14
8.12	ò(x 2 - y)dx + ( y 2							- x)dy , L: ABотрезок , A (0,0), В (3,4)
	L
	ò	y 2	+1			x - 2 y 2
8.13					dx -				dy , L: AB – отрезок , А(1,2), В (2,4)
			y			y	2
	L

8.14 ò(2xy2 -1) ydx + (3xy2 + 5)xdy , L: AB – отрезок , A(0, 0) , B (2,4)

L

	8.15	ò(3x 2 y +1)dx + (x3 + 2)dy , L: y= 2 x , A(0,0) , В (1,2)
		L
	8.16	ò		y	dx + xdy , L: y= lnx, A(1,0) , B (e,1)
		L		x
	8.17	òsin ydx + sin xdy , L: ABотрезок , A(0, p ), B (p , 0)
		L
	8.18	ò(xy - x)dx +				x 2	dy , L: y = 2		, A(0, 0), B(1,2)
								x
		L		2

8.19 ò xdy - ydx , L: y= x3 , A(0,0) , B (2,8)

L

8.20	ò xdx + ydy , L: AB – отрезок , А (1,0) , В (0,3)
	L
8.21	ò(x 2	- y 2 )dx + xydy , L: AB – отрезок, А( 1,1 ) , В (3,4 )
	L
8.22	ò(x - y)dx + dy , L: x 2			+ y 2 = 4 , (y ³ 0), A(2,0) , B(-2 , 0)
	L
8.23	ò(x 2	+ y 2 )dx + y 2 dy , L:ABотрезок А (2,0) , В (0,2)
	L
8.24	ò(xy - y 2 )dx + xdy , L: y= 2x 2 , A(0,0) , В (1,2)
	L
8.25	ò(x 2	+ 2xy)dy , L :	x 2	+ y 2 = 1 , (y ³ 0) , A (2,0) , B ( -2, 0)
	L	4

Задача 9. Некоторые приложения криволинейных и кратных интегралов.

9.1 Найти массу полусферы x= R2 - y 2 - z 2 , если поверхностная плотность в каждой точке

пропорциональна квадрату расстояния точки до начала координат.

9.2 Вычислить массу квадратной пластинки со стороной a , в каждой точке которой плотность пропорциональна сумме ее расстояний до диагоналей квадрата.

15

9.3 Найти абсциссу центра тяжести дуги винтовой линии x = a cost , y= a sint , z = вt

(0 £ t £ p ), если линейная плотность в точке М (x,y,z ) пропорциональна произведению первых

2

двух координат.

9.4 Найти массу материальной дуги линии y = x3 ( 0 £ x £ 1) , если линейная плотность точки М (x,y) равна ординате точки.

9.5 Найти массу поверхности z = x 2 + y 2 , отсеченной плоскостями z =0, z= 1, если плотность в точке М (x,y,z ) равна сумме квадратов координат точки.

9.6Вычислить массу круга x 2 + y 2 £ 2Rx , если в каждой точке его плотность равна расстоянию до начала координат.

9.7Вычислить момент инерции первого витка винтовой линии x = a cost, y=asint, z = ht

2p

относительно оси oz

9.8 Найти работу, производимую силой F = {sin 2 x; y 2 } вдоль дуги линии y= cosx (0 £ x £ p )

(в направлении возрастания параметра).

9.9Найти площадь части поверхности 3z= x 2 + y 2 , вырезанную цилиндром x 2 + y 2 = 4 .

9.10Найти массу поверхности единичной сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , если поверхностная плотность в точке М (x,y,z ) равна расстоянию до оси оy.

9.11Найти площадь поверхности y = 9 - x 2 , вырезанную цилиндром x 2 + z 2 = 9.

