3.Объясните тот факт, что интенсивность перехода может быть величиной как неотрицательной, так и отрицательной. На каких местах в матрице интенсивностей стоят отрицательные элементы, и почему?

4.Как по интенсивности перехода приближённо рассчитать вероятность перехода из

состояния i в состояние j за малое время ∆t ? Рассмотрите раздельно случаи i ≠ j и i = j .

5.Охарактеризуйте систему уравнений Колмогорова для марковского процесса с непрерывным временем и запишите её в матричном виде..

6.Как выглядит условие стационарности марковского процесса с непрерывным временем в матричном виде?

Работа 7

СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ПРИЗНАКА.

ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ГЕНЕРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Гистограмма частот. Свойства точечных оценок. Построение доверительного интервала

для оценки математического ожидания случайной величины

Время на выполнение и защиту – 2 часа

Цель работы:

1)изучение метода группировки статистических данных в интервальный ряд для построения гистограмм;

2)анализ свойств точечных статистических оценок;

3)изучение метода доверительных интервалов;

4)изучение ряда функций Excel и Mathcad.

Начальные понятия статистического метода

Целью статистических исследований являются научные и практические выводы об изучаемых явлениях и процессах. Однако статистический метод исследований не занимается глубоким индивидуальным изучением объектов. Его сутью является систематизация, обработка, анализ и использование так называемых статистических данных. Последние представляют собой информацию о том, сколько объектов изучаемой совокупности обладают определёнными (качественными или количественными) признаками. Сами объекты при этом «обезличиваются».

Изучение совокупности однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака начинается со сбора статистических данных. В зависимости от степени охвата объектов обследование совокупности (наблюдение) может быть сплошным или выборочным. При сплошном наблюдении производится регистрация значения признака для каждого объекта генеральной (т. е. полной) совокупности. При выборочном обследовании из ге-

91

неральной совокупности выделяется выборочная совокупность (выборка). Объ-

ёмом выборки называется число её объектов.

Выборочный метод применяется тогда, когда проведение сплошного обследования нецелесообразно (в том числе, и по причинам экономического характера) или вообще невозможно.

Свойство выборки представлять характеристики генеральной совокупности называется репрезентативностью (по-русски – представительностью). Для того чтобы выборка была репрезентативной, желательно обеспечить случайность отбора объектов. Это означает, что включение каждого объекта генеральной совокупности в выборку должно быть равновероятным.

Другим требованием является достаточно большой объём выборки – на-

столько большой, чтобы обеспечить нужную точность. Например, с целью прогнозирования результатов предстоящих выборов опрашивается примерно 2000 человек, живущих в разных городах и населённых пунктах. При таком объёме выборки статистическая погрешность составляет 2 процентных пункта. Оценивание статистической погрешности может быть выполнено методом доверительных интервалов, изучаемым в данной работе.

Статистическое распределение количественного признака. Гистограмма

Наблюдаемые значения количественного признака (синоним понятия «случайная величина») X , которые в дальнейшем обозначаются символом xi ,

называются вариантами. Последовательность вариантов, записанная в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Число появлений ni варианта xi в выборке называется выборочной час-

тотой этого варианта; ∑ni = n , где n − объём выборки.

i

Статистическим распределением выборки называется перечень вариантов и их частот (или относительных частот wi = ni / n , где ∑wi =1).

i

Как известно из теории вероятностей, случайные величины (количественные признаки) могут относиться к дискретному или непрерывному типу. Если признак дискретный, то в качестве графика распределения строится полигон частот или полигон относительных частот – ломаная линия, соединяющая точки ( xi , ni ) или ( xi , wi ) .

При большом числе вариантов или непрерывном характере признака вместо отдельных значений используются интервалы, для каждого из которых определяется частота попадания значений признака.

Графическим изображением статистического распределения в случае интервального ряда является гистограмма частот – ступенчатая фигура, каждый прямоугольник которой имеет в качестве основания частичный интервал, а в качестве высоты – соответствующую плотность частоты ni / h , где h – длина

92

интервала. Площадь отдельных столбиков численно равна соответствующим частотам, а площадь всей гистограммы равна объёму совокупности n .

