3 Тепломассоообмен

Разработка №5	11
Число Нуссельта Nu =α l λ	- безразмерный коэффициент теплоотдачи,

выражающий отношение термического сопротивления теплопроводности Rλ слоя

жидкости толщиной l

к термическому сопротивлению теплоотдачи Rα = 1 (α F) :

Rλ

=

1

1

=

α l

= Nu .

R

(λ F)

(α F)

λ

α

Число Рейнольдса

Re = wж l ν

- выражает отношение

сил инерции

(скоростного напора)

F = ρ w2

к силам вязкого трения F

≈ µ w

ж

/ l . При малых

и

ж

µ

числах Re преобладают силы вязкости и режим течения жидкости ламинарный (отдельные струи потока не перемешиваются, двигаясь параллельно друг другу, и всякие случайные завихрения быстро затухают под действием сил вязкости). При турбулентном течении в потоке преобладают силы инерции, поэтому завихрения интенсивно развиваются.

Число Прандтля Pr =νa - состоит из величин, характеризующих теплофизические свойства вещества. Его значение приводится в справочниках.

Число Грасгофа Gr = g βϑc l 3 ν 2 - характеризует отношение подъемной силы, возникающей вследствие теплового расширения жидкости, к силам вязкости.

Число Эйлера Eu =π (ρ wж2 ) = ( p − pж ) (ρ wж2 ) - характеризует отношение

перепада давлений к скоростному напору.

Согласно так называемой третьей теореме подобия, установленной Кирпичевым и Гухманом, необходимым и достаточным условием подобия физически одинаковых процессов является равенство одноименных определяющих безразмерных чисел и подобие условий однозначности.

Подобие условий однозначности предполагает одинаковое математическое описание начальных и граничных условий в безразмерной форме и геометрическое подобие рассматриваемых систем.

Абсолютные значения размеров, скоростей, температур и величин, характеризующих теплофизические свойства теплоносителя в подобных явлениях, могут быть различны при условии, что комбинации их дают одинаковые определяющие безразмерные числа. Эти безразмерные числа, характеризующие подобие явлений, называются критериями подобия.

Рассчитав постоянную подобия для любого интересующего нас параметра, можно по результатам исследований на модели найти значения этого параметра в целом классе подобных явлений, что резко увеличивает ценность экспериментальных исследований и позволяет моделировать крупномасштабные процессы.

Результаты экспериментальных исследований обычно обобщают в виде уравнений в безразмерной форме. Эти уравнения связывают определяемое безразмерное число Nu с безразмерными координатами и определяющими безразмерными числами (критериями подобия). Каков вид критериев подобия, а соответственно и общий вид безразмерной зависимости, называемой уравнением подобия, определяют, исходя из математического описания процесса в безразмерной форме.

Безразмерные зависимости обладают рядом существенных преимуществ перед обычными размерными зависимостями, хотя входят в них одни и те же параметры. Прежде всего, количество безразмерных комплексов всегда меньше числа входящих

12

в них размерных параметров, поэтому объем экспериментальных исследований резко уменьшается.

2.6. Теплоотдача при вынужденном движении теплоносителя при продольном обтекании плоской пластины.

Для этого самого простого случая система дифференциальных уравнений конвективного переноса в пограничном слое может быть решена аналитически. С учетом набольших эмпирических поправок уравнение подобия для локального коэффициента теплоотдачи (на расстоянии X = xl от начала пластины) при

ламинарном течении теплоносителя в пограничном слое имеет вид:

	−0,5	0,5	0,33	Pr			0,25
Nuж = 0,33 Χ						ж
		Reж	Prж				.
					Pr
						c

				Индекс «ж» означает, что за определяющую принята температура
	набегающего					потока,	а Prc выбирается при	температуре	стенки tc .	Отношение
	Pr		ж		0,25
					в	целом	(оно будет встречаться	и в других	формулах)	учитывает
		Pr
			c

изменение свойств теплоносителя по толщине пограничного слоя. Величина этой поправки существенно отличается от единицы только для капельных жидкостей. Число Pr для газов очень слабо зависит от температуры, и с достаточной точностью

			Pr	ж	0,25
	можно считать, что					=1.	Пределы изменения безразмерных чисел в
			Pr
				c

формуле: Re < Reкр = 5 105 , 0,6 ≤ Pr ≤1,5.