9.12Найти статический момент относительно плоскости xoz параболической оболочки

z = 1 (x 2 + y 2 )(0 £ z £ 1) , если плотность в каждой точке равна расстоянию до плоскости xoz/

		2
	9.13	Вычислить абсциссу центра тяжести дуги однородной кривой x=3t , y= 3 t 2 , z = 2t3 от
	точки О (0,0,0 ) до точки А (3,3,2).
				r					2
									y
	9.14	Найти работу силы F = -xi + yj при перемещении вдоль линии L: x 2 +								= 1
							9
	(x ³ 0, y ³ 0) от точки М (1,0) до точки N (0,3 ).
		Найти момент инерции параболоида z =			x 2	+ y 2
	9.15							относительно оси оz при 0 £ z £ 1.
						2
	9.16	Вычислить площадь поверхности цилиндра x 2					= 2z , отсеченной плоскостями
	x - 2 y = 0, y = 2x, x = 2			.
			2
	9.17	Найти момент инерции относительно оси

16

Oz поверхности z 2 = x 2 + y 2 , заключенной между плоскостями z=0, z= 1, если плотность в

точке М (x,y,z) равна m = x 2 + y 2 .

9.18Вычислить площадь поверхности конуса x 2 - y 2 - z 2 = 0 , расположенной внутри цилиндра x 2 + y 2 = 1.

9.19Вычислить площадь части поверхности параболоиды x = 1 - y 2 - z 2 , вырезанной цилиндром y2 + z2 = 1.

9.20Вычислить площадь части поверхности цилиндра z 2 = 4x , расположенной в первой октанте и вырезанной цилиндром y 2 = 4x и плоскостью x=1.

9.21Вычислить координаты центра тяжести однородной полусферы радиуса R.

9.22Вычислить площадь части поверхности сферы x2 + y 2 + z 2 = a 2 , вырезанной цилиндром

x2 + y 2 = R 2 (R £ a)

9.23Найти координаты центра тяжести конической поверхности z 2 = x 2 + y 2 ,0 £ z £ 1, если ее

плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от оси конуса.

9.24Вычислить площадь части конуса y 2 = x 2 + z 2 , вырезанную цилиндром x 2 + z 2 = 2z.

9.25Найти координаты центра тяжести однородного параболоида 2z = x 2 + y 2 , отсеченного плоскостью z=1.

Задача 10. Найти угол между градиентами скалярных полей

U1 и U2 в т.М (x,y,z).

				x3																3																		3														yz 2																												1							;		1			)
	U								+ 6 y																3 6z																			U																												2;
10.1		1	=																			+																		,								2		=							;			M (
				2																																																	x 2
																																																																																2									3
10.2	U1		=		4					6					-								6				+								3		;U 2						= x 2 yz 3 ; M (2;																					1			;								3				)
																				9 y
						x																													z																													3									2
																							y		2																														z 2													1
10.3 U1																2																												2																																							2
			= 3					2x											-													- 3								2z						;U				2	=									; M (												;2;															)
																																																						xy 2														3															3
																									2
10.4	U1		= x 2							+ 9 y 2													+ 6z 2 ;U 2																				= xyz; M (1;															1			;			1							)
																																																																6
																																																								3
																	+													-						2			;U											x										1												1					;			1
10.5	U1		= -								6													6																			2			=							; M (													;																							)
							2x																																											yz 2
																					2 y 3z																																							2 2 3
																								y 2																															xy 2															1
																		2																											2																																							2
	U1								2x																																2z						;U 2														; M (
10.6			= 3																	-														- 3																	=																						;2;																)
																																																								z 2														3													3
																									2

