101

Раздел III. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.

Кметрическим задачам начертательной геометрии относятся задачи:

-на определение натуральных величин геометрических фигур;

- на определение величин углов и				расстояний между			геометрическими
фигурами.
Решение этих задач значительно упрощается, если использовать способы
преобразования	комплексного		чертежа	с	целью	изменить		положен
геометрической фигуры относительно плоскостей проекций. Для этого можно
использовать	способ	замены	плоскостей		проекцийили		вращение
геометрической фигуры вокруг оси.

Д36. Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа заключается в том, что положение точек, линий,

плоских фигур и поверхностей в пространстве остается неизменным, а система

плоскостей	проекций П2/П1			заменяется		на новую		систему	двух	взаимно
перпендикулярных плоскостей П1/П4 или П4/П2.
Вновь	вводимая		плоскость		проекций		выбирается,		чтобытак	по
отношению к ней геометрическая фигура заняла частное положение(уровня
или проецирующее).
Построение		проекции А4 точки А в новой					системе плоскостейП1/П4
показано на рис.130.
Произведено следующее преобразование чертежа:
- взамен плоскости П2 введена новая вертикальная плоскость проекции П4 ^ П1,
которая пересекается с П1			по оси x14;
- на плоскость П4		построена		прямоугольная		проекцияА4		точки А, при		этом

координата ZА сохраняет свою величину;

102

- для получения эпюра плоскость П4, вращением вокруг оси x14, совмещается с

П1. Совмещается с П1 и новая фронтальная проекцияА4 точки А, которая окажется на общем перпендикуляре к новой оси x14 с горизонтальной проекцией

А1 точки А, оставшейся без изменения.

Построение новой вертикальной проекцииА4 точки А на эпюре показано на рис.131.

p2
A2		A
	A	4
A
z	90Е		A
		90Е	z
A12
	A1	A14
x
12

p1

p4

A4

zA

x14

p 4

Рис.130

103

A2

A z

x12 p2

p1

A1

A4

z A

		p
	p		4
			x
	1
			1
			4

Рис.131

Последовательность построений следующая:

1) проводится ось x14 – линия пересечения оставляемой плоскостиП1 и

вновь вводимой П4;

2)из горизонтальной проекции А1 точки А проводится перпендикуляр к оси x14 (А1 А14^x14) - линия связи между проекциями точки А;

3)на этой линии связи откладывается отрезокА14 А4, равный координате ZА,

измеренной на плоскости П2 (А14 А4 =ZА).

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекцийП1

плоскостью П ^П , при этом на новую горизонтальную плоскостьП надо

4 2 4

перенести координату Y точки А по линии связи А2 А24^ x24.

Все метрические и позиционные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций, можно свести к одной из четырех типовых задач.

104

Д37. Задача 1: Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня

(Определение натуральной величины отрезка прямой)

При определении натуральной величины отрезка прямойа, занимающей общее положение в системеП2/П1, следует заменить одну из плоскостей проекций на новую П4 так, чтобы по отношению к ней прямаяа стала линией уровня (П4 || а, рис.132).

На наглядном чертеже рис.132 показан выбор новой плоскости проекций

П4, по отношению к которой прямая АВ расположена параллельно и построение новой проекции А4 В4 отрезка этой прямой.

В2	В	В4
			p
			4
p2			а4
а2	а
		j
	j	В14		p
	В1		A4
В12		A		1
A2
	а1		А14	x
A12		A1		14
x12
	Рис.132

105
		а2	В	2
	A2
x12		A12				В12
		а1	В1			В14

A1

А14

x14

A4

Рис.133

j

В4 а4

На эпюре (рис.133) показано построение натуральной величины отрезка прямой АВ заменой плоскости проекций П2 на П4.

Построение выполняется в следующем порядке:

-проводится ось x14 || А1 В1;

-через точки А1 и В1 проводятся линии связи, перпендикулярные к новой оси

Х14: А1 А14^ x14 ; В1 В14^ x14 ;

- от оси x14 откладываются координаты Z точек А и В1, замеренные на плоскости

П2: отрезок А14 А4= ZА; В14 В4= ZВ;

-полученный отрезок А4В4 - натуральная величина отрезка АВ;

-угол φ между направлением оси x14 и А4В4 - натуральная величина угла между

АВ и плоскостью П1.

