Федеральное агентство по образованию Вятский государственный университет

Факультет прикладной математики и телекоммуникаций Кафедра высшей математики

Б.Е. Кирин

Кратные интегралы. Векторный анализ.

Ряды.

Типовой расчет. Часть 3.

Для технических специальностей

Киров 2009

Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского государственного университета

УДК 517.3/.5(07) К 431

Рецензент: кандидат химических наук, доцент кафедры высшей математики А.С.Махнев.

Кирин Б.Е. Кратные интегралы. Векторный анализ. Ряды. Типовой расчет для самостоятельной работы студентов технических специальностей / Б.Е.Кирин. - Киров: Издательство ВятГУ, 2009. - 19с.

Редактор Е.Г. Козвонина Компьютерная верстка Е.П.Опушневой

Подписано в печать	Усл.печ. л. 0,9
Бумага офсетная	Печать матричная
Заказ № 258	Тираж 102

Текст напечатан с оригинала – макета, представленного автором. 610000, Киров, ул. Московская, 36.

Оформление обложки, изготовление – ПРИП ВятГУ.

©Б.Е. Кирин, 2009

©Вятский государственный университет, 2009

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.............................................................

5

Задача 2. Вычислить двойной интеграл......................................................................

6

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией (a>0)................................

7

Задача 4. Вычислить двойной интеграл......................................................................

8

Задача 5. Вычислить тройной интеграл. .....................................................................

9

Задача 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями. .........................

11

Задача 7. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, m - плотность.

Найти массу тела........................................................................................................

12

Задача 8. Вычислить криволинейный интеграл по линии L от точки

А до точки В. ..............................................................................................................

13

Задача 9. Некоторые приложения криволинейных и кратных интегралов.............

14

Задача 10. Найти угол между градиентами скалярных полей U1 и U2

в т.М (x,y,z).................................................................................................................

r

r

16

× gradU ]

r

Задача 11-12.Дано поле

a

= [c

18

, c - постоянный вектор ,U=U(x,y,z).............

r

r

18

Задача 13-14. Задан вектор a

= P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k ................................

Задача 15.Найти циркуляцию векторного поля

a

по контуру c

непосредственно.........................................................................................................

19

= P(x, y, z)i + Q(x, y, z)

+ R(x, y, z)

Задача 16. Вычислить поток векторного поля

j

k

a

через часть поверхности s в сторону внешней нормали ........................................

20

Задача 17. С помощью теоремы Остроградского вычислить поток векторного

= P(x, y, z)i + Q(x, y, z)

+ R(x, y, z)

через внешнюю сторону замкнутой

поля

j

k

a

поверхности s ...........................................................................................................

21

Задача 18. Записать общий член ряда. ......................................................................

22

Задача 19. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд с помощью

признака сравнения....................................................................................................

23

Задача 20. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд с помощью

признака Даламбера ...................................................................................................

24

	4
Задача 21. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд с помощью
радикального признака Коши....................................................................................		25
Задача 22. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд с помощью
интегрального признака Коши. .................................................................................		26
Задача 23. Найти интервал сходимости степенного ряда. .......................................		26
Задача 24. Найти сумму ряда.....................................................................................		27
Задача 25.	Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x.................................	28
Задача 26.	Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x-x0. ...........................	28
Задача 27.	Используя разложение в ряд подинтегральной функции, вычислить
интеграл с точностью 0,001. ......................................................................................		29
Задача 28.	Разложить в ряд Фурье функцию. ...........................................................	29

