75

Д27. Сечения многогранников

Плоское сечение многогранника имеет вид многоугольника, который

можно построить двумя способами:

-способом ребер, определяя точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, т.е. многократно решая задачу на пересечение прямой с плоскостью;

-способом граней, строя линии пересечения граней многогранника с плоскостью, т.е. многократно решая задачу на пересечение двух плоскостей.

Выбор способа должен обеспечить рациональное решение . задачи Построение сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостьюβ по алгоритму дозы 22 показано на рис. 99.

			S2
			b2
	22		32
12
	A2
B2			C
			2
	A1	21
		S1	C1
	11		31
B
1
			Рис.99

	Так	как	секущая		плоскость
проецирующая,			то		сначала
определяется		фронтальная			проекция
122232	сечения.		Она	совпадает		с
фронтальной		проекцией β2 плоскости
β (в силу собирательного свойства этой
проекции плоскости).
	Горизонтальная				проекция
строится по точкам исходя из условия
принадлежности точек сечения ребрам
пирамиды (способ			ребер):	1Ì SB, 2Ì
SA, 3Ì SC.

Горизонтальная проекция линии сечения 112131 проводится с учетом видимости граней пирамиды.

76

Д28. Пересечение поверхностей

Одна поверхность проецирующая, вторая – общего положения.

Построение линии

пересечения поверхностей цилиндра и конуса

показано на рис.101.

Анализируя условие задачи, можно установить следующее:

-конус – поверхность общего вида;

-поверхность цилиндра – горизонтально-проецирующая, поэтому гори-

зонтальная	проекция		цилиндра– окружность, обладающая					собирательным
свойством:	на	эту	окружность	проецируются			все		точки	, и	ли
принадлежащие поверхности цилиндра, в том числе и линия пересечения.
Таким образом, горизонтальная проекция m1					линии пересечения известна,
она совпадает с окружностью – горизонтальной проекцией цилиндра.
Фронтальная		проекция m2 строится по			точкам		из	условия		принад-
лежности линии пересечения к поверхности конуса( помощью вспомо-
гательных окружностей конуса). Высшая точка В и низшая А лежат в плоскости
общей симметрии a ||			П2. Эти же точки будут являться				точками		видимости
линии пересечения на фронтальной плоскости.
			ЗАДАЧА.	Построить		три		проекции		линии
				пересечения цилиндра и сферы (рис.
				100). Определить видимость линии
				пересечения				и			оч
				поверхностей.

Рис.100

	77
m2	B2
	32 =(42 )
12 =(22 )
А2
21	41
А1	B1	a1
1	m1
	31
1
	Рис. 101

Д29. Пересечение двух поверхностей общего вида. Алгоритм решения

Линия пересечения двух поверхностей	в общем случае	представляет
собой пространственную кривую, которая в частном случае может распадаться
на две и более линий(плоские кривые	или прямые). Обычно	линию
пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точкам.

Общим способом построения этих точек является способ поверхностей посредников. Для нахождения каждой точки линии пересечения используется следующий алгоритм.

78

1.Обе заданные поверхности Ф1 и Ф2 пересекают вспомогательной поверхностью α (рис. 102).

2.Строят линии m и n пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей.

3.На пересечении построенных линий m и n находят точки 1 и 2 общие точки заданных поверхностей. Символически алгоритм нахождения точек 1 и 2

записывается так:

1)α; αÇ Ф1; α Ç Ф2;

2)m= α ÇФ1; n= αÇ Ф2;

3)1,2= mÇ n.

Ф1

2

m 1

Ф2

n

a

		Рис.102
В	качестве	вспомогательных	поверхностей(посредников) следует

выбирать такие,	которые	пересекли		бы заданные поверхности по наиболее
простым линиям - прямым или окружностям.
Наиболее	часто	в	качестве		поверхностей–посредников			применяют
плоскости или сферы, в зависимости				от чего различают следующие способы
построения	точек	линии		пересечения		двух	поверхностей: способ