Натуральная величина отрезкаАВ может быть получена и при замене плоскости П1 на П4, где П4 ^ П2. Ось x24 || А2 В2; от оси x24 откладываются отрезки, равные координатам Y точек А и В (А24 А4 =YА; В24 В4 =YВ).

106

А2 ЗАДАЧА. Определить угол наклона прямой

АВ к плоскости проекций П2.

В2 (рис.134).

х12

А1

В1

Рис.134

Д38. Задача 2: Преобразовать прямую общего положения в проецирующую

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить две

замены	плоскостей	проекций, так	как	в	системеП1/П2		плоскость,
перпендикулярная АВ, не будет перпендикулярна ни к П1,ни к П2						(рис.133).
На эпюре рис.135 показано решение этой задачи.
При первой замене плоскость П2			заменена на П4 ^ П1; и П4			|| АВ, т.е решена

задача 1 - прямая общего положения преобразована в прямую уровня.

При второй замене новую плоскость П5 вводят взамен П1, причем П5 ^ П4

и П5 ^ АВ.

На эпюре ось x45^А4 В4; расстояния от заменяемой оси x14 переносятся на плоскость П5 от оси x45: А14 А1 = А45 А5; В14 В1 = В45В5. На плоскости П5 прямая АВ

изображаются в виде точки (А5 =В5), так как равны отрезки А14 А1 = В14 В1.

107

В2

а2

A2

x12

	В1
	а1	В14
A1		А45 а А		В
	А14	5	5	5
x14		В4
	а4	х45
	A4

Рис.135

	В2	D2	ЗАДАЧА. Определить расстояния
			между параллельными
А2	С2		прямыми АВ и СД (рис.136).

x

А	В1	D1
1

С1

Рис.136

108

Д39. Задача 3: Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую

Для того чтобы плоскостьα, занимающая общее положение в системе

П2/П1, заняла проецирующее положение, необходимо новую плоскостьП4

выбрать перпендикулярно плоскостиα и перпендикулярно оставляемой плоскости проекций (П4^α; П4^П1), следовательно, новая плоскость П4 должна быть перпендикулярна линии пересечения плоскостей П4 и α, т.е. горизонтали h

плоскости α.

План решения задачи следующий:

1)в плоскости, заданной треугольником АВС, проводится произвольная горизонталь (например, АМ на рис. 137);

2)плоскость П4 проводится перпендикулярно этой горизонтали (П4 ^ АМ);

3)на новой плоскости П4 строятся проекции трех точек плоскости α.

Решение задачи на эпюре (рис.137):

1)проводится А2М2||x12 - фронтальная проекция горизонтали h плоскости α;

2)строится А1 М1 – из условия принадлежности точек А и М плоскости α;

3)на любом расстоянии от горизонтальной проекцииА1В1С1 треугольника проводится ось x14 ^А1 М1;

4)из точек А1,В1,С1 проводятся линии связи, перпендикулярные оси x14 (

например, А1 А4^ x14);

5)от оси x14 в плоскости П4 на этих линиях связи откладываются отрезки,

равные координатам Z точек А, В, и С;

6)полученные точки А4 В4 С4 соединяются.

При точном построении эти точки будут располагаться на одной прямой,

так как плоскостьα занимает проецирующее	положение	относительно
плоскости П4.
Угол φ между проекциейА4 В4 С4 плоскости α	и осьюx14	– это угол

наклона плоскости α к горизонтальной плоскости проекций П1.

109

		Рис.137
А2		ЗАДАЧА.	Определить расстояние	от
	а2	b2	точки А до плоскости
			α (а|| b) (рис.138).
x
А1	а1	b1
	Рис.138

110

Д40. Задача 4: Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня

(Определение натуральной величины плоской фигуры)

Для решения этой задачи требуется последовательно провести две замены

плоскостей	проекций,	так как	в	системе плоскостейП2/П1 невозможно
подобрать плоскость, которая была бы одновременно параллельна заданной
плоскости	общего	положения	и	перпендикулярна	плоскости .проекций
Построение натуральной величины ∆АВС показано на рис.139.
		План решения:

1)выполнить первую замену: плоскость П2 заменить плоскостью П4^П1 и

П4^α (∆АВС), т.е. решить задачу 3 (преобразование плоскости общего положения в проецирующую, рис.137);

2)выполнить вторую замену: плоскость П1 заменяить на П5, причем П5^П4

и П5||α (∆АВС);

3)на плоскости П5 построить проекции точек А, В, С.

