39

Варианты задания

Таблица 7.1

№	вари-	Функция f ( x )					Начальное			значе-	Конечное значе-
анта							ние x				ние x
1			x - sin x				0				p / 2
2			x + cos( - x )				p / 4				p / 2
3			sin 2 x				0				p
4			sin 2 x - cos x				p / 4				p
5		ctg x					p / 12				p / 4
6		5 x					0				4.5
7		ln x					7				10
8			sin		1			8			p
					x			p
9			2 x + 2				0.5				3
10		arccos( x / 3 )					0.1				2
11			x - cos( x 2 )				0				p / 4
12			1	+ e x			0.6				5
			x

ЗАДАНИЕ 9 Электронные таблицы Excel

а). Построить в разных системах координат графики функций:
y = f ( x ), g = f(x), z = f(x)				при		заданных	значениях
x Î [ -2;2 ]	с шагом 0,1. Выполнить условное форматирование таблицы значений
аргумента	и	функций, так			чтобы	ячейки	значений	в	:диапазо
] - ¥;0 ] ; ]0;1 ]; ]1;¥[ имели заливку разными цветами.							Для функции	z = f(x)
определить	наилучшее		линейное		приближениеz = ax + b		двумя способами: ис-
пользуя функцию ЛИНЕЙН и с помощью пункта менюСервис | Анализ данных									|
Регрессия.
). б Построить			в	одной		системе	координат	графики
u = f ( x ),	v = f(x)	при x Î [ -2;2 ]			с шагом 0,1. Вычислить определенный инте-
грал методом трапеций от функции					v = f(x)

40

в). Построить

поверхность w = f ( x , y )

при заданных значениях аргументов

x Î [ -1;1 ] с

шагом 0,05 ;

y Î [ -1;1 ] с

шагом 0,05 .

Например:

Дано:

а). y = (sin( x ) - cos( x ))2 ;

ì

3 x 2

,

x £ 0 ,

ï

1 + x 2

g = í

ï

2 x

2

cos

2

( x ),

x > 0 ,

î

ì

1 + x + x 2

, x

< 0 ,

ï

1 + x 2

ï

ï

2

x Î [ 0 ,1[ ,

z = í

1 + ( 1- x )

ï

x ³ 1;

ïsin2 ( x )e0 ,2 x ,

ï

î

).б u = 3 sin( 2px )cos(px ) - cos 2 ( 3px ), v = cos 2 ( px ) sin( 3px );

).вw = 3 x 3 sin( x ) - 2 cos( y ) .

Задание (а) представить на двух листах книги, (б), (в) поместить на отдельные листы. При построении графиков оси координат должны пересекаться в точке (0,0). При построении поверхности на осях x , y должны отображаться значения, по которым строится диаграмма.

Выполнение задания предполагает табулирование функций, заданных условно. Для решения задачи понадобится функция

=ЕСЛИ(логическое_выражение; значение_если_истина; значение_если_ложь).

Определение наилучшего линейного приближения функции связано с вычислением коэффициентов a ,b в уравнении прямой методом наименьших квадратов по заданному набору аргумента x и значений функции z . Для этого:

1.Сделайте текущей ячейку N1 и щелкните на кнопкеВставка функции в строке формул.

2.В окне мастера функции выберите категориюСсылки и массивы и функцию ИНДЕКС. В новом диалоговом окне выберите первый вариант набора параметров.

41

3.Установите текстовый курсор в первое поле для ввода параметровАргументы функции и выберите в раскрывающемся списке в строке формул пункт

Другие функции.

4.С помощью мастера функций выберите функцию ЛИНЕЙНкатегории

Статистические.

5.В качестве первого параметра функции ЛИНЕЙН выберите диапазон, содержащий значения функции z .

6.В качестве второго параметра функции ЛИНЕЙН выберите диапазон, содержащий значения независимой переменной x .

7.Переместите текстовый курсор в строке формул, чтобы он стоял на имени функции ИНДЕКС. В качестве второго параметра функции ИНДЕКС задайте число 1. Щелкните на кнопке ОК в окне Аргументы функции.

Функция ЛИНЕЙН возвращает коэффициенты уравнения прямой в виде массива из двух элементов. С помощью функции ИНДЕКС выбирается нужный элемент.

8.Сделайте текущей ячейку N2. Повторите операции пунктов 1...7, чтобы в

ячейке		в	итоге		по
ИНДЕКС=	(ЛИНЕЙН ($D$3:$D$33;$A$3:$A$33);2).		Ее можно ввести	и-	по
символьно.
В ячейках N1,N2 вычислены соответственно коэффициенты a ,b в уравне-
нии прямой z		по первым тридцати точкам.

Для построения наилучшей прямой другим способом необходимо:

1.Дать команду Сервис | Анализ данных.

2.В списке Инструменты анализа выбрать пункт Регрессия.

3.В поле Входной интервал Y указать методом протягивания диапазон значений функции (не более 30).

4.В поле Входной интервал X указать методом протягивания диапазон значений аргумента функции.

5.Установить переключатель Новый рабочий лист и задать для него имя Регрессия 1(а).

6.Щелкнуть на кнопке ОК и по окончании расчетов откроется рабочий лист Регрессия 1(а). Убедитесь, что вычисленные коэффициенты обоими способами совпадают.

