Mekhanika_ver4

Отложив в принятом масштабе 3, 2, 1, и соединив соседние

точки отрезками прямых, получим эпюру абсолютных удлинений

(рис. 2.2).

Таблица 2.1

Примеры для самообучения с ответами

На стержень действуют силы F1=2 кН; F2=3 кН; F3=2 кН. Модуль упругости материала стержня Е=2·105 МПа. Площади поперечных сечений участков: S1=2 см2; S2=4 см2. Длина участка а=1 м. Построить эпюры N, σ, ℓ.

На стержень действуют силы F1=50 кН; F2=10 кН; F3=30 кН. Модуль упругости материала стержня Е=2·105 МПа. Площади поперечных сечений участков: S1=10 см2;

S2=20 см2. Длины участков l1= l3=2 м и l2= l4=4 м. Построить эпюры N, σ, ℓ.

31

Варианты заданий:

32

33

34

35

36

2.2. Кручение

Дано:

К стальному ступенчатому валу (рис. 2.4), имеющее сплошное попе-

речное сечение, приложены четыре крутящих момента: T1 6кН∙м,

Т2 3 кН∙м, Т3 1,5 кН∙м, Т4 0,5 кН∙м. Модуль сдвига G 8 104 МПа Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец – свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца. Длины участков ℓ1=ℓ2=1,5 м, ℓ3=ℓ4=2 м. Требуется:

–Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

–При значении допускаемого напряжения на кручение [ ] 50 МПа

определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность.

–Построить эпюру действительных напряжений по длине вала.

–Построить эпюру углов закручивания.

Рис. 2.4. Схема балки

37

Решение:

Эпюра крутящих моментов

Применяя метод сечения, определим крутящие моменты в текущих сечениях вала на участках ℓ4, ℓ3 и т. д. (знаки крутящих моментов взяты со-

гласно правила знаков рис. 2.5). Рассматривать начинаем слева балки:

Рис. 2.5

на участке ℓ4:

Tкр1 T4 0,5 кН∙м;

на участке ℓ3:

Tкр 2 T3 T4 1,5 0,5 1,0 кН∙м;

на участке ℓ2:

Tкр 3 Т2 Т3 Т4 3 1,5 0,5 2,0 кН∙м;

на участке ℓ1:

Tкр 4 Т1 Т2 Т3 Т4 6 3 1,5 0,5 4,0 кН∙м.

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 2.4).

38

Определяем диаметры валов:

Имея в виду, что для круглого сплошного сечения Wp 0,2 d3

(приложение А), получаем

d 3Tк .

0,2 [ ]

Диаметры валов определяются по наибольшему крутящему моменту.

Наибольший крутящий момент на участке диаметром d1 (ℓ1 и ℓ2) равен

Tкр 4 4,0 кН∙м, а на участке диаметром d2 (ℓ3 и ℓ4) – Tкр 2 1,0 кН∙м,

поэтому:

d1	3			Tк				3				4,0 103						0,074 м,
			0,2 [ ]								0,2 50 10					6
															1,0 103
	d2 3					Tк				3											0,047	м.
														0,2 50 10					6
				0,2 [ ]

Эпюра касательных напряжений

Действительные максимальные касательные напряжения на соответ-

ствующих участках вала определяем по формуле

		Ткр		Т	кр
		Wp		0,2	d3 ,

на участке ℓ4:

1	Ткр1		0,5 103	22,61 МПа,
	0,2 d32		0,5 0,0473

39

G Jp

на участке ℓ3:

2		Т	кр2		1 103		45,2	МПа,
			3		0,5 0,047	3
		0,2 d2

на участке ℓ2:

		Т	кр3		2 103
3						23,7	МПа,
			3		3
		0,2 d1			0,5 0,074

на участке ℓ1:

		Т	кр4			4 103
4							47,4	МПа.
			3		0,5	3
		0,2 d1				0,074

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 2.4.

Эпюра углов закручивания

Левый конец вала жестко закреплен, следовательно угол закручива-

ния φ целесообразно отсчитывать от жесткого закрепления. Поскольку крутящий момент Ткр и жесткость вала при кручении постоянны на каждом участке вала, угол φ определяем по формуле:

Ткр .

G Jp

Полярный момент инерции круглого сечения (приложение А)

Jp 0,1 d4 .

40