Решение.

1.Проводится А2 М2 || x12 - фронтальная проекция горизонтали плоскости α;

2.Строится А1 М1 - по условию принадлежности точек А и М плоскости α;

3.На любом расстоянии от горизонтальной проекции А1 В1 С1 треугольника

проводится ось x14 ^ А1 М1;
4.	Из	точек А1, В1,	С1 проводим линии связи	перпендикулярные осиx14
(например, А1 А4 ^ x14);
5.	От оси x14 на этих линиях связи в плоскостиП4 откладываются отрезки,
равные координатам Z точек А, В и С;
6.	Полученные точки А4 В4 С4 соединяются.
При точном построении эти точки будут располагаться на одной прямой,
так	как	плоскостьα	занимает проецирующее	положение относительно
плоскости П4.

111

7.Проводится ось x45 ||В4 С4;

8.Из точек А4, В4, С4 проводятся линии связи, перпендикулярные оси x45 (А4

А5^ x45; В4 В5^ x45; С4 С5^ x45);

9.От оси x45 в плоскости П5 откладываются отрезки, равные расстояниям горизонтальных проекций А1, В1 и С1 точек А, В, С до заменяемой оси x14.

10.Полученные точки соединяются. Треугольник А5В5С5 - натуральная величина ∆АВС.

Рис. 139

		112
	т2	ЗАДАЧА. Определить	угол между
	п2	пересекающимися
		прямыми m и n (рис.140).

х12

п1

т1

Рис.140

113

ПРИЛОЖЕНИЕ I.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Задачи, приведенные в пособии, в зависимости от уровня определенности
познавательной		деятельности			студентов, делятся		на		алгоритмические,
полуалгоритмические			и	эвристические. В		результате		анализа		научно-
методической, педагогической литературы и опыта кафедры по обучению
студентов решению задач разработана обобщенная методика решения задач
начертательной		геометрии.		Эта	методика	реализована			при	составлении
учебного пособия и обучающей программы.
Процесс решения задач условно делиться на четыре стадии.
На	I стадии	производиться актуализация знаний студентов, создается
мотивация их деятельности, анализируется условие задачи.
При актуализации знаний выделяются дозы учебного материала, знание
которых может быть использовано при решении задачи. Если обучаемый не
знает какую-либо из доз, он должен изучить теоретический материал дозы по
учебному пособию.
При анализе условия задачи первоначально необходимо определить, какие
геометрические		элементы		являются известными, что			является		неизвестным
(геометрические элементы, видимость геометрических элементов) и сколько
неизвестных в		задаче. Затем проводиться анализ свойств известных и
неизвестных геометрических элементов. При этом устанавливается положение
геометрических			элементов		относительно			плоскостей ,			пр
принадлежность, параллельность, перпендикулярность и т.д., их относительное
расположение, геометрические и проекционные свойства.
Для формирования мотивации деятельности студентам сообщается, что
метод	решения		используется		конструкторами			на	производстве

114

проектировании изделий, что подобная задача имеется в экзаменационных билетах и т.д.

На II стадии производится разработка идеи решения задачи, составление плана решения.

При разработке идеи решения задач можно использовать следующие эвристические указания:

а) смоделируйте с помощью карандаша, тетради и других предметов условие задачи в пространстве;

b)представьте конечный результат решения, попробуйте решить задачу с конца;

c)используйте аксонометрические изображения или технический рисунок условия задачи;

d)вспомните, известно ли Вам решение родственной задачи;

e)измените способ задания геометрических элементов.

На III	стадии	осуществляется			решение	задачи		в	соответствии		с
составленным планом или известным алгоритмом.
На этой стадии выполняются графические построения на чертеже с
простановкой соответствующих обозначений.
На IV стадии производиться проверка и анализ решения задачи, делаются
обобщения и выводы.
При	проверке		решения	необходимо		провести			проверку	точнос
графических построений и проверить правильность							решения ,задачит.е.
проверить выполнение всех условий задачи. Анализируя решение задачи,
необходимо определить, сколько решений имеет задача(сколько неизвестных
может быть), сколько способов ее решения и рационален ли выбор плана
решения	задачи	по	критериям		трудоемкости		и	точности		графическ
построений.

115

ПРИЛОЖЕНИЕ II.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Д10. Задача (рис.32)
Решение	задачи	производят, используя	конкурирующие	точки

скрещивающихся прямых.