Иногда строится гистограмма относительных частот. В этом случае по оси ординат откладываются значения wi / h. Площадь такой гистограммы

будет равна единице (аналогия: условие нормировки вероятности непрерывной случайной величины).

		Пример 19. Для определения средней дальности грузоперевозок прове-
		Табл. 7.1. Исходные данные							дено наблюдение за 20 грузами. В табл.
									7.1 приведена масса каждого груза (в
		к примеру 19
									тоннах) и дальность перевозки (в км).
		Масса		Дальность
		25		792					Требуется обработать и проанализиро-
		36		432					вать данные наблюдений (конкретные
		32		235					пункты исследования будут					уточнены
		27		1030					ниже). На первом этапе отобразить ста-
		44		1425
									тистическое		распределение грузов по
		21		727
									дальности с помощь таблицы и графика.
		38		159
		22		980						Сгруппируем грузы по дальности
		12		407					(без учёта масс перевезённых грузов),
		23		225					введя	интервалы		0-200,	200-400, 400-
		45		527				600, 600-800, 800-1000, 1000-1200, 1200-
		48		1299
									1400, 1400-1600 км.
		57		290
									Составим статистический ряд рас-
		10		64
		13		1216					пределения непрерывного количествен-
		15		895					ного признака в виде табл. 7.2, опреде-
		43		774					лив частоту попадания в каждый интер-
		23		545					вал.
		30		755
		40		958
		Табл. 7.2. Статистический ряд распределения
		непрерывного количественного признака (пример 19)
		Интервал, i			1		2		3	4	5	6	7		8
		Начало интервала,
		xi−1			0		200		400	600	800	1000	1200		1400
	2
		Конец интервала,
		xi+1			200		400		600	800	1000	1200	1400		1600
	2
		Середина интервала,
		xi			100		300		500	700	900	1100	1300		1500
		Частота, ni			2		3		4	4	3	1	2		1
		Для построения гистограммы частот необходимо для каждого интервала
рассчитать значение величины ni							/ h ( h = 200– длина интервала). Результат изо-
бражён на рис. 7.1.

93

частоты	0,025
	0,02
	0,015
плотность
	0,01
	0,005
	0
	100	300	500	700	900 1100 1300 1500
		дальность перевозок, км

Рис. 7.1. Гистограмма, построенная поданным примера 19

Выборочная средняя

Если данные не сгруппированы и частоты вариантов не определены, то выборочная средняя определяется по формуле

			1	n
	x =			∑xi .	(7.1)
			n i=1
В том случае, когда определены частоты ni					всех значений количественно-

го признака, они выступают в качестве весов:

			1	k
		=		∑ni xi ,	(7.2)
	x
			n i=1

где k – число различных вариантов в выборке.

Пример 19 (продолжение). Средняя выборочная дальность перевозок может быть вычислена разными способами. Сначала не будем учитывать массы грузов. Выборочная средняя, рассчитанная по несгруппированным данным

(табл. 7.1) по формуле (7.1), равна x = 686.75. Расчёт по сгруппированным данным (табл. 7.2) с использованием в формуле (7.2) в качестве вариантов xi

середин интервалов даёт значение			x		= 690.
Если же учёт масс грузов (mi )						необходим, то для определения средней
дальности перевозок следует применить формулу
					n
				∑xi mi
		=		i=1			,	(7.3)
	x
					n
					∑mi

i=1

94

где массы являются аналогом частот (сравните с (7.2)). Числитель (7.3) представляет собой грузооборот (тонно-километры), знаменатель – объём перевозок

n	n
(тонны). В нашем случае ∑xi mi = 425567 ,	∑mi = 604 , x = 704.58.
i=1	i=1

Понятие оценки. Несмещённость и состоятельность оценок

Как уже говорилось в описании работы 3, выборочная средняя – среднее значение случайной величины, вычисленное по всем наблюдавшимся значениям – служит статистической оценкой математического ожидания. Уточним это понятие. Определённая числовая характеристика, полученная по выборочным данным, называется статистикой или оценкой. Если оценка даётся одним числом, то она называется точечной.

