72

Задание 12 Математический пакет Mathcad

1. Решить уравнение из пункта (а) задания № 10 по Excel в системе Mathcad. 2. . Решить систему уравнений из пункта (б) задания № 10 по Excel в систе-

ме Mathcad.

3. Решить дифференциальное уравнение из задания №11.

По первым трем пунктам представить графические иллюстрации решений. Номера вариантов из Заданий №10 и № 11 выбирают совпадающим с новым номером варианта Задания № 12.

4. Найти собственные значенияl и собственные векторы L нестандартной задачи: A × L = l × B × L ,

73

é 6 - 3 - 1ù

é78 0

0 ù

где [A ]= nê

- 3

7

2

ú

;

[B ]=

1

ê

0

32

0

ú

;

ú

ú

ê

m ê

ê

- 1

2

8

ú

ê

0

0

45

ú

ë

û

ë

û

n – номер варианта, m – двузначный номер группы.

Пояснения

Для решения сложных расчетных задач используются программы, созданные специально. Для задач ограниченной сложности возможно использование универсальных средств, таких как Mathcad.

Система сочетает в себе возможности проведения расчетов и подготовки -фор матированных технических документов. В программе Mathcad различают два вида объектов: Формулы и Текстовые блоки. Последние появляются после перехода на русскую клавиатуру и пропускаются при расчетах, как комментарии.

Буквенные выражения рассматриваются как переменные, их значения задаются с помощью оператора присваивания ":=", который вводится символом ":". Оператор вычисления вводится знаком"=". Запись матричных выражений аналогична общепринятым в математике виде, например:

æ 3

4

öT

æ 3

5 ö

,

ç

÷

=

ç

÷

ç

5

6

÷

ç

4

÷

è

ø

è

6 ø

æ 3

5

4

ö- 1

æ -0.483

0.414

-0.448ö

ç 7

8

9

÷

=

ç

0.655

-0.276

-0.034÷

ç

÷

ç

÷

è 1

2

4

ø

è -0.207

0.034

0.379 ø ,

æ 3

5

4 ö

ç

7

8

9

÷

= -29

ç

÷

,

è 1

2

4 ø

Цепкие операторы – это возведение в степень"^", извлечение корня, деление (ввод знаменателя дроби). Чтобы вводимое действие относилось ко всему предыдущему выражению, используйте клавишу "пробел" или ® .

В Mathcad есть порядка 200 встроенных функций, но возможно создавать функции пользователя. Слева указывается название функции, а справа после знака ":=", вычисляемое выражение. Переменные, входящие в правую часть, должны быть записаны в качестве параметров в скобках после имени функции. Все величины из правой части не входящие в параметры левой, должны быть определены левее и выше функции пользователя. Функции пользователя вычисляются после задания значения переменным и упоминании функции со знаком "=".

Например:

						74
x := 0 , 0.1 .. 10				z := 3		a := 0.4
f1 ( x) =		f2 ( x + 0.000001 )		f(x) := sin(xa × z)			*
0		4.777·103
0.073		1.756
					óx
0.171		-0.016							d
0.27		-0.689				f(x) dx		f2(x) :=		f(x)
				f1(x) := ô							*
0.362		-1.013			õ				dx
					0
0.443		-1.176
					(f1(3) + f2(5))
0.514		-1.251		r :=			*
					1000
0.572		-1.274
0.617		-1.265		r = -2.017´ 10- 4
0.649		-1.234
				Одна из возможностей Mathcad – это Дискретная
0.669		-1.188
				переменная,		играющая роль оператора цикла. Опреде-
0.677		-1.133
0.674		-1.072		ление дискретной переменной имеет вид: x := 0 ,0.1..10 ,
0.661		-1.007
				что означает изменение x от нуля до десяти с шагом
0.637		-0.94
0.604		-0.871		0,1. Многоточие из двух точек вводится символом ";".

1.756	2
	1.25
	0.5
f1(x) 0.25
f2(x)	1
	1.75
	2.5
- 2.629	3.25
	4
	0 1.252.53.75 5 6.257.58.7510
	0	x	10

Для построения графиков функций необходимо:

1.Установить крестообразный курсор в то место листа, где должен находится график;

2.На математической панели График щелкните на кнопку X-Y график (двумерный график).

3.В появившемся на месте курсора шаблоне двумерного графика введите на оси абсцисс имя аргумента, на оси ординат имя функции.

4.Щелкните мышью вне шаблона графика. График будет построен.

Имеется возможность форматирования графика и добавления линий(для чего функции в шаблоне отделяются друг от друга запятой).

Численное решение уравнений возможно с помощью функцииroot( f ( x ), x ) , которая возвращает значение x , обращающее f ( x ) в нуль. При использовании функции необходимо задать начальное приближение.