22		т
		2
А2		n2
1
2
		m1
(1 )=2		n1
1	1
А1
Рис.141

Решение:
1) обозначить		горизонтальные		проекции
конкурирующих		точек	прямыхm и		n
цифрами 11 и 21;
2) построить	фронтальную проекцию12
точки 1 (12Ì n2);
3) отложив	от	точки12 10 мм		вверх	по
вертикальной линии связи, обозначить 22 -
фронтальную		проекцию		точки2,
расположенной выше точки 1 на 10 мм;
3) через	точки А2 и		22	провести
фронтальную		проекцию т2		искомой
прямой, скрещивающейся			с	заданной

прямой n и проходящей выше ее на 10 мм.

	Д17. Задача (рис. 62)
	С	D2
	2
		а2
х	A2	В2
		т2
(А )=С		(В )=D
1	1	1	1
	а	т1
	1
	Рис.142

116

Решение:
Так	как образующая^П1,		то
искомый	цилиндр – горизонтально-
проецирующий. Горизонтальный			очерк
(проекция)	представляет	собой	эллипс
m1. Фронтальный очерк – прямоугольник
А2В2D2С2,	ограниченный	проекциями
очерковых	образующих AC и BD и двух

параллельных оснований.

117

Д20 Задача 3 (рис.79)

S2

Решение:

Так

как

неизвестное

-

конус

D

вращения,

то

горизонтальный

очерк

С

конуса

вращения –

окружность,

2

r

2

являющаяся

проекцией

окружности

x

B2

12

основания

конуса.

Для

построения

горизонтальных

проекций

точек

A2

А1В1С1D1

искомой

видимой

линии

S1

D1

ABCD

следует

воспользоваться

11

условием

принадлежности:

через

В1

каждую точку провести на поверхности

С

конуса

вспомогательную

-линию

А1

1

окружность. Например, для построения

В1

провести на поверхности конуса

Рис.143

окружность радиусом r

На горизонтальной проекции этой окружности

по

линии

вертикальной

связи определить В1 – горизонтальную проекцию точки В.

Аналогично строится С1. Точка D принадлежит очерковой образующей S1,

поэтому D1

строится на горизонтальной проекцииS111 этой образующей. Точка

А находится на окружности основания конуса, поэтому А1 строится на проекции

этой окружности.

Полученные точки соединяются плавной кривой линией, так как эта кривая

- часть эллипса.

118

Д 22. Задача (рис.81)

А2		А3
В2		(С )
С	В3
2		3

	В	А1	С
	1		1
			Рис.144
Решение:
Анализируя	условие,	устанавливают:		поверхность	цилиндра –
горизонтально–проецирующая;			поверхность	призмы –	фронтально-

проецирующая. Следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения

поверхностей –		это	кривая В1D1С1,	совпадающая	с	окружностью
горизонтального очерка цилиндра в пределах проекции призмы. Фронтальная
проекция	линии	пересечения– это треугольник А2В2С2,			совпадающий с
фронтальным очерком призмы.
Таким образом, решение задачи сводится к построению третьей проекции
точек по двум известным проекциям.
Для	более	точного	построения	части эллипса– линии		пересечения

цилиндра наклонной гранью призмы– определяют несколько промежуточных точек.

Линия пересечения на П3 строится как видимая, так как невидимый участок линии сечения (А3С3) полностью совпадает с видимым (А3В3).

			119
Д28 Задача (рис.101)
A2	1 =(2 )
	2	2		(A3 )
		r	(2 )		(1 )	B3
			3		3
		B2 =(D2 )	D3
				(C )
				3
C				a
	2	D1
				3
	21		a
	A =(C)
			1
	1	1
	11
		B1
			Рис.145
Анализируя условие, устанавливается:

-поверхность сферы – общего вида;

-поверхность цилиндра – фронтально–проецирующая, поэтому фронтальный очерк цилиндра – окружность, обладает собирательным свойством.

Следовательно, фронтальная проекция линии пересечения будет находиться на этой окружности. Это дуга А2В2С2.

Таким образом, решение задачи сводится к построению недостающих

проекций	точек, принадлежащих	поверхности	сферы(из	условия
принадлежности).