Математическое ожидание случайной величины X можно записать как

M (X ) = 1 ∑k Ni xi , N i=1

где Ni – генеральные частоты, а N = ∑Ni – объём генеральной совокупности.

Выражение, стоящее в правой части равенства, есть не что иное, как генеральная средняя, т. е. средняя, определённая по всей генеральной совокупности. Таким образом, математическое ожидание признака равно генеральной средней этого признака (неслучайная величина, константа). Напротив, выборочная средняя есть случайная величина

X= 1 ∑n X i ,

n i=1

где каждое слагаемое X i (значение количественного признака в i-м наблюдении) имеет то же распределение, что и X. Можно показать, что

M (X ) = M (X ) ,

т.е. математическое ожидание выборочной средней равно генеральной средней. Практический смысл этого положения: мы имеем возможность оценивать генеральную среднюю по выборке значений признака, причём эта оценка не содержит так называемой систематической ошибки. Иначе говоря, отклонение выборочной средней от генеральной средней есть случайная величина с нулевым математическим ожиданием. (Необходимо подчеркнуть, что всё сказанное относится только к такой выборочной средней, которая рассчитывается по ре-

презентативной выборке).

Величина Θ* называется несмещённой оценкой величины Θ, если M (Θ* ) = Θ (математическое ожидание оценки равно оцениваемой величине). Напротив, если M (Θ* ) ≠ Θ, то Θ* называется смещённой оценкой величины Θ.

95

Таким образом, выборочная средняя – несмещённая оценка генеральной средней.

Согласно теореме Бернулли (см. описание работы 1), выборочные относительные частоты отдельных значений признака ( wi = ni / n ) сходятся по веро-

ятности к генеральным относительным частотам при n →∞:

ni	→ P(X = x		) =	Ni	, n → ∞.
n	p	i		N

Значит, и выборочная средняя с ростом объёма выборки сходится по вероятности к генеральной средней:

X →M (X ), n → ∞.

p

Оценка, сходящаяся по вероятности к истинному значению оцениваемой величины при n →∞, называется состоятельной:

Θ* →Θ, n →∞.

p

Итак, выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней.

Характеристики вариации количественного признака: дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Пусть известно статистическое распределение некоторого количествен-

ного признака. Выборочной дисперсией D и выборочным среднеквадратиче-

ским отклонением σ количественного признака X называются величины, определяемые формулами:

k	k
∑(xi − x)2 ni	∑xi2ni			2	= x2 − x2 ;
D = i=1	= i=1	n	− x
n					(7.4)
σ	=	D.

Здесь, как и прежде, k − это либо число различных вариантов в выборке, либо число интервалов (для интервального ряда). Если данные вообще не сгруппированы, то все ni ≡1, а суммирование проводится от 1 до n.

Об этих величинах уже шла речь в работе 3 (см. формулу (3.7)).

Можно показать, что выборочная дисперсия является смещённой (в сред-

нем заниженной) оценкой генеральной дисперсии D(X ):
M (D) =	n −1	D(X ) .	(7.5)
	n

96

Исправленной выборочной дисперсией называется величина

	s 2 =	n		D ,	(7.6)
		n −1
	являющаяся несмещённой оценкой генеральной дисперсии. Величина s =				s 2

называется исправленным среднеквадратическим отклонением.

Считается, что при достаточно больших n (больше чем 30) отношение выборочного и исправленного среднеквадратических отклонений близко к 1, и различием между ними пренебрегают.

Пример 19 (продолжение). Если рассчитать выборочную дисперсию (7.4) по несгруппированным данным (приняв все ni ≡1) без учёта масс грузов, то

получим следующее значение: D =148775. (Без использования компьютера этот расчёт окажется весьма трудоёмким!) Исправленная дисперсия

s 2 = 1920 D =156606 , исправленное среднеквадратическое отклонение s = 395.7 .

Понятие интервальной оценки.

Точность и надёжность оценки, доверительный интервал

Если точечная оценка – это оценка одним числом, то интервальная оцен-

ка указывает два числа – начало и конец интервала, который (с определённой вероятностью) заключает в себе оцениваемую величину.

