3 Тепломассоообмен

Разработка №5	1
	Раздел 2. Теория теплообмена.

2.1. Основные понятия и определения тепло - и массообмена. Способы передачи теплоты, понятие о массопереносе.

Согласно второму закону термодинамики самопроизвольный процесс переноса теплоты в пространстве возникает под действием разности температур и направлен в сторону уменьшения температуры. Закономерности переноса теплоты и количественные характеристики этого процесса являются предметом исследования теории теплообмена (теплопередачи).

Теплота может распространяться в любых веществах и даже через вакуум (пустоту). Идеальных теплоизоляторов не существует.

Способы передачи теплоты:

1.В веществах теплота передается теплопроводностью за счет переноса энергии микрочастицами. Молекулы, атомы, электроны и другие микрочастицы, из которых состоит вещество, движутся со скоростями, пропорциональными их температуре. За счет взаимодействия друг с другом быстродвижущиеся микрочастицы отдают свою энергию более медленным, перенося, таким образом, теплоту из зоны с более высокой температурой в зону с более низкой.

2.В жидкостях и газах, наряду с движением микрочастиц, между зонами с разными температурами возможно перемещение макроскопических объемов.

В теории теплообмена, как и в гидромеханике, термином «жидкость» обозначается любая сплошная среда, обладающая свойством текучести. Подразделение на «капельную жидкость» и «газ» используется только в случае, когда агрегатное состояние вещества играет в рассматриваемом процессе существенную роль. В жидкостях перенос теплоты может осуществляться еще и за счет перемешивания.

При этом уже не отдельные молекулы, а большие, макроскопические объемы горячей жидкости перемещаются в зоны с низкими температурами, а холодная жидкость попадает в зоны с высокими температурами. Перенос теплоты вместе с макроскопическими объемами вещества носит название конвективного теплопереноса, или просто конвекции.

Конвекцией можно передавать теплоту на очень большие расстояния. Например, от ТЭЦ теплота передается по трубам вместе с движущейся горячей водой на десятки километров для отопления жилых и промышленных зданий.

Движущаяся среда, используемая для переноса теплоты, называется теплоносителем.

Часто приходится рассчитывать конвективный теплообмен между жидкостью

иповерхностью твердого тела. Этот процесс получил специальное название конвективная теплоотдача (теплота отдается от жидкости к поверхности или наоборот).

Следует иметь в виду, что одновременно с конвекцией всегда сосуществует и теплопроводность, однако конвективный перенос в жидкостях обычно является определяющим, поскольку он значительно интенсивнее теплопроводности. В твердых монолитных телах перемещение макроскопических объемов относительно друг друга невозможно, поэтому теплота переносится в них только теплопроводностью. Однако при нагреве, сушке зернистых материалов (песка, зерна

ит. д.) очень часто искусственно организуют перемешивание. Процесс

2

теплопереноса при этом резко интенсифицируется и физически становится похожим на конвективный теплоперенос в жидкостях.

3. Третьим способом переноса теплоты является излучение. Излучением теплота передается через все лучепрозрачные среды, в том числе и через вакуум, например в космосе, где это единственно возможный способ получения теплоты от Солнца и потери ее в межзвездное пространство. Носителями энергии при теплообмене излучением являются фотоны, излучаемые и поглощаемые телами, участвующими в теплообмене.

В большинстве случаев перенос теплоты осуществляется несколькими способами одновременно (случай сложного теплообмена). Например, конвективная теплоотдача от газа к стенке практически всегда сопровождается параллельным переносом теплоты излучением. Хотя часто одним или даже двумя способами пренебрегают ввиду их относительно небольшого вклада в суммарный сложный теплоперенос.

Количественные характеристики переноса теплоты

Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока, т.е. количеством теплоты, передаваемой в единицу времени через единичную площадь поверхности.

Эта величина измеряется в Втм2 и обычно обозначается q . (Следует

обратить внимание на то, что в термодинамике теми же буквами обозначают другие величины: Q - количество теплоты, q - удельное количество теплоты, т. е.

отнесенное к единице массы рабочего тела.)

Количество теплоты, передаваемое в единицу времени через произвольную поверхность F , в теории теплообмена принято называть мощностью теплового потока или просто тепловым потоком и обозначать буквой Q . Единицей ее измерения обычно служит Дж/с, т. е. Вт.

Количество теплоты, передаваемое за произвольный промежуток времени τ через произвольную поверхность F , будем обозначать Qτ . Используя эти

обозначения, можно записать соотношение между рассмотренными величинами:

q = Q F = Qτ (τF)

В общем случае тепловой поток Q , а соответственно, количество теплоты Qτ могут изменяться как по времени, так и по координатам.