5

Задача 1. Изменить порядок интегрирования

	2					x							4							4 x-x2														4	25- y 2
1.1 òdxò fdy + òdx																					ò fdy													1.2 òdy			ò fdx
	0			0									2						0															0	0
																2 4-x2																		2 2
	1					2+x																																y
1.3	òdx ò fdy + òdx ò fdy																																	1.4 òdy ò fdx
	-2					0							1						0															0	y 2
																																			4
						2-																														25- y 2
										4-x2									2											4-x2				3
		3
1.5	òdx					ò								fdy + òdx																ò fdy				1.6 òdy				ò fdx
	0					0																3							0					0			9- y2
																																		2 4- y2
						x							2								4-x2
		2
1.7	òdxò fdy + òdx																					ò fdy												1.8 òdy ò fdx
	0					0										2			0															0		4-2 y 2
	1												2																					1				2- y
							x													2-x
1.9 òdx ò fdy + òdx																				ò fdy														1.10 òdy ò fdx
	0					0							1						0															0					y
	1						x2						2								2-x													1					1- y2
1.11 òdx ò fdy + òdx ò fdy																																		1.12 òdy								ò fdx
	0					0							1						0															-1
																																						- 1- y 2
	4												6								6-x													4					7- y
									x
1.13 òdx ò fdy + òdx ò fdy																																		1.14 òdy						ò fdx
	0					0							4						0															0					y 2+1
																																			2
	1					1											e		1															2										y
1.15 òdx ò													fdy + òdx ò fdy																					1.16 òdy ò fdx
	0						1-x2						1										ln x											0					y 2
																																								4
																																		1 4- y2
		a															2a								2ax-x2
									ax
1.17 òdx ò													fdy + òdx																ò fdy					1.18 òdy						ò fdx
	0					0											a												0					0					2 y+1
																														x2										25- y 2
	-1												2-x2						0															4
1.19				ò		dx							ò fdy + òdx ò fdy																					1.20 òdy						3				ò fdx
	-				2								0						-1										0					0
																																														y
																																								2
	1																			3						3-x2								2						2- y
									2 x
1.21 òdx ò													fdy + òdx ò fdy																					1.22 òdy								ò fdx

0	0	1	0	-6	y 2	-1
					4

										6
1.23	1	x2		3	(3-x) / 2					2	6- y
	òdx ò fdy + òdx					ò fdy				1.24 òdy ò fdx
	0	0		1		0				1	2 y
	2				8
1.25			16-2 x				16-2 x
	òdx	ò		fdy + òdx				ò fdy
	0		4-2 x		2			0

Задача 2. Вычислить двойной интеграл

2.1	òò(12x 2 y 2	+16x3 y 3 )dxdy,	D: x = 1,	y = x 2 , y = -					x
	D
2.2	òò(9x 2 y 2 + 48x3 y3 )dxdy,		D: x = 1,	y =				y = -x 2
					x,
	D
2.3	òò(36x 2 y 2 - 96x3 y 3 )dxdy,		D: x = 1,	y = 3				y = -x3
					x,
	D
2.4	òò(18x 2 y 2	+ 32x3 y 3 )dxdy,	D: x = 1,	y = x3 ,				y = -3
										x
	D
2.5	òò(27x 2 y 2	+ 48x3 y 3 )dxdy,	D: x = 1,	y = x 2 ,				y = -3
										x
	D
2.6	òò(18x 2 y 2	+ 32x3 y 3 )dxdy,	D: x = 1,	y = 3				y = -x 2
					x,
	D
2.7	òò(18x 2 y 2	+ 32x3 y 3 )dxdy,	D: x = 1,	y = x3 ,				y = -
										x
	D
2.8	òò(27x 2 y 2	+ 48x3 y 3 )dxdy,	D: x = 1,	y =				y = -x3
					x,
	D
2.9	òò(4xy + 3x 2 y 2 )dxdy,		D: x = 1,	y = x 2 ,				y = -
										x
	D
2.10 òò(12xy + 9x 2 y 2 )dxdy,			D: x = 1,	y = -x 2 ,				y =
										x
	D
2.11 òò(8xy + 9x 2 y 2 )dxdy,			D: x = 1,	y = 3		,		y = -x3
					x
	D
2.12 òò(24xy +18x 2 y 2 )dxdy,			D: x = 1,	y = x3 ,				y = -3
										x
	D
2.13 òò(12xy + 27x 2 y 2 )dxdy,			D: x = 1,	y = x 2 ,				y = -3
										x