Рис. 95. Образование пограничного слоя (а) и распределение местного коэффициента теплоотдачи (б) при продольном обтекании плоской пластины.

В переходной зоне (рис.95) интенсивность теплоотдачи нестабильна, и точно рассчитать α практически невозможно, поэтому при расчетах условно полагают, что переход от ламинарного течения в пограничном слое к турбулентному

Re >Reкр

Разработка №5

13

происходит сразу при Reкр = 5 105 . Если теплоотдачу только на участке ламинарного

Теплоотдачу от остальной части пластины турбулентного режима в пограничном слое

, то по формуле считают

течения длиной	X л = Reкр	Re .
рассчитывают по	формуле	для

	−0,2	0,8	0,43	Pr			0,25
Nuж = 0,33 Χ						ж
		Reж	Prж					,
					Pr
						c

справедливой при Reкр < Re < 107 и 0,7 ≤Pr ≤ 200 .

Анализ формул приводит к следующим выводам. В частности, отрицательные степени при Х указывают на уменьшение коэффициента теплоотдачи по длине пластины. Если привести эти формулы к размерному виду, заменив все безразмерные числа отношениями соответствующих размерных величин, то будут видны степени влияния и других факторов, например, на участке ламинарного

пограничного слоя α ≈w 0,5 , а на участке турбулентного α ≈ w 0,8 , показатель степени у коэффициента теплопроводности соответственно равен 0,67 и 0,57.

Формулы для расчета средних по поверхности значений чисел Nu можно получить интегрированием по Х уравнений. Так, если на всей пластине режим

течения в пограничном слое ламинарный ( Reж = wжlνж <5 105 ), то

Nu ж = 0,66 Re0,5 Pr 0,33 Prж 0,25 .

ж ж Prc

Если же Re ж >> 5 105 , т.е. почти на всей длине пластины режим течения жидкости в пограничном слое турбулентный, то

Nu ж = 0,037 Re0,8 Pr 0,43 Prж 0,25 .

ж ж Prc

2.7. Теплоотдача при вынужденном движении теплоносителя при поперечном обтекании трубы (пучка труб).

Рис. 96. Расположение труб при поперечном обтекании:

а – одиночная труба, б – шахматный пучок, в – коридорный пучок

14

Экспериментальные данные по теплоотдаче при поперечном обтекании одиночной круглой трубы (рис.96,а) спокойным, нетурбулизированным потоком обобщаются формулой

Nu ж = (0,43 +C Renж Prж0,38 )εϕ .

Параметры теплоносителя в формуле соответствуют условиям набегающего потока, а определяющим размером является наружный диаметр трубы.

Значения коэффициента С и показателя степени n в зависимости от критерия Re приведены в таблице2.

Таблица 2.

	Re =wo d ν	C		n
	1− 4 103	0,55		0,50
	4 103 − 4 104	0,20		0,62
	4 104 −4 105	0,027		0,80
Коэффициент εϕ учитывает угол между направлением течения потока и осью
тубы. Наибольшие значения α		(εϕ = 1) наблюдаются		при расположении труб

перпендикулярно потоку. Если туба наклонена, то значение εϕ можно взять из графика на рис.97.

Рис. 97. Зависимость поправочного коэффициента εϕ от угла между направлением потока и осями труб для одиночной трубы (1) и для пучка труб (2).

Турбулизация набегающего потока улучшает теплообмен. Значения поправок, учитывающих турбулизацию, для ряда практически важных случаев можно найти в справочнике.

Во многих теплообменниках трубы располагаются в виде шахматных (рис.96,б) или коридорных (рис.96,в) пучков. Коэффициент теплоотдачи при

поперечном обтекании таких пучков в интервале Re = 103 ÷105 можно рассчитывать по формуле

Разработка №5							0,52	15
			n 0,33
				Prж				εϕεs .
Nu			ж = C Re ж Prж
					Pr
						c

Для шахматных пучков C = 0,41, n = 0,6 , для коридорных C = 0,26 , n = 0,65 . Определяющим размером в формуле является наружный диаметр труб,

определяющей температурой – среднее значение между температурами жидкости до пучка и после него. Скорость w рассчитывается, как отношение объемного расхода теплоносителя при t ж к наиболее узкому сечению в пучке, ширина которого меньше ширины полного сечения канала на величину произведения наружного диаметра труб на их число в одном ряду. Поправочный коэффициент εs учитывает влияние

поперечного s1 и продольного s2 шагов. Для шахматного пучка

εs = (s1 s2 )1 6 при s1 s2 < 2 ,

εs = 1,12 при s1 s2 ≥ 2 .

