ков ℓ1=ℓ2=1 м, ℓ3=2 м Площади поперечных сечений S1=10 см2, S2=20 см2.

Сила тяжести G=0. Требуется:

–Построить эпюру продольных сил.

–Построить эпюру нормальных напряжений.

–Построить эпюру абсолютных удлинений.

Рис. 2.2. Схема балки

Решение:

Эпюра продольных сил

Разобьем данную балку, используя метод сечений, на 3 участка ℓ1, ℓ2, ℓ3 (рис. 2.3). В каждом участке проведем сечение, приложим внутреннюю продольную силу N, и воспользуемся условием равновесия

28

Fiy 0

а) б) в)

Рис. 2.3

Для первого участка (рис. 2.3 а):

N1 F1 0.

Для второго участка (рис. 2.3 б):

N2 F1 0.

Для третьего участка (рис. 2.3 в):

N3 F1 F2 0.

Отсюда

N1 F1 10 кН,

N2 F1 10 кН,

N3 F2 F1 20 кН.

29

Откладываем значения и строим эпюру (рис. 2.2).

Эпюра нормальных напряжений

Эпюра нормальных напряжений строится по тем же участкам что и эпюра продольных сил.

					N							10 103
	1					1												107		Па 10МПа,
												10 10			4
					S
						1
	2		N			2				10 103							0,5 107 Па 5МПа ,
											20 10			4
			S2
								N3									3
		3											20 10						107	Па 10МПа.
								S2					4
													20 10

Откладываем значения и строим эпюру (рис. 2.2).

Эпюра абсолютных удлинений

Верхний конец балки жестко закреплен, следовательно абсолютное удлинения ∆ℓ целесообразно отсчитывать от жесткого закрепления.

	3		N	3		3		20 103 1			0,5 10		4 м 0,05мм.
								2 105	106	20 10 4
			E S2

Абсолютное удлинения второго сечения относительно жесткой за-

делки будет складываться из удлинений сечения ℓ3 и сечения ℓ2 относи-

тельно закрепления балки:

2			N	2			2			3				10 103 1										0,5 10			4	0,25 10		4	м 0,025мм,
			E S										2 10		5	10			6	20 10			4
						2
1		N				1							10 103 2									0,25 10				4	0,75 10			4 м 0,075мм.
		1							2
												5		10			6	10 10			4
			E S									2 10
					1

30