Пусть Θ* – найденная по выборке точечная оценка неизвестного параметра Θ, с вероятностью γ удовлетворяющая условию Θ − Θ* < δ , то есть

P(Θ − Θ* <δ )=γ .

Тогда:

−полуширина δ симметричного относительно Θ* интервала называется

точностью оценки;

−вероятность γ называется доверительной вероятностью или надёж-

ностью оценки;

− интервал (Θ* −δ, Θ* +δ) , который заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Θ с вероятностью γ , называют доверительным интервалом.

Интервальная оценка генеральной средней (математического ожидания) нормального распределения при известном генеральном среднеквадратическом отклонении

Пусть количественный признак X распределён в генеральной совокупности нормально с известным генеральным среднеквадратическим отклонением σ . По выборке объёма n определена выборочная средняя x . Тогда доверительный интервал для оценки генеральной средней a с надёжностью γ имеет вид

97

x − tσ	< a < x + tσ	,	(7.7)
n	n

где t определяется выбранной надёжностью оценки. Таким образом, центр доверительного интервала находится в точке x , а полуширина доверительного

интервала составляет δ = tσn .

Величина t определяется равенством γ 2 =Φ(t) , где Φ(t) – функция Ла-

пласа (4.14), таблица значений которой помещена в приложении 2. В частности, для задаваемых обычно значений надёжности имеем:

γ	0.95	0.99	0.999
t	1.96	2.57	3.3

При заданной надёжности с увеличением объёма выборки уменьшается величина δ , т.е. улучшается точность интервальной оценки. При постоянном объёме выборки с ростом требуемой надёжности растёт коэффициент t и, следовательно, ухудшается точность интервальной оценки. Невозможно одновременно повышать надёжность и улучшать точность интервальной оценки, если не увеличивать объём выборки.

Пример 19 (продолжение). В данном случае генеральное среднеквадратическое отклонение σ нам неизвестно. Построение доверительного интервала для оценки генеральной средней при неизвестном σ описано в следующем пункте. Однако для выборок достаточного объёма ( n > 30) обычно принимают неизвестное σ равным выборочному среднеквадратическому отклонению или, что почти то же самое, исправленному среднеквадратическому отклонению s . В нашем случае, правда, n = 20 , но мы используем допущение σ = s в качестве грубого приближения.

Зададим надежность γ = 0,99 и по приложению 2 найдём t = 2,57 . Если теперь грубо принять σ = s , то получим полуширину доверительного интервала δ = 227,9 . Воспользовавшись средним значением x , найденным для несгруппированных данных без учёта масс грузов, получим доверительный интервал для средней дальности перевозок

686,8 −227,9 < a < 686,8 +227,9 458,9 < a <914,7 .

Интервальная оценка генеральной средней нормального распределения при неизвестном генеральном среднеквадратическом отклонении (малая выборка)

В этом случае строим доверительный интервал в виде

x − t(γ, n)s	< a < x + t(γ, n)s	,	(7.8)
n	n

98

где s – исправленное среднеквадратическое отклонение. Величину t(γ, n) называют коэффициентом Стьюдента. Таблица значений t(γ, n) помещена в приложении 3.

Коэффициент Стьюдента t(γ,n) отличается от величины t , определённой из уравнения γ 2 =Φ(t) , тем сильнее, чем меньше объём выборки n . Так, для надёжности γ = 0,95 по таблице значений функции Лапласа можно получить t =1,96 . Коэффициент же Стьюдента для этой надёжности составляет 2,45 при n = 7 и 1,98 при n =100 .

Пример 19 (окончание). Использованное в предыдущем пункте приближение (σ = s ) годится только для больших выборок ( n > 30). В нашем случае

правильнее считать генеральное среднеквадратическое отклонение неизвестным и строить доверительный интервал с помощью коэффициента Стьюдента. Для надёжности γ = 0,99 , согласно приложению 3, t(0,99; 20) = 2,86. Тогда

δ = 253,1. Доверительный интервал для средней дальности перевозок

686,8 −253,1< a <686,8 +253,1 433,7 < a <939,9

оказался шире, чем в предыдущем пункте, т.к. значение генерального среднеквадратического отклонения оценивалось по выборке объёма 20, а не полагалось известным.