Для коридорного пучка

εs = (s2 d)0,15 .

При прочих одинаковых условиях коэффициент теплоотдачи от труб шахматного пучка выше, чем от труб коридорного, вследствие большой турбулизации потока в шахматном пучке.

2.8. Теплоотдача при вынужденном движении теплоносителя внутри труб.

Рис. 98. Образование пограничного слоя (а) и распределение местного коэффициента теплоотдачи (б) при турбулентном течении теплоносителя внутри трубы.

Обобщение большого числа экспериментальных данных дает следующую критериальную зависимость для расчета коэффициента теплоотдачи от стенки

16

трубы к текущему в ней теплоносителю на участке стабилизированного течения. (рис.98)

		0,8	0,43				0,25
				Prж
Nu ж = 0,021Re		ж	Prж
					Pr
						c		.

В формуле, справедливой для наиболее распространенного турбулентного течения при Re = 104 ÷5 106 и Pr = 0,6 ÷ 2500 , определяющим размером является внутренний диаметр трубы d . Если это не круглая труба, а канал произвольного сечения, то формула тоже применима, только определяющим размером будет эквивалентный диаметр канала

dэкв = 4FП,

где F - площадь поперечного сечения канала, П – внутренний периметр этого сечения.

Определяющей температурой tж является средняя между температурами теплоносителя на входе и выходе из трубы.

Для расчета среднего по всей длине трубы числа Nu ж необходимо умножить Nuж на поправочный коэффициент εl (см.табл.), учитывающий влияние начального

участка, где коэффициент теплоотдачи выше. Для достаточно длинных труб (l ≥ 50)

εl =1.

Значения поправочного коэффициента εl

Re = wж d ν		Значение l		d
	5	10		20	40
1 104	1,34	1,23		1,13	1,03
5 104	1,18	1,13		1,08	1,02
1 105	1,15	1,1		1,06	1,02
1 106	1,08	1,05		1,03	1,01

2.9. Теплоотдача при естественной конвекции.

Для расчета коэффициента теплоотдачи в условиях естественной конвекции в большом объеме теплоносителя обычно пользуются критериальной зависимостью вида

Nu = B(Gr Pr)n ,

обобщающей обширные экспериментальные данные. Значения коэффициента

B и показателя степени n		в зависимости от величины			произведения Gr Pr
приведены в таблице
	Gr Pr		B		n
	10−3 −102		1,18		1/8
	5 102 − 2 107		0,54		1/4
	> 2 107		0,135		1/3

Разработка №5	17
Все параметры	теплоносителя, входящие в критерии подобия, следует

брать из справочников для данного теплоносителя при средней температуре между температурами поверхности и теплоносителя вдали от нее: t = 0,5 (tс + t ж ) . По этой

формуле можно рассчитывать теплоотдачу от поверхностей практически любой формы: вертикальных и горизонтальных труб, шаров, вертикальный пластин (для горизонтальных труб и шаров определяющим линейным размером, входящим в критерии Nu и Gr , является диаметр d , для вертикальных труб и пластин – высота H ). Более того, если значение коэффициента B увеличить на 30% по сравнению с приведенным в таблице, то формулой можно пользоваться и для расчета α от горизонтальной плиты, обращенной греющей стороной вверх. Если греющая сторона обращена вниз, то значение B следует уменьшить на 30%. В обоих случаях определяющим является наименьший размер плиты в плане.