Понятие о массопереносе.

Перенос массы вещества из одной точки пространства в другую возникает при наличии разности концентрации данного вещества в рассматриваемых точках. Например, компоненты газовой смеси, неравномерно распределенные по объему, будут переноситься из зон, где их концентрация повышена, в зоны с низкой концентрацией, и постепенно состав смеси по всему объему выровняется.

Способы переноса массы, как и теплопереноса, могут быть различными.

1. Если масса переносится только за счет движения атомов и молекул, то такой процесс называется диффузией. Наиболее интенсивно диффузия протекает в газах, поскольку молекулы в них более подвижны, чем в жидкостях и твердых телах.

Разработка №5

3

2. В жидкостях и газах наряду с диффузией возможен и конвективный массоперенос за счет перемещения макроскопических объемов. При сублимации, сушке, химических реакциях приходится рассчитывать конвективный перенос массы от поверхности тела в жидкую или газовую среду. Такой процесс называется

конвективной массоотдачей.

Вбольшинстве случаев прессы массопереноса аналогичны соответствующим процессам теплопереноса: диффузия - теплопроводности, конвективный массоперенос – конвективному теплопереносу. Аналогичные процессы описываются одинаковыми по форме математическими уравнениями, поэтому многие выводы и формулы теплопереноса, который мы будем рассматривать подробнее, могут быть использованы и для процессов переноса массы.

2.2.Теплопроводность. Основной закон теплопроводности.

Восновной закон теплопроводности входит ряд математических понятий, определения которых целесообразно напомнить и пояснить.

Температурное поле — это совокупность значений температуры во всех

точках тела в данный момент времени. Математически оно описывается в виде Re = wж lν . Различают стационарное температурное поле, когда температура во

всех точках тела не зависит от времени t ≠ f (τ) , и нестационарное t = f (τ) . Кроме того, если температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, то температурное поле называют соответственно одноили двухмерным.

Изотермическая поверхность — это геометрическое место точек, температура в которых одинакова.

Градиент температуры grad t - это вектор, направленный по нормали к

изотермической поверхности в сторону увеличения температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению.

Согласно основному закону теплопроводности - закону Фурье (1822) - вектор плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален градиенту температуры:

q = −λ grad t

где λ - коэффициент теплопроводности вещества; его единица измерения

Вт/(м К).

Знак минус в уравнении указывает на то, что вектор qr направлен противоположно векторуgrad t , т.е. в сторону наибольшего уменьшения температуры.

Тепловой поток dQ через произвольно ориентированную элементарную площадку dF равен скалярному произведению вектора q на вектор элементарной площадки dFr , а полный тепловой поток Q через всю поверхность F определяется

интегрированием этого произведения по поверхности F .

Q = ∫qrdF .

F

Коэффициент теплопроводности λ в законе Фурье характеризует способность данного вещества проводить теплоту. Значения коэффициентов

		4
теплопроводности	приводятся	в справочниках	по	теплофизическим
свойствам веществ.	Численно коэффициент теплопроводности			λ = q grad t равен

плотности теплового потока при градиенте температуры 1 Км. Понять влияние

различных параметров, а иногда и оценить значение λ можно на основе рассмотрения механизма переноса теплоты в веществе.

В газах носителями тепловой энергии являются хаотически движущиеся молекулы. За счет соударения и перемешивания молекул энергия из зон с более высокой температурой, где молекулы движутся быстрее, передается в зоны с более низкой температурой. Согласно молекулярно-кинетической теории коэффициент теплопроводности в газах зависит в основном от скорости движения молекул, которая в свою очередь возрастает с увеличением температуры и уменьшением массы молекул. Наибольшей теплопроводностью обладает легкий газ — водород. При комнатных условиях коэффициент теплопроводности водорода ≈ 0,2 Вт/(м К) . У

более тяжелых газов теплопроводность меньше - у воздуха ≈ 0,025 Вт/(м К), у диоксида углерода ≈ 0,02 Вт/(м К).

В металлах теплопроводность обеспечивается главным образом за счет теплового движения электронов («электронного газа»), которые более чем в 3000 раз легче молекул самого легкого газа - водорода. Соответственно и теплопроводность металлов много выше, чем газов.

Наибольшим коэффициентом теплопроводности обладают чистые серебро и медь:	≈ 400
Вт/(м К) . Для углеродистых сталей ≈ 50 Вт/(м К) . Этот пример характеризует	общую

тенденцию резкого уменьшения теплопроводности металлов при наличии в них примесей вследствие того, что искажения примесями кристаллической решетки препятствует движению электронов. С увеличением температуры коэффициент теплопроводности чистых металлов убывает, а сплавов – растет. Расплавленные металлы обладают меньшими коэффициентами теплопроводности, чем твердые, поскольку при плавлении разрушается упорядоченная кристаллическая решетка и хаотически движущиеся атомы мешают движению электронов.

