Решение

Если выполнять поставленную задачу без предварительного преобразования схемы, то для определения токов пришлось бы решать или шесть уравнений по методу законов Кирхгофа, или три уравнения, составленных по методу контурных токов, или три уравнения по методу узловых потенциалов.

Преобразуем треугольник сопротивлений R₃, R₄, R₅ в эквивалентную звезду. После преобразования схема примет вид на рис. 2.6 б. В этой схеме, согласно (2.6), (2.7) и (2.8),

Ом;

Ом;

Ом.

Отметим, что токи I₁, I₂ и I₆ в схемах на рис. 2.6 а и 2.6 б остались неизменными, так как протекают по не преобразованным частям схемы.

Заменяя последовательно соединенные сопротивления на эквивалентные, получим

Ом; Ом;Ом.

Схема рис. 2.6 б примет вид рис. 2.6 а.

В схеме на рис. 2.6 в только два узла. Это позволяет по методу узловых потенциалов,

приняв ₄ = 0, записать только одно уравнение, т. е. формулу «двух узлов» (1.21)

В. (2.9)

Далее, используя обобщенный закон Ома, найдем токи I₁, I₂ и I₆ в не преобразованной части схемы ( ₄ = 0)

А; А;А.

Для определения токов I₃, I₄ и I₅ вернемся к схеме рис. 2.6 б и определим потенциалы узлов 1, 2, 3 ( ₄ = 0).

В; В;В.

По условиям эквивалентности потенциалы узлов /, 2, 3 схемы рис. 2.6 а и потенциалы точек 1, 2, 3 схемы рис. 2.66 одинаковы. Поэтому для токов I₃, I₄, I₅ схемы рис. 2.6 а получим

А; А;А.

2.4. Преобразование параллельных ветвей с источниками эдс и тока

Если сложная электрическая схема содержит некоторое количество ветвей с источниками ЭДС или тока, соединенных параллельно, то расчет такой схемы может быть существенно облегчен путем замены параллельных ветвей одной ветвью с эквивалентными сопротивлением и ЭДС или эквивалентным источником тока. Проиллюстрируем сказанное на примере схемы, приведенной на рис. 2.7.

На схеме рис. 2.7 а между точками 1 и 2 подключены две ветви с источниками ЭДС E₁ и E₂ и сопротивлениями R₁ и R₂. К этим же точкам подключен источник тока J₃. Требуется заменить часть схемы слева от точек 1 и 2 на эквивалентную с источником ЭДС Е и внутренним сопротивлением R, как на рис. 2.7 б, либо на схему с источником тока J^У и внутренним сопротивлением R,

как на рис.2.8.

Условием эквивалентности является одинаковая для всех трех схем мощность, выделяющаяся на R_Н. Для этого необходимо, чтобы при заданном R_Н напряжение U и ток I в нём оставались неизменными. Для схемы рис. 2.7 а по первому закону Кирхгофа запишем

. (2.12)

или, используя обобщенный закон Ома,

(2.13)

где ;;.

В схеме рис. 2.76 ток

(2.14)

В схеме рис. 2.8 (2.15)

где J^У – эквивалентный источник тока.

Так как условия эквивалентности должны выполняться при любых напряжениях U и токах I, то приравнивая правые части (2.13) и (2.14), а также (2.13) и (2.15), получим

;

.

Из последних уравнений следует

; (2.16)

(2.17)

. (2.18)

Обратим внимание на то, что эквивалентная проводимость g является суммой проводимостей всех ветвей независимо от того, есть или нет в данной ветви ЭДС. Исключение составляет источник тока J₃ – проводимость этого участка цепи равна нулю и может не учитываться при подсчете проводимости g. Так как сопротивление идеального источника тока равно бесконечности, то сопротивление R₃, соединенное последовательно с J₃, не меняет величину сопротивления, а значит, и проводимости ветви источника тока. Вместе с тем, значение эквивалентной ЭДС Е, как и эквивалентного источника тока J^У, зависят от величин ЭДС Е₁ и Е₂ и тока J₃.

Правило знаков получим из (2.17) и (2.18). Если стрелки источников ЭДС и источников тока направлены так же как стрелки эквивалентных Е и J^У, т. е. к точке 1 (см. рис. 2.7 а), то берут соответствующие слагаемые со знаком плюс. В нашем случае это Е₁ и J₃. Для ветви с Е₂ знак противоположный.

Пример 2.3. Преобразовать схему рис. 2.7 а к виду рис. 2.7 б, если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 60 Ом; Е₁ = 90 В; Е₂ = 30 В; J₃ = 1 А.