Напомним, чтобы получить результат вычисления нужно ввести имя искомой переменной и нажать кнопку « = ».

Полученные оценки коэффициентов регрессии и корреляции сравните с полученными при решении примера 11 их точными значениями.

Дополнительное задание

Задание 3.2. Игральная кость бросается дважды. X – число выпавших шестёрок, Y – сумма выпавших очков. Исследовать функцию регрессии Y по X и корреляционную связь случайных величин двумя методами:

3.2.1.аналитически (аналогично решению примера 11);

3.2.2.методом Монте-Карло, генерируя случайные парные выборки объёма 2 ×10000 .

Контрольные вопросы

1.Почему коэффициент корреляции в обоих заданиях (3.1 и 3.2) оказывается положи-

тельным?

2.Что произойдёт с коэффициентом корреляции, если случайная величина X в задании 3.2 будет не числом выпавших шестёрок, а:

–числом единиц?

–числом троек?

Проверьте свои предположения численным экспериментом.

3. Используя оценки коэффициентов регрессии, предскажите сумму очков на двух костях (задание 3.2), если известно, что ровно на одной из костей выпала шестёрка.

Работа 4

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА

Число наступлений события в серии однородных независимых опытов: различные подходы. Проверка центральной предельной теоремы. Проверка теорем Лапласа.

Разыгрывание нормальной случайной величины методом Монте-Карло

Время на выполнение и защиту – 2 часа

Цель работы:

1)отработка навыков моделирования различными методами числа наступлений события в серии однородных независимых опытов;

46

2)уяснение сути нормального распределения как некоторого «универсального» закона, к которому приближаются другие распределения при выполнении условий центральной предельной теоремы;

3)обучение разыгрыванию нормальной случайной величины методом Монте-Карло;

4)изучение ряда функций Excel и Mathcad.

Непрерывные случайные величины и их характеристики

Непрерывная случайная величина отличается от дискретной тем, что её возможные значения не отделены друг от друга, а занимают некоторый интервал – конечный или бесконечный.

Это приводит к существенным различиям в описании дискретных и непрерывных величин. Однако первая характеристика, которую мы рассматриваем, применяется для обоих типов случайных величин.

Функция распределения случайной величины X есть вероятность того, что случайная величина имеет значение меньше заданного:

F(x) = P(X < x).

(4.1)

Через функцию распределения может быть найдена вероятность попадания случайной величины в данный интервал:

P(a ≤ X <b) = F(b) − F(a) .

(4.2)

Поскольку вероятность есть неотрицательная величина, из (4.2) следует, что (при b ≥ a ) F(b) ≥ F(a) , т.е. функция распределения неубывающая функция.

Если вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал равна нулю, то в этом интервале F(x) =const . Поэтому функция распределения дис-

кретной случайной величины ступенчатая функция, скачки которой приходятся на изолированные возможные значения случайной величины.

Вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю; имеет смысл говорить лишь о вероятности попадания в некоторый интервал значений. Из этого следует, что, говоря о принадлежности непрерывной случайной величины некоторому интервалу, не имеет смысла записывать нестрогие неравенства, как мы это делали в формуле (4.2). Действительно,

P(a ≤ X <b) = P(a < X ≤b) = P(a ≤ X ≤b) = P(a < X <b) .

Плотностью распределения вероятности (или просто плотностью веро-

ятности) называется функция

f (x) = lim	P(x < X < x + ∆x) .	(4.3)
∆x→0	∆x

Поскольку P(x < X < x + ∆x) = F(x + ∆x) − F(x),

47

′	(4.4)
f (x) = F (x) .

Плотность вероятности, как производная неубывающей функции, является функцией неотрицательной, причём она равна нулю в интервалах невозможных значений случайной величины, где F(x) =const .

Для малого интервала ∆x

P(x < X < x +∆x) ≈ f (x)∆x .

(4.5)

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) выражается через плотность вероятности на этом интервале:

b	b
P(a < X <b) = F(b) − F(a) = ∫F′(x)dx = ∫ f (x)dx .		(4.6)
a	a

Если интервал (a, b) охватывает все возможные значения случайной величины (то есть всю область, где f (x) ≠ 0 ), то интеграл в (4.6) равен вероятно-

сти достоверного события, т.е. единице. В любом случае верно равенство

+∞
∫ f (x)dx =1 ,	(4.7)

−∞

называемое условием нормировки плотности.

Учитывая, что P(−∞< X < x) = F(x) , получаем равенство, выражающее функцию распределения через плотность вероятности:

	x
F(x) = ∫ f (x)dx .		(4.8)
	−∞
Из последней формулы следует, что
lim	F (x) = 0, lim F (x) = 1.	(4.9)
x→−∞	x→∞
Числовые характеристики непрерывной случайной величины определя-
ются через её плотность вероятности:
	b
	M (X ) = ∫xf (x)dx ;	(4.10)
	a
	b
D(X ) = ∫[x − M (X )]2 f (x)dx ,		(4.11)

a

где (a, b) – интервал возможных значений X (он может быть и бесконечным).

48