У жидкостей	(неметаллов)	коэффициент		теплопроводности, как правило, меньше
1 Вт/(м К) . Вода является одним		из	лучших	жидких	проводников теплоты, для	нее
≈ 0,6 Вт/(м К) .
Коэффициент	теплопроводности		неметаллических твердых материалов обычно			ниже
10 Вт/(м К) .
Пористые материалы - пробка, различные волокнистые наполнители типа ваты - обладают
наименьшими коэффициентами теплопроводности				λ < 0,25	Вт/(м К) , приближающимися при

малой плотности набивки к коэффициенту теплопроводности воздуха, заполняющего поры. Значительное влияние на коэффициент теплопроводности могут оказывать температура,

давление, а у пористых материалов еще и влажность. В справочниках всегда приводят условия, при которых определялся коэффициент теплопроводности данного вещества, и для других условий эти данные использовать нельзя. Диапазоны значений λ для различных материалов приведены на рис.91.

Рис. 91. Интервалы значений коэффициентов теплопроводности различных веществ.

Разработка №5	5
2.3. Теплопроводность в плоской	однослойной и многослойной

стенках при стационарном режиме.

Однородная плоская стенка.

Простейшей и очень распространенной задачей, решаемой теорией теплообмена, является определение плотности теплового потока, передаваемого через плоскую стенку толщиной δ , на поверхностях которой поддерживаются температуры tс1 и tс2 (рис.92). Температура изменяется только по толщине

пластины — по одной координате x . Такие задачи называются одномерными, решения их наиболее просты, и в данном курсе мы ограничимся рассмотрением только одномерных задач. Учитывая, что для одномерного случая

Рис. 92. Стационарное распределение температуры по толщине плоской стенки.

grad t = dtdx ,

и используя основной закон теплопроводности, получаем дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности для плоской стенки:

q= −λ dtdx .

Встационарных условиях, когда энергия не расходуется на нагрев, плотность теплового потока q неизменна

по толщине стенки. В большинстве практических задач приближенно предполагается, что коэффициент теплопроводности λ не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. Значение λ находят в справочниках при температуре

t = 0,5 (tс1 + tс2 ) ,

средней между температурами поверхностей стенки. (Погрешность расчетов при этом обычно меньше погрешности исходных данных и табличных величин, а при линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры точная расчетная формула для q не отличается от приближенной). В этом случае зависимость температуры t от координаты x линейна (рис.92).

Разделив переменные в уравнении и проинтегрировав по t от tс1 до tс2 и по x от 0 до δ , получим зависимость для расчета плотности теплового потока:

tс2		δ
∫dt = − q ∫dx ,
tс1	λ	0

q = (tс1 −tс2 )λ / δ ,

6

или

Q = qF = (tс1 − tс2 )λF / δ .

Полученная простейшая формула имеет очень широкое распространение в тепловых расчетах. По этой формуле не только рассчитывают плотности теплового потока через плоские стенки, но и делают оценки для случаев более сложных, упрощенно заменяя в расчетах стенки сложной конфигурации на плоскую. Иногда уже на основании оценки тот или иной вариант отвергается без дальнейших затрат времени на его детальную проработку.

По формуле можно рассчитать коэффициент теплопроводности материала, если экспериментально замерить тепловой поток и разность температур на поверхностях пластины (стенки) известных размеров.

Отношение	λF / δ называется тепловой проводимостью стенки, а обратная
величина δ / λF тепловым или термическим сопротивлением стенки и обозначается
Rλ . Пользуясь	понятием термического сопротивления, формулу для расчета

теплового потока можно представить в виде:

Q = (tс1 −tс2 ) / Rλ ,

аналогичном закону Ома в электротехнике (сила электрического тока равна разности потенциалов, деленной на электрическое сопротивление проводника, по которому течет ток).

Многослойная стенка.

