Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе

Предположим, что в рассматриваемой в п. 1.1 задаче о качестве различных (т) партий изделия изготавливались на разных (l) станках и требуется выяснить, имеются ли существенные различия в качестве изделий по каждому фактору: А – партия изделий, В – станок. В результате мы приходим к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.

Все имеющиеся данные представим в виде таблицы, в которой по строкам – уровни A_i фактора А, по столбцам – уровни B_j фактора В, а в соответствующих клетках, или ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий x_ijk (i=1,2,…,m; j=1,2,…,l; k=1,2,…,n):

 

B A	B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1 A2 … Ai … Am	x111,…,x11k x211,…,x21k … xi11,…,xi1k … xm11,…,xm1k	x121,…,x12k x221,…,x22k … xi21,…,xi2k … xm21,…,xm2k	… … … … … …	x1j1,…,x1jk x2j1,…,x2jk … xij1,…,xijk … xmj1,…,xmjk	… … … … … …	x1l1,…,x1lk x2l1,…,x2lk … xil1,…,xilk … xml1,…,xmlk

 

Групповые средние находим по формулам:

в ячейке – (6)

по строке – (7)

по столбцу – (8)

Общая средняя: (9)

Таблица дисперсионного анализа имеет вид:

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Межгрупповая (фактор А)		m – 1
Внутригрупповая (фактор В)		l – 1
Взаимодействие (АВ)		(m – 1)(l – 1)
Остаточная		m·l·n – m·l
Общая		m·l·n – 1

 

Проверка нулевых гипотез Н_А, Н_В, Н_АВ об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, В и их взаимодействия АВ осуществляется сравнением отношений (для моделиI с фиксированными уровнями факторов) или отношений (для случайной моделиII) с соответствующими табличными значениями F-критерия Фишера-Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями проводится так, как в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.

Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены, так как выпадает компонента Q₃ из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат , ибо в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.

Задача 1.

В двухфакторном комплексе приводится сменная выработка рабочего в зависимости от типа станка (А) и стажа его работы (В). При α=0.01 проверить влияние факторов А и В на сменную выработку рабочего (таблица Б1):

	А1	А2		А3
Вариант 1
В1	195		198	202
В2	196		201	203
В3	198		202	204

7