					42
	При вычислении определенного интеграла отv( x ) воспользуемся форму-
	лой трапеций:	h
	b
	ò v( x )dx »		( v	1 + 2v	2 + ...+ 2vn + vn+1 ) ;
		2
	a

где h - шаг интегрирования.

Для суммирования возможно использовать кнопку Автосумма на стандартной панели.

Построение поверхности в задании1(в) сопровождается заполнением двумерного массива в таблице с пустой ячейкой в левом верхнем углу, значениями переменной x в крайнем левом столбце и значениями переменнойy в верхней строке массива. Остальные ячейки заполняются формулами со смешанным типом ссылок (для удобства автозаполнения), например в ячейкеF20 записано =3*$A20^3*SIN($A20)-2*COS(F$2). Перед построением поверхности с помощью Мастера диаграмм удобно выделить прямоугольную область таблицы с пустой верхней левой ячейкой.

Пример выполнения задания 9

	Табулирование
	функций				a=	0,259521
	x	y	g	z	b=	0,91857
	-2	0,243198	1,4	0,6		0,399528
	-1,9	0,388142	1,433839	0,587852		0,42548
	-1,8	0,55748	1,471698	0,575472		0,451432
	-1,7	0,744459	1,514139	0,562982	точкам	0,477384
	-1,6	0,941626	1,561798	0,550562		0,503336
	-1,5	1,14112	1,615385	0,538462	по 30	0,529289
	-1,4	1,334988	1,675676	0,527027		0,555241
	-1,1	1,808496	1,904977	0,502262	Z(x)=a*x+b	0,633097
	-1,3	1,515501	1,743494	0,516729		0,581193
	-1,2	1,675463	1,819672	0,508197		0,607145
					приближение
	-1	1,909297	2	0,5		0,659049
	-0,9	1,973848	2,104972	0,502762		0,685001
	-0,8	1,999574	2,219512	0,512195		0,710953
	-0,7	1,98545	2,342282	0,530201	Линейное	0,736905
	-0,6	1,932039	2,470588	0,558824		0,762857
	-0,5	1,841471	2,6	0,6		0,788809
	-0,4	1,717356	2,724138	0,655172		0,814761
	-0,3	1,564642	2,834862	0,724771		0,840713
	-0,2	1,389418	2,923077	0,807692		0,866666
	-0,1	1,198669	2,980198	0,90099		0,892618

						43
	1		3		1,414214			0,91857
0
0,1	0,801331		0,019801		1,345362			0,944522
0,2	0,610582		0,076842		1,280625			0,970474
0,3	0,435358		0,16428		1,220656			0,996426
0,4	0,282644		0,271473		1,16619			1,022378
0,5	0,158529		0,385076		1,118034			1,04833
0,6	0,067961		0,490449		1,077033			1,074282
0,7	0,01455		0,573284		1,044031			1,100234
0,8	0,000426		0,621312		1,019804			1,126186
0,9	0,026152		0,625966		1,004988			1,152138
1	0,090703		0,583853		1			1,17809
1,1	0,191504		0,497914		0,989697			1,204042
1,2	0,324537		0,378153		1,10433			1,229995
1,3	0,484499		0,241858		1,204127			1,255947
1,4	0,665012		0,113244		1,284906			1,281899
1,5	0,85888		0,022517		1,343104			1,307851
1,6	1,058374		0,004365		1,375954			1,333803
1,7	1,255541		0,095953		1,381624			1,359755
1,8	1,44252		0,334503		1,35934			1,385707
1,9	1,611858		0,754607		1,309452			1,411659
2	1,756802		1,385426		1,233473			1,437611

				44
Результат выполнения задания 9(а)
			График функции Y(x)
			2,5
Y			2
функции			1,5
						Y(x)
Значения			1
			0,5
			0
-3	-2	-1	0	1	2	3
		Значения аргумента x

		График Z(x) и ее линейное приближение
			1,6
			1,4
Z			1,2
			1
Значения						График функции Z(x)
			0,8
						Линейное приближение
			0,6
			0,4
			0,2
			0
-3	-2	-1	0	1	2	3
		Значения аргумента x

						45
ВЫВОД ИТОГОВ
	Регрессионная статистика
			Коэффициенты
Y-пересечение				0,918569656
Переменная X 1				0,259520728
Результат выполнения задания 9(б)
				Две функции
				1
				0,5
функций				0
	-3	-2	-1	0	1	2	3
				-0,5
Значения
				-1
				-1,5
				-2
				Значения x

Первая функция u(x) Вторая функция v(x)

	Табулирование
	функций
			2*v (кроме перво-
			го и последнего
x	v	u	значения)
-2	-1	7,35089E-16	-1
-1,9	0,21352549	0,731762746	0,427050983
-1,8	0,67392938	0,622474571	1,347858763
-1,7	-0,3454915	0,106762746	-0,690983006
-1,6	-0,4728729	-0,056128497	-0,94574573
-1,5	-2,364E-31	-3,37722E-32	-4,72811E-31
-1,4	-0,4728729	-0,056128497	-0,94574573
-1,3	-0,3454915	0,106762746	-0,690983006
-1,2	0,67392938	0,622474571	1,347858763
-1,1	0,21352549	0,731762746	0,427050983
-1	-1	-3,67545E-16	-2
-0,9	-0,9045085	-0,731762746	-1,809016994