Формулой для плоской стенки можно пользоваться и для расчета теплового потока через стенку, состоящую из нескольких плотно прилегающих друг к другу слоев разнородных материалов (рис.93), например кирпичную стенку здания, покрытую слоем штукатурки, краски и т. д. Термическое сопротивление такой стенки равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев:

n	n
Rλ = ∑Rλi =∑		δi		.
		Fλ
i =1	i =1		i
В формулу нужно подставить	разность			температур в тех точках

(поверхностях), между которыми «включены» все суммируемые термические сопротивления, т.е. в данном случае tс1 и tс(n+1) :

Q =	tс1 −tс(n+1)	=	tс1 −tс(n+1)			.
	n		n	δi
	∑Rλi		∑
				Fλ
	i =1		i =1	i

Формулу легко получить, записав разность температур по формуле для каждого из n слоев многослойной стенки и сложив все n выражений с учетом того, что во всех слоях Q имеет одно и то же значение. При сложении все промежуточные температуры сократятся. Распределение температур в пределах каждого слоя - линейное, однако в различных слоях крутизна температурной зависимости различна, поскольку согласно формуле tgγi = −qλi = −Q(Fλi ) .

Разработка №5	7
	Плотность теплового потока, проходящего
	через все слои, в стационарном режиме
	одинакова,		а		коэффициент
	теплопроводности		слоев		различен,
	следовательно, более резко температура
	меняется	в	слоях	с	меньшей
	теплопроводностью.
	Нетрудно		получить		обобщенную
	формулу для расчета температуры за
	любым слоем ( i = k ):

k

tс(k +1) = tс1 −Q∑Rλi .

i =1

Это очень важно при использовании в качестве теплоизоляторов материалов с ограниченной допустимой температурой

Рис. 93.Распределение температуры по толщине многослойной плоской стенки.

2.4. Теплопроводность в цилиндрической стенке при стационарном режиме.

Очень часто теплоносители движутся по трубам, и требуется рассчитать тепловой поток, передаваемый через цилиндрическую стенку трубы. Задача о распространении тепла в цилиндрической стенке при известных и постоянных температурах на внутренней и наружной поверхностях также одномерная, если ее

рассматривать в цилиндрических координатах. Температура изменяется только вдоль радиуса (по координате r ), а по длине трубы и по ее петиметру остается неизменной. В этом случае закон Фурье будет иметь вид:

q = −λ dtdr ,

или

Q = qF = −2πrlλ(dt / dr) .

Проинтегрируем это уравнение, для этого разделим переменные:

dt = − 2πQlλ drr .

Интеграл уравнения

t = 2πQl λ ln 1r +C

Рис. 94.Распеределение температуры по толщине однослойной цилиндрической стенки.

8

показывает, что распределение температуры по радиусу стенки подчиняется логарифмическому закону (рис.94). У внутренней поверхности, где кривизна стенки больше, температура меняется резче, чем у наружной.

Интегрирование уравнения в определенных пределах дает зависимость для расчета теплового потока через цилиндрическую стенку:

Q =		tс1 −tс2				=	tс1 −tс2	.
		1	ln	d2			Rλ
		2π l λ		d1

Термическое сопротивление цилиндрической стенки рассчитывается по достаточно сложной для практических расчетов формуле

	Rλ =	1	ln	d2	,
		2π l λ		d1
	причем при значениях			d2	, близких к
				d
				1

единице, расчеты должны проводиться с высокой точностью, поскольку даже небольшая погрешность дает значительную ошибку при вычислении логарифма.

Для определения теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку следует, как и для многослойной плоской стенки, просуммировав термические сопротивления отдельных слоев:

Q =	tс1 −tс(n+1)	=		tс1 −tс(n+1)				.
	n		n	1		d(i+1)
	∑Rλi
			∑		ln
				2π lλi		di
	i=1		i=1

Отличие от формулы для плоской стенки только в способе расчета термических сопротивлений отдельных слоев для плоской и цилиндрической стенок. Но и это различие существенно только при больших отклонениях наружного и внутреннего диаметров каждого слоя dн dвн > 1,5 . При меньших отношениях

термические сопротивления отдельных слоев целесообразнее считать по упрощенной формуле для плоской стенки.

Расчет температур на границах слоев осуществляется как и для многослойной плоской стенки.

Разработка №5

9

2.5. Конвективный теплообмен. Основы теории подобия. Физический смысл основных чисел подобия.

Процесс теплообмена между поверхностью твердого тела и жидкостью называется теплоотдачей, а поверхность тела, через которую переносится теплота, - поверхностью теплообмена или теплоотдающей поверхностью.

Согласно закону Ньютона-Рихмана тепловой поток в процессе теплоотдачи пропорционален площади поверхности теплообмена F и разности температур поверхности tc и жидкости tж :

Q=αF tc − tж .

Впроцессе теплоотдачи, независимо от направления теплового потока Q (от стенки жидкости или наоборот), значение его принято считать положительным, поэтому разность температур берут по абсолютной величине, т.е. просто из большего значения вычитают меньшее.