																																																																																																										17
							1																						2																						3																							y			2 z 3																1
	U1	=													-																	2							-															3					;U											=												; M (																																															3
10.7																																																																	2																																										;									2;																			)
																											y																				2z																														x																																																		2
								2x																																																																																										2
														2											3y 2																																				2																				2																									2											1
10.8	U1	=					2x												-																				- 6															2z									;U 2										= xy									z; M (1;																												;																	)
																																																																																																										3
																																2																																																																																					6
							1								-								2																				-		3													;U																			x																1																																										)
10.9	U1	=																														2																						3																=												; M (																									;																						3
																																																																	2																																																			2;
																											y																																															y			2 z 3																																																		2
								2x																																																																																										2
																																															2z
10.10	U1		= x 2											- y 2 - 3z 2 ;U 2																																													=									x					; M (								1					;							1											;						1									)
																																																																	yz 2
																																																																																													2																	3
																																																																																			2
							x3																					3																												3																		yz					2																											1																		1
10.11	U1		=												+ 6 y																	+ 3																6z											;U 2											=											; M (												2;																							;													)
							2																																																																				x 2
																																																																																																														2																	3
			=			4														-																								+	3						;U								2 = x 2 yz 3 ; M (2;																																	1					;																		)
10.12	U1													6																			6																																																																												3
									x																																																																																																	2
																											9 y																		z																																										3
																																				y 3																			4z 3																								z 3																			1
10.13																						3																																																																																																			3
	U1		= 9										2x													-																					-																		;U 2									=										; M (																						;2;																						)
																																																																															xy			2																3																			2
																																2							2																					3
10.14	U1		=			3			+									4					-											1											;U 2 =																							z							; M (1;2;																		1									)
																																																															x3 y 2
																																		6z																																																											6
							x												y
10.15								x			3																			3																												3																			x		2																															1																	1
	U1			=													+ 6 y																	+ 3																	6z									;U 2 =																					; M (												2;																								;																)
							2																																																																				yz 2
																																																																																																														2																		3
																																			y 2																																															z 2																								1
10.16																								2																																											2																																																												2
	U1			= 3												2x										-																			- 3															2z									;U 2								=											; M (																						;2;																			)
																																																																																	xy 2																									3																					3
																																							2
																								3																												3																2													xz				2																									1																	1
10.17	U1			= 6												6x										- 6																	6 y													+ 2z														;U 2							=												; M (																												;															;1)
																																																																																			y
																																																																																																														6																	6
																																													2																									yz 2															1													1																			1
10.18	U1			=								6							-										6					+																		;U 2										=															; M (																;																		;																)
								2x																	2 y																		3z																												x
																																																																																							2											2																			3
10.19	U1			=			3				+								4							-								1												;U 2													=						x			3 y					2			; M (1;2;																	1													)
								x													y																																																	z
																																																																																													6
																																							6z
								6												2														3																																				x 2
10.20	U1																																										3								;U																												; M (																																							3
				=							+															-																																	2			=																									2;																			2;																			)
								x													y											2																																					y 2 z 3																																															2
																																										2z
10.21	U1			= x						2						- y										2					- 3z														2		;U 2														=						yz 2								; M (							1						;					1														;			1												)
																																																																					x
																																																																																			2															2
																																																																																																																				3
								x3																			y			3													8z									3																						x 2
10.22	U1																																																						;U 2																										; M (																																												3
				=															-															-																																	=																										2;																	2;																		)
																																																																							y 2 z 3																																														2
											2																			2																	3
								3																																																																																																		1
10.23	U1			=						x 2 + 3y 2																														- 2z 2 ;U																									2				= x2 yz 3 ; M (2;																																												;											3				)
																																																																																																																												2
							2																																																																																																			3

18

10.24

U1

= x 2

+ 9 y 2

+ 6z 2 ;U 2

=

1

; M (1;

1

;

1

)

xyz

6

3

10.25

U1

= x 2

- y 2 - 3z 2 ;U 2

=

x

; M (

1

;

1

;

1

)

yz 2

2

3

2

r

r

r

Задача 11-12.Дано поле

a

= [c × gradU ]

,

c - постоянный вектор ,U=U(x,y,z)

11.

r

Доказать, что a - соленоидальное поле

12.

Найти ротор

r

a .

11-12.1

r

r

3y

2

.

11-12.2

r

r

2

с

= i - k ;u = xz -

c = 3 j - k ;u = 3xz + y

11-12.3

r

r

r

2

.

11-12.4

r

r

r

c

= i + 2 j - k;u = xz

c

= i - j - k;u = xy + yz

11-12.5

r

r

r

2

z.

