8.3. Расчет индуктивно связанных цепей

Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек

На рис. 8.4 приведены схемы последовательного соединения двух индуктивно связанных катушек, обладающих активными сопротивлениями r₁ и r₂, индуктивностями L₁ и L₂ и взаимной индуктивностью М, для согласного (а) и встречного (б) включений.

Запишем для них уравнения по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений. На рис. 8.4 пунктиром показаны напряжения взаимной индукции

Здесь верхние знаки перед напряжениями взаимной индукции относятся к согласному включению, нижние – к встречному.

То же уравнение в комплексной форме имеет вид

Величина М носит название сопротивления взаимной индукции и намеряется в омах. Полученное выражение свидетельствует о том, что две последовательно соединенные индуктивно связанные катушки эквивалентны одной, имеющей активное сопротивление r_э = r₁ + r₂ и индуктивность . При согласном включении эквивалентная индуктивность цепи увеличивается, а при встречном – уменьшается. Полное сопротивление цепи при согласном включении больше, чем при встречном, что может быть использовано для опытного определения одноименных зажимов катушек.

Если обозначить индуктивное сопротивление цепи при согласном включении через Хсогл,

а при встречном через Хвстр, т. е.то,

вычитая второе выражение из первого, получим

откуда величина взаимной индуктивности

На рис. 8.5 приведены топографические диаграммы для согласного (а) и встречного (б) включений. Диаграммы построены для случая L₁ > M и L₂ > M.

Следует отметить, что в случае встречного включения при таком соотношении параметров, когда L₂ < M < L₁, на одном из участков цепи, не содержащем конденсаторов, напряжение может отставать по фазе от тока (напряжение и ток на рис. 8.6). Это явление носит название емкостного эффекта. Вместе с тем напряжение на входе цепи опережает ток , т. е. величина всегда положительна, так как сумма потокосцеплений самоиндукций всегда больше суммы потокосцеплений взаимной индукции.

Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек

Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек при согласном и встречном включения показано на рис. 8.7 а и б.

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, для мгновенных значений токов и напряжений для этих цепей имеют вид

Как и прежде, верхние знаки перед напряжениями взаимной индукции относятся к случаю согласного включения, а нижние – встречного. Перепишем эти уравнения в комплексной форме

или

где

Решая полученную систему уравнений, находим

Откуда

Таким образом, входное сопротивление рассмотренной цепи имеет большую величину при согласном включении и меньшую при встречном. В отсутствие индуктивной связи выражение для входного сопротивления приобретает обычную форму

На рис. 8.8 а и б приведены топографические диаграммы для согласного и встречного включений двух индуктивно связанных катушек, соединенных параллельно.

Разветвленная цепь с индуктивными связями

Как уже отмечалось в начале главы, при расчете разветвленных цепей с индуктивными связями ряд известных методов имеет либо ограниченное применение, либо неприменимо вовсе. Метод узловых потенциалов для нахождения токов в ветвях непосредственно использован быть не может, так как искомые токи зависят не только от ЭДС источников и узловых напряжений ветвей, но и от токов в других ветвях, с которыми имеется индуктивная связь. Метод эквивалентного генератора применим лишь тогда, когда выделенная ветвь не связана индуктивно с остальной частью цепи. Поэтому при расчете разветвленных цепей с индуктивными связями обычно применяют либо метод уравнений Кирхгофа, либо метод контурных токов.

Покажем на примере использование этих методов. Запишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи, представленной на рис. 8.9.

Предполагается, что индуктивная связь имеется между первой и второй, второй и третьей катушками. Поэтому одноименные зажимы каждой из пар обозначены разными условными знаками. В катушках L₁ и L₂ положительные направления токов относительно одноименных зажимов совпадают (согласное включение). Следовательно, совпадают и направления соответствующих им напряжений самоиндукции и взаимной индукции. В катушках L₂ и L₃ наоборот положительные направления токов неодинаково ориентированы относительно одноименных зажимов (встречное включение). Поэтому направления напряжений самоиндукция и взаимной индукции не совпадают. Этим обусловлен выбор знаков перед напряжениями взаимной индукции в уравнениях второго закона Кирхгофа.

Таким образом,

Токи в ветвях находятся путем решения записанной системы уравнений.

Уравнения, записанные по второму закону Кирхгофа для контурных токов и , имеют вид:

Пример 8.1. Определить токи в цепи рис. 8.10 а при следующих параметрах: r₁ = 3 Ом, r₂ = r₃ = 5 Ом, L₁ = 3 Ом, L₂ = 2 Ом, L₃ = 8 Ом, k = 0,50; E₁ = 20 В.

Р е ш е н и е

Определим сопротивление взаимной индукции:

Запишем уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой цепи.

Направление обхода контуров выбрано по часовой стрелке

или

После подстановки числовых данных имеем

В результате решения этой системы уравнений получаем

Пример 8.2. Решить задачу примера 8.1 методом контурных токов.

Р е ш е н и е

Выберем независимые контуры и контурные токи так, как это показано на рис. 8.10б.

Тогда уравнения для контурных токов иимеют вид

Или после подстановки числовых данных

Решая полученную систему уравнений, получаем

Тогда токи в ветвях:

Таким образом, получены те же самые результаты, что и в предыдущем примере.

Эквивалентная замена (развязка) индуктивных связей

Две индуктивно связанные катушки, подключенные к одному общему узлу, могут быть заменены эквивалентным соединением без индуктивных связей. При этом возможны два случая: катушки подключаются к узлу одноименными зажимами и разноимёнными (рис. 8.11 а и б).

Рассмотрим, например, случай а, когда к узлу подключены одноименные зажимы. При этом напряжения и выражаются следующим образом:

Используя соотношениеисключим из первого выражения ток,а из второго–ток,

Напряжение

Этим трем уравнениям удовлетворяет цепь, представленная на рис. 8.11 в. Если катушки подключены к общему узлу разноимёнными зажимами, то проделав аналогичные рассуждения, можно перейти к эквивалентной схеме, представленной на рис 8 11 г.

Таким образом, полученные схемы уже не содержат индуктивных связей.

Следует отметить, что эквивалентная замена индуктивных связей может быть осуществлена не только для двух, но и для большого числа катушек, подключенных к общему узлу, а также и в случае когда катушки находятся в ветвях, к общему узлу не подключенных Однако ввиду сложности получаемых при этом эквивалентных схем их использование нецелесообразно.

Пример 8.3. Определить входное сопротивление цепи, представленной на рис. 8.12 а

при r₁ = 20 Ом, x_L1 = 10 Ом, r₂ = 20 Ом, x_L2 = 20 Ом и x_M = 10 Ом.

Р е ш е н и е

Для нахождения входного сопротивления воспользуемся эквивалентной заменой индуктивных связей. Эквивалентная схема изображена на рис 8.12 б. При этом учтено, что к общему узлу катушки подключены одноименными зажимами. Входное сопротивление такой цепи может быть рассчитано обычным образом;