Коэффициент

пропорциональности

α называется

коэффициентом

теплоотдачи; его единица измерения Вт(м2 К) . Он характеризует интенсивность процесса теплоотдачи. Численное значение его равно тепловому потоку от единичной поверхности теплообмена при разности температур поверхности и жидкости в один кельвин:

			Q				q
α =					=				.
	F		tc − t ж				tc − t ж

Коэффициент теплоотдачи может быть различным в разных точках поверхности теплообмена, в этом случае вводят понятие локального (местного) коэффициента теплоотдачи, который является функцией координат на поверхности теплообмена. Для упрощения тепловых расчетов часто пользуются средним по поверхности коэффициентом теплоотдачи α .

Следует иметь в виду, что рассчитать коэффициент теплоотдачи по формуле можно только в экспериментальных условиях, когда все остальные величины известны (измеряются). При проектировании машин и агрегатов необходимо, зная α , рассчитать тепловой поток, поэтому коэффициент теплоотдачи находят из решения задачи о переносе теплоты в жидкости, контактирующей с поверхностью теплообмена. На величину коэффициента теплоотдачи решающее влияние оказывают условия течения жидкости вблизи поверхности теплообмена.

Различают естественное и вынужденное движение (конвекцию) жидкости. Вынужденное движение создается внешним источником (насосом, вентилятором, ветром).

Естественная конвекция возникает только при теплообмене за счет теплового расширения нагретой около теплоотдающей поверхности жидкости.

Наличие разности плотностей приводит к тому, что на любой единичный объем прогретой жидкости будет действовать подъемная сила, равная алгебраической сумме выталкивающей архимедовой силы и силы тяжести. Подъемная сила перемещает прогретую жидкость верх без каких-либо побуждающих устройств – возникает естественная конвекция. Все эти рассуждения справедливы и для случая охлаждения жидкости с той лишь разницей, что подъемная сила будет направлена вниз.

Движению теплоносителей около поверхности всегда противодействует сила внутреннего трения, возникающая из-за вязкости жидкостей и газов. Благодаря

10

вязкому трению течение жидкости около поверхности затормаживается, поэтому, несмотря на то, что наибольший прогрев жидкости, а соответственно и величина подъемной силы при естественной конвекции будут около теплоотдающей поверхности, скорость движения частиц жидкости, прилипших к самой поверхности, равна нулю. Это имеет место и при вынужденной конвекции.

Величина силы внутреннего трения зависит от динамического коэффициента

вязкости µ	жидкости, измеряемого в Па с . В уравнениях теплоотдачи	чаще
используют	кинематический коэффициент вязкости ν = µ ρ , м2 с . Оба	эти

коэффициента характеризуют физические свойства жидкости, значения их приводятся в справочниках.

При аналитическом изучении любых физических процессов вначале составляют дифференциальные уравнения, описывающие поведение дифференциально малого объема рассматриваемой системы за дифференциально малый промежуток времени. Затем интегрируют эти уравнения и получают зависимость между параметрами для всей пространственной и временной области интегрирования.

Процесс конвективного теплообмена определяется переносом теплоты в движущейся среде и описывается системой дифференциальных уравнений.

Комплекс теплофизических характеристик вещества λ(cp ρ) = a называется

коэффициентом температуропроводности, измеряется в м2 с и характеризует способность вещества выравнивать температуру. Значения этого коэффициента приводятся в справочниках. Он может изменяться от 0,4 10−7 м2с для масел до 2 10−4 м2 с для серебра.

Применение теории подобия при изучении процессов теплоотдачи.

Теория подобия – это учение о подобных явлениях. Подобие физических явлений сложнее, нежели геометрическое подобие, но основные условия и закономерности подобия одинаковы и, более того, подобие физических явлений возможно только в геометрически подобных системах.

По аналогии со сходственными сторонами можно ввести понятие о сходственных точках внутри подобных фигур или тел. Условием подобия полей физических величин является пропорциональность значений этих величин в сходственных точках. У подобных явлений подобны поля всех физических величин, характеризующих эти явления.

Изучив одно явление на модели и зная постоянные подобия, можно найти любые интересующие нас параметры во всех явлениях, подобных изученному. Сложность здесь только в том, что постоянные подобия для различных физических величин не равны друг другу и в тоже время взаимообусловлены. При произвольном сочетании постоянных подобия явления не будут подобными.

Для этого приводят к безразмерному виду математическое описание процесса теплоотдачи. Кроме безразмерных координат, скоростей и температур в уравнения вошли еще пять безразмерных комплексов, объединивших десять размерных параметров.

Эти комплексы имеют вполне определенный физический смысл, и им присвоены имена ученых, внесший большой вклад в исследование процессов теплопереноса и гидродинамики.