Довольно часто приходится рассчитывать теплообмен естественной конвекцией в узких глухих каналах. Типичный пример – перенос тепла между оконными стеклами. Как показывает эксперимент, большинство случаев теплопереноса в таких условиях (даже не подобных, например в вертикальных, горизонтальных кольцевых щелях) можно приближенно объединить общей расчетной методикой. Среднюю плотность теплового потока q между поверхностями, разделенными прослойкой газа или жидкости толщиной δ , можно рассчитывать как в случае переноса тепла теплопроводностью через плоскую стенку:

q = (tс1 − tс2 )λэ / δ ,

где tс1 и tс2 - большая и меньшая температуры ограждающих поверхностей, λэ - эквивалентный коэффициент теплопроводности, учитывающий и конвективный перенос тепла.

При	(Gr Pr) < 103 естественную конвекцию можно вообще			не учитывать,
считая λэ	= λж . При (Gr Pr) > 103 значение λэ становится заметно больше, чем λж , и
рассчитывается по формуле		λэ = εk λж . Величина	поправки на	конвекцию	εk
приближенно определяется зависимостью
		εk = 0,18(Gr Pr)0,25 .	- толщина прослойки δ ,		а
Определяющий размер		при расчете числа Gr

определяющая температура – средняя между поверхностями: t = 0,5 (tс1 + tс2 )

2.10. Теплоотдача при изменении агрегатного состояния вещества (парообразование, конденсация).

Теплоотдача при кипении. Обычно считают, что жидкость закипает при температуре, равной температуре выходящего из нее насыщенного пара, давление которого pн равно давлению жидкости pж . Однако это не так. При t ж = tн пузыри пара в жидкости существовать не могут, и теплоотдача идет еще по законам естественной конвекции. Дело в том, что давление насыщенного пара внутри пузырей pп должно уравновешивать не только давление жидкости, но и силы поверхностного натяжения, сжимающие пузырь подобно упругой оболочке. А если

18

pп > pн , то и tп > tн , поскольку более высокому давлению пара в насыщенном

состоянии соответствует более высокая температура. Естественно, что и температура жидкости, внутри которой образуются паровые пузыри, должно быть,

по меньшей мере, равна tп . Таким образом, перегрев жидкости	∆t ж = t ж − tн ,
необходимый для ее закипания, однозначно определяется давлением		∆p ,
создаваемым силами поверхностного натяжения. (рис.99).
∆p = 2σ R .
Таким	образом, ∆p

растет с уменьшением радиуса пузыря, поэтому при любом перегреве жидкости всегда найдется такой критический радиус пузыря Rкр, при котором

	суммарное	давление
	pж + ∆p	будет	равно
	давлению насыщения			pн
Рис. 99. Силы, действующие на сферический	при	температуре
паровой пузырь в кипящей жидкости.	t ж = tн + ∆t ж	. Пузыри		с
	радиусом	R > Rкр	будут
«раздуваться», поскольку pп > pж + ∆p , а пузыри	с радиусом	R < Rкр	будут

раздавлены силами поверхностного натяжения – пар сконденсируется. Из этого следует, что если бы пузыри пара начали расти с нулевого радиуса («из ничего»), то кипение не началось бы никогда.

В действительности зародышами паровых пузырей являются пузырьки газа. Газ в пузырьках, как упругое тело, только сжимается под действием поверхностного натяжения, не исчезая (он не может конденсироваться), поэтому критического радиуса для газовых пузырьков не существует. Пар из перегретой жидкости образуется на поверхности газовых пузырей, радиус которых больше Rкр. Сильнее

всего жидкость перегрета, естественно, около обогреваемой поверхности, поэтому там величина Rкр минимальна.

	Пузырьки воздуха, застрявшие в
	микротрещинах и шероховатостях
	обогреваемой поверхности, радиус
	которых	превышает	Rкр,	и
	являются	местами	зарождения
	паровых	пузырей	–	так
	называемыми		центрами
	парообразования.
	После зарождения паровые
Рис. 100. Схема зарождения паровых пузырей в	пузыри быстро растут, отрываются
	от поверхности и всплывают, но
микротрещине обогреваемой поверхности (а) и	небольшие их части остаются на
распределение температур по высоте сосуда с	поверхности и служат зародышами
кипящей водой (б).	следующих пузырей. (рис.100).

qкр1 ,

Разработка №5			19
Сами	пузыри	забирают	от обогреваемой поверхности немного

теплоты, но они интенсивно перемешивают жидкость во всем объеме и главное – в пограничном слое, приводя к резкой интенсификации теплоотдачи к кипящей жидкости по сравнению с обычной естественной конвекцией. (рис.101)

Рис. 101. Зависимость плотности теплового потока q и коэффициента теплоотдачи α от перегрева стенки ∆t = tc − tн .