11-12.6

r

r

r

2

- y

2

c

= 2 j + k ;u = y

c

= 2i + 2k ;u = x

11-12.7

r

r

r

2

- x

2

11-12.8

r

r

r

2

+ y

c

= i - 3 j;u = zy

c

= i + k ;u = xz

r

r

r

r

11-12.9

c

= i

- 2 j + k ;u = y + xz

11-12.10

c

= j + 3k ;u = z - xy

11-12.11

r

r

11-12.12

r

r

2

+ xy

c

= i - 2k;u = xy + xz

c

= i - 3 j + k : u = x

11-12.13

r

2

y

11-12.14

v

r

r

r

2

+ y

2

c = 3i - k ;u = x

c

= 2i + j + 2k ;u = xz

11-12.15

r

r

r

r

11-12.16

r

r

r

2

- 2xy

c

= i + j - 3k ;u = 3xy - yz

c

= i + 2 j + 2k ;u = x

11-12.17

r

r

11-12.18

r

r

r

r

2

- xz

c

= i + j - k ;u = z + 2 yz

c

= i + 2 j + k ;u = y

11-12.19

r

2

+ z

2

11-12.20

r

r

r

2

+ xz

c = 2 j - k ;u = y

c

= i + 3 j - k ;u = 3y

11-12.21

r

r

r

2

- 2 yz

11-12.22

r

r

r

2

- 2 yz

c

= i - j + k ;u = z

c

= 2i + k ;u = x

11-12.23

r

r

r

11-12.24

r

r

c

= i + j + k ;u = xy - yz

c

= 2i - j + k ;u = xyz

11-12.25

r

r

r

2

z

+ y

2

c

= 3i + 2k ;u = x

Задача 13-14.

r

r

Задан вектор a = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k

r

13.Доказать, что векторное поле a является потенциальным.

14. Найти его потенциал U=U(x,y,z), предполагая, что в начале координат U=0.

r

v

13-14.1

a

= x 2 i + y3

j

+ (z + 2)k

13-14.2

a

= (x + z)i

+ ( y + 2z) j + (x + 2 y)k

x 2

13-14.3

a

= xzi + 2 yj +

k

2

r

13-14.4

a

= x3i

+ y 3

j

+ z 3 k

19

13-14.5

a

= y2 zi

+ 2xyzj

+ xy2k

13-14.6

a

= (2xz +1)i

+ y 2

j

+ x 2 k

13-14.7

a

= y 2i

+ 2xyj

+ z 2 k

13-14.8

= xi

+ ( y -1)

a

j

+ zk

r

2

2

13-14.9

zj + (3x

y +1)k

a = 6xyzi + 3x

13-14.10

+ (x 2 - 2 y)

a

= 2x( y + z)i

j

+ x 2 k

13-14.11

+ 2xyzj

a

= ( y 2 z +1)i

+ xy 2 k

13-14.12

= 2xyzi

+ (x 2 z + 2)

a

j

+ x 2 yk

13-14.13

a

= 3i

+ 2 yj

+ 3z 2 k

r

13-14.14

a

= ( yz 2

+ 3x 2 )i + xz

2

j

+ 2xyzk

13-14.15

= yzi

+ xyk

a

+ xzj

13-14.16

a

= (x + y)i

+ (x + z) j + ( y + z)k

13-14.17

= 2(xy 2 + z)i

+ (2x 2 y + z)

a

j

+ (2x + y)k

= y 2i

r

13-14.18

a

+ (2xy + z) j + ( y +1)k

13-14.19

= (2 y + x 2 )i

+ (2x - z)

a

j

- yk

13-14.20

+ (2 yz + 3x)

+ y 2 k

a

= (2x + 3y)i

j

13-14.21

= ( y - z 2 )i

+ (x + 3y 2 )

a

j

- 2xzk

13-14.22

+ (x 2

+ z)

a

= (2xy - z 3 )i

j

+ ( y - 3xz 2 )k

13-14.23

+ (2xy + 2z)

a

= ( y 2 - 2xz 2 )i

j

+ (2 y - 2x 2 z)k

r

13-14.24

a

= 2xi + 3zj

+ (3y -1)k

13-14.25

= (3x 2

a

- 2 y)i

- 2xj

+ 3z 2 k

Задача 15.Найти циркуляцию векторного поля a по контуру c

непосредственно.

15.1a = zi - y 2 j + x 2 k ; c : {z = x 2 + y 2 , z = 1, x = 0, y = 0}

15.2		= y2i + (xz + y)				; c :{x + y + z 1,=x 0,= y 0,= z 0=}
	a		j	+ xzk

15.3a = yi - xj + yk , c : {x 2 + y 2 = 1 - z, x = 0, y = 0, z = 0}

15.4a = 2 yi + j - 2 yzk , c : {x 2 = 1 - y - z, x = 0, y = 0, z = 0}

20

15.5a = y 2i - x 2 j + z 2 k , c : {(z -1)2 = x 2 + y 2 , x = 0, y = 0, z = 0}

{

y2

}

15.6

a

= yi

- zj + xk , c=:

1- x - z, (1=октант= ) , x= 0, y

0, z 0

{

}

15.7

a

= y2

i

-

j

+

k

, c := z2

1- x - y, (1октант= = ), x= 0, y

0, z

0

15.8

, c : {x 2

+ z 2 = 4 - y, (1октант), x = 0, y = 0, z = 0}

a

= yi

- xj

+ xk

r

15.9

a

= yi - z 2

j

+ xk , c : {x + 2 y + 2z = 2, x = 0, y = 0, z = 0}

15.10

= z 2i

- x 2

, c : {2x + y + z = 2, x = 0, y = 0, z = 0}

a

j

+ zk

15.11

= xyi + z 2

, c : {y 2

= 1 - x - z, (1октант), x = 0, y = 0, z = 0}

a

j

15.12

= y 2i

- x 2

, с : {3x + y + 2z = 6, x = 0, y = 0, z = 0}

a

j

+ k

15.13

= xi

, c : {x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0}

a

- xzj

+ yk

15.14

= y 2i

- x 2

, c : {(x + z)2 = 4 - y, (1октант), x = 0, y = 0, z = 0}

a

j

+ zk

15.15

= xyi

, c : {x 2 + z 2

= 1 - y, (1октант), x = 0, y = 0, z = 0}

a

+ xyj

15.16

= xi

, с : {(x -1)2 = z 2 + y 2 , (1октант), x = 0, y = 0, z = 0}

a

+ zj

- yk

15.17

= (x + y)2 i

-

, с : {(x + y)2 = 1 - z, (1октант), x = 0, y = 0, z = 0}

a

j

15.18

= xi

, c : {(x + z)2

= 4 - y, (1октант), x = 0, y = 0, z = 0}

a

- zj

+ yk

15.19

= x 2i

, c : {y = x 2

+ z 2 , y = 1, x = 0, z = 0}

a

+ xj

+ xzk

15.20

=

y 2

, c : {y 2

= 1 - x - z,(1октант), x = 0, y = 0, z = 0}

a

j

+ xk

2

15.21

= yzi

+ (xz 2 + 6 y)

, с : {x + 2 y + 2z = 2, x = 0, y = 0, z = 0}

a

j

+ y 2 k

r

2

2

15.22

+ yzk , c : {x

+ z

= 4 - y, (1октант), x = 0, y = 0, z

= 0}

a = xyj

15.23a = 4zi + (x - y - z) j + (3y + z 2 )k , c : {x - 2 y + 2z - 2 = 0, x = 0, y = 0, z = 0}

15.24a = (x + z 2 )i + xzj + 2xyk , c : {3x + 2 y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0}

15.25

a

= (2x - z)

i

+ ( y2 - x)

j

+ (x + 2z)

k

, c : {x - y + z

2,= x 0,= y 0,= z 0=}

= P(x, y, z)i + Q(x, y, z)

+

Задача 16. Вычислить поток векторного поля

j

a

R(x, y, z)

k

через часть поверхности s в сторону внешней нормали

16.1

= x 2 i +

y

- z

,

s : 2z = 4 - x 2 - y 2

(x > 0, y > 0, z > 0).

a

j

k

16.2

= i +

- z 3

,

s : z 2

= x 2 + y 2

(x > 0, y > 0,0 < z < 2).

a

j

k

16.3

= xzi +

yz

+

,

s : x 2

+ y 2

= 1

(x > 0, y > 0,0 < z < 2).

a

j

k

16.4

= (1 - z)xi + (1 - z) y

+

, s : (1 - z)2

= x 2 + y 2

(x > 0, y > 0,0 < z < 1).

a

j

k

21

16.5

= xzi + yz

s : 2z = 9 - x 2 - y 2

(x > 0, y > 0,0 < z <

1

).

a

j

+ xk

,

2

16.6

= xi +

y

- z 2

,

s : x 2 + y 2

+ z 2

= 1

(x > 0, y > 0, z > 0).

a

j

k

16.7

= xyi + xy

,

s : y = 4 - x 2 - z 2

(x > 0, y > 0, z > 0).

a

j

16.8

= i -

- z 2

,

s : 2z = x 2

+ y 2

(x > 0, y > 0,0 < z < 2).