46

-0,8	-0,8649124	-0,622474571	-1,729824774
-0,7	-1,4635255	-0,106762746	-2,927050983
-0,6	-0,8361441	0,056128497	-1,672288258
-0,5	-4,128E-32	3,75247E-33	-8,25544E-32
-0,4	-0,8361441	0,056128497	-1,672288258
-0,3	-1,4635255	-0,106762746	-2,927050983
-0,2	-0,8649124	-0,622474571	-1,729824774
-0,1	-0,9045085	-0,731762746	-1,809016994
0	-1	0	-2
0,1	0,21352549	0,731762746	0,427050983
0,2	0,67392938	0,622474571	1,347858763
0,3	-0,3454915	0,106762746	-0,690983006
0,4	-0,4728729	-0,056128497	-0,94574573
0,5	-2,627E-32	-3,75247E-33	-5,25346E-32
0,6	-0,4728729	-0,056128497	-0,94574573
0,7	-0,3454915	0,106762746	-0,690983006
0,8	0,67392938	0,622474571	1,347858763
0,9	0,21352549	0,731762746	0,427050983
1	-1	3,67545E-16	-2
1,1	-0,9045085	-0,731762746	-1,809016994
1,2	-0,8649124	-0,622474571	-1,729824774
1,3	-1,4635255	-0,106762746	-2,927050983
1,4	-0,8361441	0,056128497	-1,672288258
1,5	-3,715E-31	3,37722E-32	-7,42989E-31
1,6	-0,8361441	0,056128497	-1,672288258
1,7	-1,4635255	-0,106762746	-2,927050983
1,8	-0,8649124	-0,622474571	-1,729824774
1,9	-0,9045085	-0,731762746	-1,809016994
2	-1	-7,35089E-16	-1
			2
			ò v ( x )dx » -2
			- 2

47

Результат выполнения задания 9(в)

Фрагмент таблицы

	Построение поверхности
		-1	-0,95	-0,9	-0,85		-0,8
-1		1,443808	1,361047	1,281193	1,204447		1,131
-0,95		1,011602	0,92884	0,848986	0,77224		0,698793
-0,9		0,632531	0,54977	0,469916	0,39317		0,319723
-0,85		0,303536	0,220774	0,14092	0,064174		-0,00927
-0,8		0,021254	-0,06151	-0,14136	-0,21811		-0,29155
		Поверхность W(X,Y)

	2
	1
W	0	1-2
	-1	0-1
		-1-0

-2			0,6	-2--1
-1
	0
0,5-			-0,2
X	0,5	-1	Y
		1

Варианты заданий:

Вариант 1

а). y = sin( x )e-2 x ;

ì 1 + x2

,

x £ 0 ,

ï

1

+ x4

ï

g = í

sin2 ( x )

ï

ï2 x

+

, x > 0 ,

2

+ x

î

ì

1 +

x

,

x < -1,

ï

3

ï

1

+ x + x 2

ï

2

1 + cos

4

( x )

ï

z = í

2 ln( 1 + x

) +

x Î [ -1,0 [ ,

2 + x

ï

ï( 1 + x )3 / 5 , x ³ 0 ;

ï

ï

î

).б u = 2 sin( x )cos( x ),

v = 3 cos2 ( 2 x ) sin( x ); ).вw = x2 - 2 y2 .

48

Вариант 2

а).

y =

1 + x 2

;

1 + 2 x 2

ì

3 sin( x ) - cos

2

( x ),

x £ 0 ,

g =

ï

í

2

ï

3

1 + x

,

x > 0 ,

î

ì

1 +

x

,

x < -1,

ï

3

1 + x + x 2

ï

ï

2

1 + cos

2

( x )

ï

z = í

2 ln( 1 + x

) +

x Î [ -1,0 [ ,

2 + x

ï

ï( 1 + x )4 / 5 , x ³ 0;

ï

ï

î

).б u = 2 sin( x ) - 3 cos( px ),

v = cos2 ( 2px ) - 2 sin( px );

).вw = 3 x2 - 2 sin2 ( y )y 2 .

Вариант 3

а).

y =

2 + sin2 ( x )

;

1 + x2

ì

3 x2

,

x £ 0 ,

ï

1 + x

2

g =

ï

í

2 x

ï

1 +

,

x > 0 ,

ï

1

+ x

2

î

ì

3 x +

1 + x

2

, x < 0 ,

ï

ï

2 cos( x )e-2 x

x Î [ 0 ,1[ ,

z = í

ï

2 sin( 3 x ),

x ³ 1;

ï

î

).б u = 5 sin( px ) - cos( 3px ) sin( px ), v = cos( 2px ) - 2 sin3 ( px );

).вw = 5 x2 cos2 ( y ) - 2 y 2e y .