Например:

Найдем корень уравнения

2 sin2 / 3 ( x ) - x = 0 ,

взяв в качестве начального приближения

75

x := 1

é

2

ù

ê

ú

rootë2 × (sin(x)) 3 - x, xû = 1.92

x := 0, 0.1.. 10

é

2

ù

ê

ú

y(x) := ë2 × (sin(x)) 3

- xû

y(x)

=

2

0·10 0

3.304·10 -1

4.81·10 -1

0

1.67

3.33

5

6.67

8.33

10

5.873·10 -1

6.665·10 -1

2

7.251·10 -1

7.663·10 -1

7.918·10 -1

y(x)

4

8.027·10 -1

7.995·10 -1

6

7.826·10 -1

7.522·10 -1

7.083·10 -1

8

6.511·10 -1

5.806·10 -1

10

4.967·10 -1

3.994·10 -1

x

Для решения системы уравнений, используют блок решения given ... find,

между ключевыми словами располагаются логические утверждения, задающие ограничения на значения искомых величин. Знак равно используется с логической панели инструментов:

x := 0

y := 0

given

x + y 1

3x2 - y2 4

æ 1.158 ö find(x, y) = ç ÷ è -0.158ø

Для наглядного представления полученных результатов построим графики левых частей уравнений, при этом используем функцию if(__ ,__ ,__) , первый параметр которой логическое выражение, второй – возвращаемое значение, если первый параметр дает true, третий параметр – возвращаемое выражение, если первый – false.

								76
x := (-3 , -2.99.. 10)
é		2	- 4	³ 0),	2	ù
h(x) := ifë(3x					3x	- 4 , iû
s (x) := 1 - x				- 4 > 0, -(		3x2 - 4), iù
h1 (x) := if		é3 × x2
		ë					û
						20
						15
						10
h( x)						5
s( x)		4		2.25		0.5	1.25	3	4.75	6.5	8.25	10
h1( x)
						5
						10
						15
						20
								x
Использование панели Символьный дает все решения данной системы урав-
нений:
Given
x + y	1
3x2 - y2		4

	æ										1												1 ö
	ç	-1					1								-1					1						÷
									× 112													× 112
	ç				-													+								÷
		2												2													æ -2.158	1.158 ö
Find(x,y) ®	ç					2													2							÷
	ç																									÷	= ç	÷
											1												1				è 3.158	-0.158ø
	ç	3				1								3					1							÷
					+				× 11		2							-				× 11	2
	ç																									÷
		2				2								2					2
	è																									ø

С помощью данной панели можно проводить и другие аналитические вычисления, например вычисление интеграла:

ó	4	4	3	2
ô					× cos (x) - 24 × cos (x) - 24 × x × sin(x)
ô	x	× sin(x) dx ® -x	× cos (x) + 4 × x	× sin(x) + 12 × x
õ

Решение дифференциальных уравнений проводят с применением функции Odesolve. Три части вычислительного блока включают:

77

- Ключевое словоGiven;

- Дифференциальное уравнение и начальные условия к .немуДля набора штриха в выражении начальных условий используется сочетание клавиш Ctrl+F7.

- Функция Odesolve(x,xk,n),

гдеx – имя переменной относительно, которой решается уравнение; xk – конец интеграла интегрирования;

n – необязательный параметр, определяющий число шагов интегрирования. Например:

	Given
	d3	y(x)		- x	×	d	y(x)	x × sin (x)
	dx3			- 2
						dx
	y(0)		1	y'(0)			1	y''(0)	-0.5	y := Odesolve (x,2, 1000)
							3.5
							3
							2.5
y ( x)							2
d2
	2 y( x)						1.5
dx
d	y( x)
dx							1
							0.5
				0.5			0.19	0.13	0.44	0.75	1.06	1.38	1.69	2
							0.5
										x

В технических расчетах актуальна задача определения собственных значений и собственных векторов квадратных матриц.

Стандартная задача на определение собственных значений

A × L = l × L или ( A - l × E ) × L = 0 ,

где E- единичная матрица, A – квадратная матрица, l - вектор собственных чисел, L – спектр собственных векторов.

Функция eigenvals(A) – вычисляет вектор собственных чисел матрицы А. Функция eigenvecs(A) – вычисляет спектр собственных векторов матрицы А.

Собственные векторы располагаются по столбцам в результирующей матрице спектра.

A × L = l × B × L

78

Нестандартная задача на собственные значения имеет вид:

или ( A - l × B ) × L = 0 ,

где B – также, как и A – квадратная матрица.

Если в задачах свободных колебаний механической системы матрицы: B – матрица масс, А – матрица жесткостей, то собственные числа l = p2 являются

квадратами собственных частот, а L i - форма колебания для собственной частоты pi .

Для решения нестандартной задачи используются две функции: genvals(A,B) - вычисляет вектор собственных чисел; genvecs(A,B) - вычисляет спектр собственных векторов.

	æ 2	-1	0 ö		æ 5	1	1 ö
A :=	ç -1	3	-2 ÷	B :=	ç 1	7	1 ÷
	ç		÷		ç		÷
	è 0	-2	9 ø		è 1	1	4 ø

	æ 0.66 ö			æ 0.806	0.709	-0.144ö
genvals (A , B) =	ç	0.167÷	genvecs (A ,B) =	ç -0.571	0.679	-0.252÷
	ç	÷		ç		÷
	è 2.656ø			è -0.155	0.191	0.957 ø