a

j

k

16.9

=

y 2

+

,

s : x 2

+ y 2

= 4

(x > 0, y > 0,0 < z < 2).

a

j

k

16.10

= zxi + yz

+ z 2

,

s : x 2 + y 2

+ z 2

= 1

(x > 0, y > 0, z > 0).

a

j

k

16.11

= xi +

y

- z 2

,

s : z 2

= x 2

+ y 2

(x > 0, y > 0,0 < z < 1).

a

j

k

16.12

= xi +

+ xz

,

s : x 2

+ y 2

= 1

(x > 0, y > 0,0 < z < 1).

a

j

k

16.13

= x 2 i + z

,

s : 2z = 2 - x 2 - y 2

(x > 0, y > 0, z > 0).

a

k

16.14

= i -

+ x(2 - z)

,

s : (2 - z)2

= x 2

+ y 2

(x > 0, y > 0,0 < z < 2).

a

j

k

16.15

= xy 2 i + yz 2

+ zx 2

,

s : x 2

+ y 2

+ z 2 = 4

(x > 0, y > 0, z > 0).

a

j

k

16.16

= x 2 i + z

,

s : (x -1)2

= y 2

+ z 2

(0 < x < 1, y > 0, z > 0).

a

j

+ yk

16.17

= xi + y 2

+ x3

,

s : y = 4 - x 2 - z 2

(x > 0,0 < y < 4, z > 0).

a

j

k

16.18

= xyi -

+

1

z 2

,

s : y 2

+ z 2

= 4

(0 < x < 2, y > 0, z > 0).

a

j

k

2

16.19

= x 2 i - y 2

+ z 2

,

s : x 2 + y 2

+ z 2

= 1

(x > 0, y > 0, z > 0).

a

j

k

16.20

= zi +

y 3

,

s : y 2

= x 2

+ z 2

(x > 0,0 < y < 2, z > 0).

a

j

+ xk

16.21

=

yi + x3

+ z 2

,

s : y = x2 + z2

(x > 0,0 < y < 3, z > 0).

a

j

k

16.22

=

y 2 i + xy

+ x 2

,

s : ( y - 2)2

= x 2

+ z 2

(x > 0,0 < y < 2, z > 0).

a

j

k

16.23

= yi + 2

+ z 3

,

s : 1 = y 2 + z 2 + x

(0 < x < 1, y > 0, z > 0).

a

j

k

16.24

= x 2 i -

+ z

,

s : y 2

+ z 2 = 3 - x

(x > 0, y > 0, z > 0).

a

j

k

16.25

= i + x

+ z 2

,

s : x 2

= y 2

+ z 2

(0 < x < 3, y > 0, z > 0).

a

j

k

Задача 17. С помощью теоремы Остроградского вычислить поток векторного поля a = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k через внешнюю сторону

замкнутой поверхности s

17.1

= (x + z)i + (z + y)

,

s : {x 2 + y 2 = 9, z = x, z = 0, (z ³ 0)}.

a

k

17.2

= 2xi + 2 y

+ z

,

s : {y = x 2 , y = 4x 2 , y = 1, z = y, z = 0, (x ³ 0)}.

a

j

k

17.3

= (x + y)i + y

,

s : {2 y = x 2 + z 2 , y = 2}.

a

j

- xk

17.4

= 2(z - y)

+ (x - z)

,

s : {z = x 2

+ y 2 +1, x 2 + y 2 = 1, z = 0}.

a

j

k

17.5

=

zi - 4 y

,

s : {z = x 2

+ y 2 , z = 1}

a

j

+ 2xk

17.6

= 2xi + z

,

s : {z = 3x 2 + 3y 2 +1, x 2 + y 2 = 4, z =

0}.

a

k

17.7

= 3xi - z

,

s : {z = 6 - x 2 - y 2 , z 2 = x 2 + y 2 , (z ³

0)}.

a

j

17.8

=

xi - (x + 2 y)

,

s : {x 2 + y 2 = 1, x + 2 y + 3z = 6, z = 0}.

a

j

+ yk

17.9

=

xi + z

,

s : {z = 4 - 2(x 2 + y 2 ), z = 2(x 2 + y 2 )}.

a

j

- yk