Вариант 4

а). y = 1 + cos( x ) ; 1 + e2 x

ì3 + sin2 ( 2 x )							,	x £ 0 ,
ï
	1 + cos		2	( x )
g = í
ï								> 0 ,
î2 1 + 2 x , x

49

ì

1

+

x

2

, x < 0 ,

ï

+ x2

ï

1

ï

2 cos2 ( x )

x Î [ 0 ,1[ ,

z = í

ï

1

+

2 sin( 3 x )

1 / 3 , x ³ 1;

ï

ï

î

).б u = 3 sin( 2px )cos( px ) - cos2 ( 3px ), v = 2 cos2 ( 2px ) - 3 sin( 3px );

ì2 x 2 - e y ,		x + y				< 0 ,5 ;
ï							x + y				< 1;
					£
).вw = íxe2 x - y , 0 ,5
ï	- ye y , 1		£		x + y				;
ï2e x
î

Вариант 5

а). y = 41 + e3 x ;

ì3

+ sin( x )

,

x £ 0 ,

ï

1 + x2

g = í

ï

2

cos

2

( x ),

x > 0 ,

î2 x

ì

1 / 3 ,

ï

x

x < 0 ,

ï

x

ï

z = í-

2 x +

x Î [ 0 ,1[ ,

x + 1

ï

ï

ï

3

- x

,

x ³ 1;

î 1 + x

).б u = 2 sin( px )cos( px ), v = cos2 (px ) sin( 3px );

).вw = 2 x2 cos2 ( x ) - 2 y2 .

Вариант 6

а). y =

2 + 3 x

;

+ x + x2

1

ì

1 + 2 x2 - sin2 ( x ) , x £ 0 ,

ï

2 + x

g = í

, x > 0 ,

ï

î

3 2 + e-0 ,1 x

ì 1 + x

,

x < 0 ,

ï

1 + x2

ï

ï

x

z = í

1 +

x Î [ 0 ,1[ ,

ïx1 +

ï2 sin( 3 x ) , x ³ 1;

ï

î

).б u = 3 sin( 3px )cos( 2px ), v = cos3 ( 4px ) sin( px );

50

).вw = 2e0 ,2 x x2 - 2 y4 .

Вариант 7

а).

y =

1 + x

;

1 +

2 + x + x2

ì

x £ 0 ,

1 + x2 ,

ï

1 + x

g = í

,

x > 0 ,

ï

î

1 + 3 2 + e-0 ,2 x

ì1 + x + x 2

,

x < 0 ,

ï

1 + x

2

ï

ï

2 x

z = í

1 +

x Î [ 0 ,1[ ,

1 + x 2

ï

ï2

0 ,5 + sin( x )

,

x ³ 1;

ï

î

).б u = 2 sin( 2px )cos( 4px ),

v = cos2 ( 3px ) - cos( px ) sin( px );

).вw = x2 - 2e0 ,2 y y2 .

Вариант 8

1 + xe- x

а).

y =

;

2 +

x2 + sin2 ( x )

ì

x £ 0 ,

1 +

x

,

ï

1 +

3 x

g = í

,

x > 0 ,

ï

2 + 3

î

1 + x

ì

3

+ x

ï1 +

,

x < 0 ,

1 + x

2

ï

ï

1 + ( 1 - x )2

x Î [0 ,1[ ,

z = í

ï

1 + x

ï

,

x ³ 1;

ï

1 + cos2 ( x )

î

).б u = sin( 3px ) + 2 sin( 2px )cos( 3px ), v = cos( px ) - cos( 3px ) sin2 ( px );

).вw = 2e0 ,2 x x2 - 2 y 2 .

Вариант 9

а). y = sin( x )e-2 x ;

ì 2 + x2						, x £ 0 ,
ï
ï		2	+ x4
g = í				sin	2 ( 2 x )
ï
ïx +							, x > 0 ,
				3 + x
î

51

ì

2 +

x

,

x < -1,

ï

3

2 + x + x 2

ï

ï

2

2

+ cos

4

( x )

ï

z = íln( 1 + x

) +

x Î [ -1,0 [ ,

2 + x

ï

ï( 2 + x )3 / 5 , x ³ 0;

ï

ï

î

).б u = sin( x )cos( x ),

v = cos2 ( 2 x ) sin( x ); ).вw = 4 x2 - 2 y2 .

Вариант 10

а). y =

3 + x2

;

3 + 2 x2

ì

3 sin( x ) - cos

2

( x ),

x £

ï

g = í

2

ï

3

1 + x

, x > 0 ,

î

ì

3 +

x

,

x < -1,

ï

3

2 + x + x 2

ï

ï

2

1

+ cos

2

( x )

ï

z = íln( 1 + x

) +

2 + x

ï

0,

xÎ [ -1,0 [ ,

ï( 1 + x )1 / 5 , x ³ 0 ;

ï

ï

î

).б u = sin( x ) - 3 cos( px ),

v = 4 cos2 ( 2px ) - 2 sin( px ); ).вw = 3 x2 - 4 sin2 ( y )y 2 .

Вариант 11

а). y =	2 + sin2 ( 2px )							;
			1 + x 2
ì		3 x2			, x £ 0 ,
ï
		1 + x		2
ï
g = í
					2 x
ï		1 +					,	x > 0 ,
ï				1	+ x	2
î
ì
		3 x +			1 + x		2	, x < 0 ,
ï
ï								x Î [ 0 ,1[ ,
z = ícos( x )e-2 x
ï		2 sin( 3 x ),						x ³ 1;
ï
î

).б u = 5 sin( px ) - 2 cos( 3px ) sin( px ), v = cos( 2px ) - sin3 ( px );

).вw = 5 x2 cos2 ( y ) - 3 y 2e y .