Число центров парообразования на греющей поверхности увеличивается по мере роста плотности теплового потока q , поскольку при этом увеличивается перегрев жидкости у стенки соответственно уменьшается критический радиус пузыря и все более мелкие шероховатости могут порождать пузыри радиусом R > Rкр . До определенного предела это улучшает перемешивание жидкости и

теплообмен, но затем парообразование у поверхности становится столь интенсивным, что жидкость отделяется от греющей поверхности почти сплошной прослойкой (пленкой) пара. Наступает пленочный режим кипения. Естественно, что пленка пара неустойчива и непрерывно разрушается, но тут же восстанавливается за счет новых порций образующегося пара. Пар, как и любое газообразное вещество, плохо проводит теплоту, и даже тонкая пленка, имея большое термическое сопротивление, резко ухудшает теплообмен – наступает кризис теплообмена при кипении.

В технике стараются не приближаться к критической тепловой нагрузке

соответствующей переходу к пленочному режиму кипения. Дело в том, что в аппаратах, в которых тепловой поток задается независимо от интенсивности теплоотдачи (например, в электронагревателях), случайное, даже непродолжительное по времени превышение тепловой нагрузки над qкр1 приведет к

переходу в пленочный режим кипения и температура нагревателя резко возрастет – почти на 1000 оС. (рис.101) Даже легированные стали не выдерживают столь высоких температур. Обратный переход к пузырьковому кипению происходит

Рис. 102. Характер течения конденсата на вертикальной пластине (а) и распределение коэффициента теплоотдачи по высоте (б).

			20
только	при	достаточно	сильном снижении тепловой нагрузки (до qкр2 ).

Существует множество эмпирических формул для расчета коэффициента теплоотдачи α при кипении как неподвижной жидкости, так и жидкости, текущей около греющей поверхности. Приведем для примера лишь одну эмпирическую зависимость, полученную для пузырькового кипения воды (при q < qкр1 ) в большом

объеме при 0,1≤ p ≤ 3,0 МПа:

α = 0,38 q 2 3 p1 5 .

Единицы измерения всех величин в формуле соответствуют СИ. Коэффициенты теплоотдачи при кипении воды приходится рассчитывать

очень редко, т.к. они настолько велики, что обычно термическое сопротивление процесса теплоотдачи к кипящей воде пренебрежимо мало по сравнению с другими составляющими термического сопротивления передаче теплоты через стенку. Однако при кипении некоторых жидкостей величина α может быть на порядок ниже, чем при кипении воды, и в этих случаях термическое сопротивление теплоотдачи при кипении необходимо учитывать. Этой формулой для других жидкостей пользоваться, естественно, нельзя.

Теплоотдача при конденсации.

Пар конденсируется, т.е. переходит в жидкое состояние, на поверхности теплообмена, температура которой ниже температуры насыщения (tc < tн ).

Различают капельную конденсацию, когда образовавшаяся жидкость (конденсат) не смачивает поверхность и скатывается в виде отдельных капель, например, ртуть на стальной стенке, и пленочную конденсацию, когда конденсат смачивает поверхность и образует сплошную пленку. Пленочная конденсация встречается значительно чаще. При пленочной конденсации пар переходит в жидкое состояние на внешней, соприкасающейся с паром поверхности пленки конденсата. Температура этой

поверхности практически равна температуре насыщения tн .

Температура	конденсата		на
поверхности	стенки	равна
температуре	стенки	tс ,	т.е.

толщина теплового пограничного слоя равна толщине пленки конденсата δ .

Рассмотрим простейший случай конденсации на вертикальной поверхности. (рис.102)

По мере стекания вдоль оси х количество конденсата увеличивается, соответственно возрастают толщина пленки и средняя по толщине скорость течения конденсата. При

значениях числа Рейнольдса превышающих 400, ламинарное течение переходит в турбулентное.