63

Раздел II. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

В данном учебном пособии рассмотрены два типа позиционных задач на определение взаимного расположения геометрических фигур:

-задачи на принадлежность … ;

-задачи на пересечение геометрических фигур.

Принадлежность точки прямой; точки и прямой плоскости; точки и линии поверхности рассмотрены ранее в Д6, Д12, Д13, Д15.

Д21. Пересечение геометрических фигур. Обе геометрические фигуры проецирующие. Алгоритм решения

Данный алгоритм можно рассмотреть на примере пересечения двух

поверхностей.

Решая задачу на построение линии пересечения поверхностей, не-

обходимо установить, какое положение относительно плоскостей проекций занимает каждая поверхность и к какому типу задач сводится данная задача.

Построение линии пересечения поверхностей.

Из всех рассмотренных ранее поверхностей только цилиндр вращения и прямая призма могут быть проецирующими, так как все образующие цилиндра

(и призмы) параллельны между собой и могут занимать проецирующее положение по отношению к плоскостям проекций.

Построение трех проекций линии пересечения цилиндра вращения и четырехгранной призмы показано на рис. 80.

			64
	В2	ф =т			В3
А2		2	2
		С2		А =(С )
				3	3
	В'2			т3	В'3
		Ф1
А	т	С
1	1	1
	В1
		Рис.80

Анализируя заданные геометрические фигуры, можно установить, что поверхность цилиндра – фронтально-проецирующая, т.е. фронтальный очерк Φ2

цилиндра – окружность, которая обладает собирательным свойством: все точки

илинии, расположенные на поверхности цилиндра, проецируются на эту

окружность.	Поверхность		четырехгранной		призмы–	горизонтально-
проецирующая, т.е.		горизонтальная проекция			призмы–	прямоугольник,
который	обладает	собирательным		свойством. Таким		образом, линия

пересечения цилиндра и призмы на фронтальной и горизонтальной проекциях

находится	без	дополнительных	построений: горизонтальная	проекция
m1=А1В1С1	линии	совпадает с частью	очеркаΦ1 призмы в пределах очерка

цилиндра; фронтальная проекция m2=А2В2С2В2' линии совпадает с фронтальным

очерком Φ цилиндра. Профильная проекция m =В А В линии пересечения

2 3 3 3 3

строится из условия принадлежности точек этой линии заданным поверхностям

(с помощью линий связи).

Вывод: данная задача свелась к задаче на построение третьей проекции

т3 линии т по двум известным проекциям (т1 и т2).

65

Алгоритм решения:

1)определить по чертежу проекциит1 и т2 линии пересечения,

совпадающие с проекциями поверхностей, обладающих собирательным свойством;

2)по двум проекциям построить третью (т3).

ЗАДАЧА. Построить три проекции линии

пересечения цилиндра и

трехгранной призмы (рис. 81).

Рис.81

Д22. Пересечение геометрических фигур.

Одна геометрическая фигура проецирующая, вторая – общего положения. Алгоритм решения

В частном случае, когда один из двух заданных пересекающихся геометрических элементов занимает проецирующее положение, задача на нахождение искомого геометрического элемента решается по следующему алгоритму.

1. Одна проекция искомого геометрического элемента определяется по чертежу без построения. Она частично или полностью совпадает с той

		66
проекцией	заданного	проецирующего	элемен, которыйа	обладает

собирательным свойством.

2. Вторая проекция искомого геометрического элемента определяется из

условия принадлежности тому из заданных геометрических элементов, который

занимает общее положение.
Таким	образом, задача	на	пересечение		сводится		к	задаче
принадлежность	(принадлежность		точки	плоскости		или		поверхности;

принадлежность линии плоскости или поверхности и т.д.).

ЗАДАЧА. Найти точку К пересечения прямой m с плоскостью α ( α2) (рис.82).

	т2		т2
		К2

a a 2

2

т1	т1
	К1
Рис.82	Рис.83

Анализируя условия задачи, устанавливается:

- известное: прямая m – общего положения; плоскость α – фронтально-

проецирующая;

- неизвестное: точка К - общий геометрический элемент прямой m и плоскости α.

Свойства известного: прямая α 2 - фронтальная проекция плоскости обладает собирательным свойством, т.е. на эту прямую проецируются все

точки, лежащие в плоскости α, а значит и неизвестное - точка К.

Решение задачи ведется в соответствии с алгоритмом.