52

Вариант 12
а). y = 1 + cos( x ) ;
1 + e2 x
ì3 + sin2 ( 2 x )			, x £ 0 ,
ï	2	( x )
g = í 1 + cos

ï

+ 2 x , x > 0 ,

î2 1

ì

1 +

x

2

, x < 0 ,

ï

1 + x2

ï

ï

2 cos2 ( x )

x Î [ 0 ,1[ ,

z = í

ï

1 +

2 sin( 3 x )

1 / 3 , x ³ 1;

ï

ï

î

).б u = 3 sin( 2px )cos( px ) - cos2 ( 3px ), v = 2 cos2 ( 2px ) - 3 sin( 3px );

ì2 x 2 - e y ,		x + y				< 0 ,5 ;
ï							x + y				< 1;
					£
).вw = íxe2 x - y , 0 ,5
ï	- ye y , 1		£		x + y				;
ï2e x
î

Вариант 13

а). y = 41 + e2 x ;

ì4			+ sin( x )						,		x £ 0 ,
ï
			1 + x				2
g = í
ï				2	cos		2	( x ),			x > 0 ,
î2 x
ì			1 / 3 ,
ï	x						x < 0 ,
ï							x
ï
z = í- x +											x Î [ 0 ,1[ ,

ï1

ï5 - x

ï, x ³ 1;

î 1 + x x +

).б u = 8 sin( px )cos( px ),

v = 7 cos2 ( px ) sin( 3px ); ).вw = 6 x2 cos2 ( x ) - 2 y2 .

Вариант 14

а). y =		6 + 3 x		;
		+ x + x 2
3
ì
			2 + 2 x2 - sin2 ( x ) , x £ 0 ,
ï			2 + x
g = í					, x > 0 ,
ï
î		3 2 + e-0 ,3 x

53

ì 1 + x				, x < 0 ,
ï
	1	+ x2
ï
ï				x
z = í		1 +				x Î [ 0 ,1[ ,

ïx1 +

ï2 sin( 4 x ) , x ³ 1;

ï

î

).б u = 3 sin( 3px )cos( px ), v = cos3 ( 3px ) sin( 2px );

).вw = 2e0 ,2 x x2 - 2 y4 .

Вариант 15

а). y =

1 + x

;

1 +

2 + x + x2

ì

x £ 0 ,

1 + x2 ,

ï

1 + x

g = í

,

x > 0 ,

ï

1

+ 3 2 + e-0 ,2 x

î

ì1 + x + x 2

, x < 0 ,

ï

1 + x

2

ï

ï

2 x

z = í

1 +

x

Î [ 0 ,1[ ,

1 + x 2

ï

ï2

0 ,5 + sin( x )

,

x ³ 1;

ï

î

).б u = 2 sin( 2px )cos( 4px ),

v = cos2 ( 3px ) - cos( px ) sin( px );

).вw = 2 x2 - 2e0 ,2 y y2 .

ЗАДАНИЕ 10 Применение электронных таблицExcel к типовым задачам

а). Найти корни уравнения, используя инструмент – Подбор параметра. Построить график функции, стоящей в левой части уравнения

б). Найти все решения системы нелинейных уравнений, проиллюстрировать решение на диаграмме.

в). Решить транспортную задачу.

Например,

Дано:

).аx 3 + 6 x - 4 x 2 + 3 = 0 ,

ìx 2 + y 2 = 3;

).бí

î3 x + 2 y = 1;

в). В области два завода по производству цемента и три домостроительных комбината. В таблице указаны суточные объемы производства цемента, суточные

54

потребности в нем комбинатов и стоимость перевозки 1 тонны цемента от каждого завода к каждому комбинату.

Составить план суточных перевозок цемента с целью минимизации транспортных расходов.

						Таблица 10.1
						Стоимость перевозки 1т
	Заводы		(т/сут.)			цемента, руб.
						Комбинат 1			Комбинат 2			Комбинат 3
			Производство
			цемента
1		40			10			15			25
		60			20			30			30
2
	Потребности в цемен-					50			20			30
	те

Подбор параметра – средство, позволяющее определить значение, которое будет давать желаемый результат в задаче с одним неизвестным. Чтобы воспользоваться этим средством, нужно выбрать команду Сервис | Подбор параметра. На экране появится окно диалога. В поле Установить в ячейке нужно задать ячейку, в которой находится конечная формула. В поле Значение, нужно ввести значение, которое должно быть достигнуто в ячейке, указанной в поле Установить в ячейке. В поле Изменяя значение ячейки ввести ссылку на ячейку, значение которой нужно подобрать таким образом, чтобы в ячейке из поляУстановить в ячейке было получено значение, указанное в поле Значение. То есть в этом поле нужно установить ссылку на ячейку, значение которой является неизвестным.