			120
Высшая А и низшаяС точки лежат в плоскости α главного				меридиана
сферы, поэтому их проекции находятся на α1.
Точки	В и D	лежат на	экваторе сферы, поэтому их горизонтальные
проекции определяются на окружности горизонтального очерка. Профильные
проекции В3 и D3 строятся по координатам Y этих точек.
Промежуточные		точки 1 и	2 находят с помощью вспомогательной
окружности радиуса r, принадлежащей сфере.
Соединяют полученные точки с учетомих видимости. На				П1 и П2
проекции	линии	пересечения	видимы, так как невидимые	части линий
совпадают с видимыми. На П3			линия пересечения вся невидима, так как
расположена на невидимой части поверхности цилиндра.
Обводят очерки поверхностей с учетом их видимости.

Д35 Задача (рис.129)

	т =b		b
	2	2	2
		(22 )=52	32
		а2	К2
	х		42	12
			31=(41)
		b		11
		1
		а1	К
		21	1
		51
		т
		1
			Рис.146

121

Анализируя условие, устанавливают, что прямая т и плоскость α(а|| b) –

занимают общее положение.

Следовательно, задача решается по алгоритму Д 35:

1) через заданную прямуют проводят вспомогательную фронтально– проецирующую плоскость (β2≡т2);

2)определяем прямую 12 пересечения плоскостей α и β (22= β2∩а2; 12= β2∩b2);

3)находят точку К пересечения заданной прямойт и построенной12

(К1=1121∩т1; К2Ìт2).

Видимость прямой т относительно плоскости а определяют с помощью конкурирующих точек: на П1 это точки 31=41. По расположению фронтальных проекций 32 и 42 этих точек устанавливают, что прямая т на заданном отрезке до точки К1 расположена нише плоскости а, следовательно, она не видима.

Аналогично с помощью конкурирующих точек2 и 5 (22=52) определяют видимость прямой на П2.

		122
Д 38. Задача (рис.136)
	В2	M2	D2
А2	С2
x
	В1	M1	D1
А1	С1
	C		M4	D4
x4		4			C =D =M
1					5	5	5
А4
		B4				A5 =B5
			x45

Рис.147

Расстояние между прямыми измеряется общим перпендикуляром к этим прямым. Для решения задачи необходимо выполнить последовательно две замены плоскостей проекций, чтобы преобразовать прямые общего положения в проецирующие.

Первая замена: П2→П4; П4||АВ Þ x14|| А1В1.

Вторая замена: П1→П5 ;

П5^П4; П5^АВ; Þ х45^А4В4.

На П5 получают проекции параллельных прямых в виде точек к этим прямым. Отрезок А5С5=В5М5 – натуральная величина расстояния между прямыми АВ и СD.

123
Чтобы построить проекции этого отрезка наП4, из	точки В4 проводят
В4М4^С4D4 (по теореме о проецирование прямого угла).
Далее, с помощью линий связи, находят точки М1 и М2	на соответствующих
проекциях прямой СD.
Проверка правильности решения: отрезок В5М5 не может быть меньше
отрезков В4М4; В1М1 и В2М2.
Д 39. Задача (рис. 138)

А2 М	h
2
a2	2
	b
	2

x12

М1		h	x14	a=	=b
			М4
А1	a1	1		4 4	4
		b1	h	А
			4
				4

			Рис.148
Расстояние	от	точки	до	плоскости	измеряется	перпендикуляро,
опущенным из точки на эту плоскос. Чтьобы					определить натуральную
величину этого перпендикуляра, надо преобразовать плоскость						общего
положения в проецирующую.
Для этого	проводят	замену	плоскостиП2 на П4		при этом П4^П1;П4^α Þ

П4 ^h α (x14^h1).

Плоскость α (а||b) на П4 спроецируется в прямую α4. Из проекции А4 точки

А проводят А4М4^α4 – это натуральная величина расстояния от точкиА до плоскости α.

124

Проекция А1М1 этого перпендикуляра наП1 строится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали А1М1^h1 – по теореме о проецирование прямого угла.

Точку М2 строят на вертикальной линии связи по величине координатыZ,

измеренной на плоскости П4.

Проверка правильности решения: отрезок А4М4 не может быть меньше, чем

А1М1 и А2М2.

Д 40. Задача (рис.140)

Для определения угла между пересекающимися прямыми необходимо плоскость общего положенияα (mÇn) преобразовать в плоскость уровня, т.е.

выполнить последовательно две замены плоскостей проекций, как рассмотрено в задаче на рис. 139.