D

7

2.14

òò(8xy +18x 2 y 2 )dxdy,

D: x = 1,

y = 3

x,

y = -x 2

D

2.15

òò(

4

xy +

9

x 2 y 2 )dxdy,

D: x = 1,

y = x3 ,

y = -

x

D 5

11

2.16

òò(

4

xy + 9x 2 y 2 )dxdy,

D: x = 1,

y =

y = -x 2

x,

D 5

2.17

òò(24xy - 48x3 y 3 )dxdy,

D: x = 1,

y = x 2 ,

y = -

x

D

2.18

òò(6xy + 24x3 y 3 )dxdy,

D: x = 1,

y =

y = -x 2

x,

D

2.19

òò(4xy +16x3 y 3 )dxdy,

D: x = 1,

y = 3

,

y = -x3

x

D

2.20

òò(4xy +16x3 y 3 )dxdy,

D: x = 1,

y = x3 ,

y = -3

x

D

2.21

òò(44xy +16x3 y 3 )dxdy,

D: x = 1,

y = x 2 ,

y = -3

x

D

2.22

òò(4xy +176x3 y 3 )dxdy,

D: x = 1,

y = 3

,

y = -x 2

x

D

2.23

òò(xy - 4x3 y 3 )dxdy,

D: x = 1,

y = x3 ,

y = -

x

D

2.24

òò(4xy +176x3 y 3 )dxdy,

D: x = 1,

y =

y = -x3

x,

D

2.25

òò(9x 2 y 2

+ 25x 4 y 4 )dxdy,

D: x = 1,

y =

y = -x 2

x,

D

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией (a>0)

3.1	(x 2	+ y 2 )3	= a 2 x 2 y 2	3.2	x6	= a 2 (x 4	- y 4 )
3.3	(x 2	+ y 2 )2	= a 2 (4x 2 + y 2 )	3.4	(x 2	+ y 2 )5	= a 4 x 4 y 2
3.5	(x 2	+ y 2 )2	= a 2 (x 2 + 2 y 2 )	3.6	(x 2	+ y 2 )3	= a 2 y 4

8

3.7 (x 2

+ y 2 )5

= a6 x3 y

3.8 (x 2 + y 2 )2 = ax3

3.9 (x 2

+ y 2 )2

= a 2 (x 2 - y 2 )

3.10

(x 2

+ y 2 )2

= a 2 xy

3.11

(x 2

+ y 2 )2

= a 2

(3x 2

+ 2 y 2 )

3.12

(x 2

+ y 2 )7

= a8 x 2 y 4

3.13

(x 2

+ y 2 )2

= a 2

(x 2 + 4 y 2 )

3.14

(x 2

+ y 2 )3

= a 2 x 4

3.15

(x 2

+ y 2 )2

= 2ax3

3.16

(x 2

+ y 2 )2

= a 2 (2x 2

+ 3y 2 )

3.17

(x 2

+ y 2 )2

= a 2

(5x 2

+ 3y 2 )

3.18

(x 2

+ y 2 )7

= a8 x 4 y 2

3.19

(x 2

+ y 2 )3

= x 4

+ y 4

3.20

x 4

= a 2 (x 2

- y 2 )

3.21

(x 2

+ y 2 )3

= a 2 xy3

3.22

(x 2

+ y 2 )5

= a 6 xy3

3.23

(x 2

+ y 2 )3

= a 4 y 2

3.24

(x 2

+ y 2 )2

= a 2 (5x 2

+ 7 y 2 )

3.25

(x 2

+ y 2 )3

= a 2 x 2 (4x 2 + 3y 2 )

Задача 4. Вычислить двойной интеграл.

4.1

òò ye xy / 2 dxdy

4.2

òò y 2 sin

xy

dxdy

D

D

2

x

D: y = ln 2, y = ln 3, x = 2, x = 4

D: x = 0, y =

y =

p ,

2

4.3

òò y cos xydxdy

4.4

òò y 2 cos

xy

dxdy

D

D

2

x

D: y =

p

, y = p, x = 1, x = 2

D: x = 0, y =

y =

p / 2,

2

2

4.5

òò y sin xydxdy

4.6

òò4 y 2 sin xydxdy

D

D

D: y =

p

, y = p, x = 1, x = 2

D: x = 0, y =

y = x

p / 2,

2

4.7

òò4 ye2 xy dxdy

4.8

òò y 2 cos xydxdy

D

D

D: y = ln 3, y = ln 4, x =

1

, x = 1

D: x = 0, y =

y = x

p ,

2

4.9

òò y cos 2xydxdy

4.10 òò4 y 2 sin 2xydxdy

D D