Поиск решения – инструмент, который позволяет в процессе решения задачи изменять значения в нескольких ячейках, и помогает найти комбинацию переменных, устанавливающих требуемое значение некоторой целевой функции. Возможно задание нескольких ограничений - условий, которые должны выполняться при поиске решений.

Прежде чем обращаться к инструментуПоиск решения необходимо построить математическую модель решения задачи, включающую:

-определение переменных модели;

-выбор целевой функции;

-задание ограничений, которым должны удовлетворять переменные.

После построения математической модели воспользуемся командойСервис | Поиск решения. Если эта команда недоступна, то вызываем Сервис | Надстройки

ив диалоговом окне устанавливаем флажок Поиск решения.

ВполеУстановить целевую функцию диалогового окна Поиск решения нужно указать ссылку на ячейку с целевой функцией. Например, для решения системы

55

уравнений 2.б., протабулируем функцию двух переменных, стоящую в левой части уравнения:

( x 2 + y 2 - 3 )2 + ( 3 x + 2 y - 1 )2 = 0 ;

За начальное приближение к корням уравнения примем пары значений ( x , y ) , в которых значение функции ближе всего к нулю. В ячейки B15:C15 была помещена первая пара (1;-1,5), а в ячейки B16:C16 - вторая (-1;1,5). В ячейки D15

и D16 вводим формулы с левой частью уравнения. Чтобы найти первый корень нужно выделить ячейку D15, вызвать окно Поиск решения и заполнить соответствующие поля. В диалоговом окне Параметры поиска решения флажок Линейная модель должен быть снят. Аналогично находим второй корень.

При выполнении задания2.в. необходимо решить транспортную задачу(пример выполнения ниже). В качестве неизвестных величин выступают объемы перевозок. Пусть xij - объем перевозки цемента с i -го завода на j -ый комбинат, pij -

стоимость перевозки 1 т цемента с i -го завода на j -ый комбинат. Тогда целевая функция, представляющая собой суммарные транспортные расходы имеет вид:

2 3

z = åå pij xij . i=1 j=1

Эту функцию требуется минимизировать.

Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограниче-

ниям:

1.Объемы перевозок не могут быть отрицательными;

2.Весь объем производимого цемента на каждом заводеai должен быть

вывезен:

3

ai = å xij ; i = 1,2;

j=1

3.Потребности всех комбинатов в цементе bj должны быть удовлетворены:

56

2

bj = å xij ; j = 1,2 ,3;

i=1

Расположим данные на листе, как показано в следующей таблице 10.2.

Таблица 10.2

Заводы			Производство цемен-			Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
			та (т/сут.)			Комбинат 1	Комбинат 2	Комбинат 3
1		40			10		15	25
2		60			20		30	30
	Потребности в цементе					50	20	30
			Объем перевозок							Вывезено
1					20		20	0		=СУММ(C8:E8)
2					30		0	30		=СУММ(C9:E9)
			Поставлено			=СУММ(C8:C9)	=СУММ(D8:D9)	=СУММ(E8:E9)
			Суммарные транспортные		расходы		=СУММПРОИЗВ	(C3:E4;C8:E9)

После подготовки листа нужно вызвать Поиск решения, воспользоваться кнопкой Параметры и установить флажок Линейная модель и заполнить диалоговое окно следующим образом:

После нажатия кнопки Выполнить средство Поиск решения найдет оптимальный план суточных перевозок.

Пример выполнения задания 10

Результат выполнения задания 10(а)

			57
		Значение		-3,5554E-
Корень:	-0,38919	y:		05
x	y
-10	-1457
-9	-1104
-8	-813
-7	-578
-6	-393
-5	-252
-4	-149
-3	-78
-2	-33
-1	-8
0	3
1	6
2	7
3	12
4	27
5	58
6	111
7	192
8	307
9	462
10	663

			Левая часть уравнения
			1000
			500
			0
-15	-10	-5	0	5	10	15
y(x)			-500			Ряд1
			-1000
			-1500
			-2000
			x

Результат выполнения задания 10(б)

58

Решение системы уравнений

	-2	-1,5	-1	-0,5	0		0,5	1	1,5	2
-2	125,00	110,56	85,00	65,56	50,00		37,56	29,00	26,56	34,00
-
1,5	100,81	74,50	56,31	42,50	30,81		20,50	12,31	8,50	12,81
-1	68,00	49,06	37,00	28,06	20,00		12,06	5,00	1,06	4,00
-
0,5	43,81	30,50	23,31	18,50	13,81		8,50	3,31	0,50	3,81
0	26,00	16,56	13,00	11,56	10,00		7,56	5,00	4,56	10,00
0,5	13,81	6,50	5,31	6,50	7,81		8,50	9,31	12,50	21,81
1	8,00	1,06	1,00	4,06	8,00		12,06	17,00	25,06	40,00
1,5	10,81	2,50	2,31	6,50	12,81		20,50	30,31	44,50	66,81
2	26,00	14,56	13,00	17,56	26,00		37,56	53,00	74,56	106,00
	Уточнение
	корней
	x	y	f(x,y)
	1,1791	-1,269		1E-13
	-0,718	1,5764		4E-12

Фрагмент таблицы для построения диаграммы по решению системы уравнений

x	x^2+y^2=3	3*x+2*y=1
-1,7	0,3317	3,05
-1,6	0,6633	2,90
-1,5	0,866	2,75
-1,4	1,0198	2,60
-1,2	1,249	2,30
-1,1	1,3379	2,15
-1	1,4142	2,00
-0,9	1,4799	1,85
-0,8	1,5362	1,70
-0,7	1,5843	1,55
-0,6	1,6248	1,40
-0,5	1,6583	1,25
-0,4	1,6852	1,10
-0,3	1,7059	0,95
-0,2	1,7205	0,80
-0,1	1,7292	0,65
0	1,7321	0,50
0,1	1,7292	0,35
0,2	1,7205	0,20
0,3	1,7059	0,05
0,4	1,6852	-0,10
0,5	1,6583	-0,25
0,6	1,6248	-0,40
0,7	1,5843	-0,55
0,8	1,5362	-0,70

59

		Система уравнений
			Окружность			Прямая
					4
					3
					2
Y
Переменная					1
					0
	-2	-1, 5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
					-1
					-2
					-3
				Переменная X

60

Результат выполнения задания 10(в)

						Стоимость перевозки 1т
	Заводы		Производство			цемента, руб.
						Комбинат 1			Комбинат 2			Комбинат 3
			(т/сут.)
			цемента
1		40			10			15			25
		60			20			30			30
2
	Потребности в цемен-					50			20			30
			те
			Объем перевозок											Вывезено
1					20			20			0			40
					30			0			30			60
2
			Поставлено		50			20			30
			Суммарные		транспортные			рас-
			ходы									2000

Варианты заданий 10

Задание10.а. Найти корни уравнения.

1.x 3 + 2,28 x 2 - 1,93 x - 3,90 = 0 ;

2.6 x3 - 20 x - x 2 + 12 = 0;

3.8 x3 + 54 x - 36 x 2 = 0 ;

4.8 x4 + 6 x 3 - 13 x 2 - x + 3 = 0 ;

5.2 x4 - x3 - 9 x 2 - 13 x - 3 = 0 ;

6.x 4 - 4 x3 - 19 x2 + 106 - 120 = 0;

7.x 4 - 2 x3 + x - 132 = 0 ;

8.18 x4 - 3 x 3 - 25 x 2 + 2 x + 8 = 0 ;

9.6 x3 - x 2 - 20 x + 12 = 0 ;

10.8 x3 - 36 x 2 + 54 x - 28 = 0 ;

11.x 3 - 2 ,92 x2 + 1,45 x + 0 ,79 = 0;

12.x 3 - 2,56 x 2 - 1,32 x + 4 ,39 = 0 ;

13.x 3 - 2,84 x2 - 5 ,6 x - 14 ,76 = 0 ;

14.x 3 + 1,41x 2 - 5 ,47 x -7 ,38 = 0 ;

15.x 3 + 0 ,85 x2 - 0 ,43 x + 0 ,04 = 0 ;

61

Задание 10.б. Найти все решения системы нелинейных уравнений.

1.ìí2 x 2 + 5 y 2 = 3; î5 x + 9 y = 3;

2.ìí3 x 2 + 4 y 2 = 4 ; î3 x + 4 y = 2;

3.ìí5 x 2 + 2 y 2 = 3; î2 x +7 y = 1;

4.ìí4 x 2 + 5 y 2 = 3; î5 x + 3 y = 1;

5.ìí5 x 2 + 6 y2 = 3; î7 x + 3 y = 1;

6.ìí3 x 2 + 5 y2 = 4 ; î5 x + 2 y = 2;

7.ìí7 x2 + 6 y2 = 3; î5 x + 3 y = 2;

8.ìí5 x 2 + 6 y2 = 3; î3 x + 2 y = 2;

9.ìí3 x 2 + 2 y 2 = 2; î2 x +7 y = 3;

10.ìí5 x 2 + y 2 = 3;

î3 x + 5 y = 2;

11.ìíx 2 + y2 = 14 ;

îx - y = 4 ;

12.ìí5 x 2 + 4 y 2 = 17 ;

î5 x - 2 y = 9;

13.ìí2 x 2 + 3 y 2 = 6 ;

î2 x -7 y = 6 ;

14.ìí6 x 2 +7 y2 = 4 ;

î4 x - 3 y = 3;

15.ìí5 x 2 + 4 y 2 = 7 ;

î6 x - 4 y = 3;

Задание 10.в.

В области несколько заводов по производству цемента и есть домостроительные комбинаты. В таблицах указаны суточные объемы производства цемента, суточные потребности в нем комбинатов и стоимость перевозки 1 тонны цемента от каждого завода к каждому комбинату.

62

Составить план суточных перевозок цемента с целью минимизации транспортных расходов.

Таблицы вариантов заданий10 в.

1.

Заводы		Производство це-						Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
								Комбинат					Комбинат						Комбинат									Комбинат								Комбинат							Комбинат
				мента (т/сут.)
								1					2						3									4								5							6
1			40				200						5					25									30										25					40
			60				20						30					30									22										13					10
2
			10				15						25					3									70										21					12
3
			15				10						15					25									4										25					40
4
			20				20						30					30									100										13					10
5
6			30				15						25					15									70										21					12
	Потребности в цементе						50						20					30									25										30					20
2.
Заводы				Производство			Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
							Комбинат					Комбинат						Комбинат								Комбинат								Комбинат
				цемента (т/сут.)																																				Комбинат 6
							1					2						3								4								5
		1	40				20						5				25									30								25								40
		2	60				20						30				30									22								13								10
		3	10				15						1				3									70								21								12
		4	15				10						15				25									4								25								40
			20				20						30				30									100								13								10
		5
Потребности в цементе							50						20				30									10								30								5
3.
Заводы				Производство					Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
				цемента (т/сут.)					Комбинат 1						Комбинат 2							Комбинат 3									Комбинат 4								Комбинат 5
		1	40				20										5									25								30								25
		2	55				20										30									30								22								13
			10				15										1									3								70								21
		3
			15				10										15									25								4								25
		4
			20				20										30									30								100								13
		5
Потребности в цементе							50										20									30								10								30

										63
4.
Заводы							Стоимость перевозки 1т
						1				2				3				4
				Производство			цемента, руб.
				цемента (т/сут.)			Комбинат					Комбинат			Комбинат				Комбинат
		1	10			20				5				25				30
		2	40			20				30				30				22
		3	10			15				1				3				70
		4	15			10				15				25				4
		5	35			20				30				30				100
Потребности в цементе						50				20				30				10
5.
Заводы				Производство			Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
							Комбинат					Комбинат			Комбинат				Комбинат				Комбинат				Комбинат
				цемента (т/сут.)
							1					2			3				4				5				6
		1	40			200				5				25				30				25					40
		2	75			20				30				30				22				13					10
		3	60			15				25				3				70				21					12
Потребности в цементе						50				20				30				25				30					20
6.
Заводы		Производство це-				Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
						Комбинат					Комбинат				Комбинат					Комбинат				Комбинат				Комбинат
				мента (т/сут.)
						1					2				3					4				5				6
1			40			20				5				25				30					25				40
2			60			21				30				30				22					13				10
3			10			18				90				30				90					50				10
4			15			10				15				25				4					215				10
5			20			20				30				30				100					103				10
6			30			15				25				105				170					201				12
	Потребности в цементе					50				20				30				25					30				20

64

7.

Заводы		Производство			Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
					Комбинат			Комбинат			Комбинат			Комбинат			Комбинат			Комбинат
		цемента (т/сут.)
					1			2			3			4			5			6
1	35			20			5			25			30			25			40
	60			20			30			30			212			13			110
2
	10			115			1			31			70			21			112
3
4	15			10			115			25			4			25			40
	20			20			30			30			100			13			120
5
Потребности в цементе				50			20			30			10			25			5

8.

Заводы		Производство		Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
		цемента (т/сут.)		Комбинат 1		Комбинат 2		Комбинат 3		Комбинат 4		Комбинат 5
1	40			20		5		25		320		25
	55			220		30		320		22		13
2
	10			15		1		3		70		221
3
	15			10		125		25		4		25
4
	20			20		30		30		100		123
5
Потребности в цементе				50		20		30		10		30

9.
Заводы							Стоимость перевозки 1т
							1					2				3				4
		Производство це-					цемента, руб.
		мента (т/сут.)					Комбинат					Комбинат				Комбинат					Комбинат
1	20						20					5				25					310
	40						20					330				30					22
2
	10						135					1				33					70
3
	15						10					15				25					4
4
5	35						20					30				310					100
Потребности в цементе							50					30				30					10
10.
Заводы		Производство			Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
					Комбинат					Комбинат					Комбинат				Комбинат					Комбинат				Комбинат
		цемента (т/сут.)
					1					2					3				4					5				6
1	40						20					5				25				30					25		40
2	75						230					340				30				22					13		10
3	70						15					245				340				70					210		12
Потребности в цементе							60					20				30				25					30		20

65

11.

Заводы		Производство це-					Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
							Комбинат					Комбинат				Комбинат			Комбинат			Комбинат			Комбинат
				мента (т/сут.)
							1					2				3			4			5			6
1			40			20					5				25			30			250			40
2			60			200					30				30			220			130			10
3			10			105					25				3			70			21			12
4			15			100					15				25			4			25			40
5			20			200					30				30			100			130			10
6			30			105					25				150			70			21			12
Потребности в цементе						50					20				30			25			30			20
12.
Заводы				Производство				Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
								Комбинат					Комбинат			Комбинат			Комбинат			Комбинат
				цемента (т/сут.)																					Комбинат 6
								1					2			3			4			5
		1	40			20					5				25			30			25			40
		2	60			20					30				30			22			103			10
		3	10			15					1				3			70			21			12
		4	15			190					195				295			49			285			40
		5	20			20					30				30			100			13			10
Потребности в цементе						50					20				30			10			30			5

13.

Заводы		Производство		Стоимость перевозки 1т цемента, руб.
		цемента (т/сут.)		Комбинат 1	Комбинат 2	Комбинат 3	Комбинат 4	Комбинат 5
1	40			20	50	25	30	205
2	55			20	30	30	202	13
3	10			150	18	36	709	21
4	15			10	15	257	4	25
5	20			20	309	30	100	13
Потребности в цементе				50	20	30	10	30