Задание для лабораторной работы

Задание 7.1. Воспроизвести на компьютере все этапы анализа примера 19, а именно:

7.1.1.Найти минимальное и максимальное значения дальности в выборке. Построить гистограмму частот для дальности перевозок (без учёта масс перевезённых грузов), введя интервалы 0–200, 200–400, 400–600, 600– 800, 800–1000, 1000– 1200, 1200–1400, 1400–1600.

7.1.2.Найти точечную оценку средней дальности перевозок: а) с учётом масс грузов (по несгруппированным данным);

б) без учёта масс грузов (по несгруппированным и сгруппированным данным).

7.1.3.Найти точечную несмещённую оценку дисперсии дальности перевозок в генеральной совокупности и исправленное отклонение без учёта масс грузов (по несгруппированным данным).

7.1.4.Считая генеральное среднеквадратическое отклонение известным (приняв его равным исправленному среднеквадратическому отклонению), а распределение – нормальным, построить доверительный интервал для средней дальности перевозок с надёжностью 0,99.

7.1.5.Считая генеральное среднеквадратическое отклонение неизвестным, построить доверительный интервал для средней дальности перевозок с надёжностью 0,99.

99

Инструкция по выполнению задания в Excel

Введём в ячейку A1 заголовок: Статистическое изучение дальности гру-

зоперевозок. Запишем в ячейку A3 заголовок Масса, а в ячейки А4:А23 – массы грузов. Поместим в ячейке B3 заголовок Дальн., а в ячейках В4:В23 – значения дальности каждой перевозки. В ячейке A24 введём Надёжн., а в ячейке B24 – заданное значение надёжности интервальной оценки (0,99).

7.1.1. Найдём минимальное и максимальное значения дальности в выборке. Конечно, когда данных немного, это можно сделать и «вручную». Однако, как правило, статистические ряды довольно велики, и имеет смысл воспользоваться функциями рабочего листа. Введём в ячейку D4 текст Минимальная дальность, а в ячейку D5 – Максимальная дальность. Активизируем ячейку H4

и помещаем в неё функцию МИН (Статистические). В качестве аргумента введём диапазон B4:B23. Результатом в ячейке H4 будет число 64.

Теперь поместите в ячейку H5 максимальное значение из того же списка. Единственное отличие в ваших действиях будет заключаться в том, что вместо функции МИН вы должны использовать функцию МАКС. Результатом будет число 1425.

Приступим к нахождению частотного распределения дальности перевозок. Введём в ячейках D7, E7 и F7 тексты Нач., Сер., Кон. соответственно, что будет обозначать начала, середины и концы интервалов. Теперь, согласно условию, в диапазоне D8:D15 должны быть введены числа 0, 200, 400, …, 1400, в

диапазоне E8:E15 – числа 100, 300, 500, …, 1500, в диапазоне F8:F15 – числа 200, 400, 600, …, 1600.

Следующий столбец таблицы будет заполнен эмпирическими частотами, для нахождения которых мы воспользуемся одной из функций рабочего листа.

В ячейке G7 введём текст Частота. Выделим ячейки G8:G15. Щёлкнем на кнопке Вставка функций. В открывшемся диалоговом окне выберем: Статистические, ЧАСТОТА. Мы выбрали функцию, которая, «возвращает распределение частот в виде вертикального массива». Эта функция, в отличие от МИН и МАКС, обязательно должна иметь два аргумента: массив данных и двоичный массив. В первое окно ввода вводим все наблюдавшиеся значения дальности (диапазон B4:B23). Во второе окно ввода – ячейки F8:F15, в которых находятся концы интервалов. В правой части окна появился результат: {2,3,4,4,3,1,2,1,0}. Это и есть искомые частоты. Для того чтобы поместить их в таблицу, щёлкнем на кнопке ОК. В ячейке G8 появилось значение 2, но остальные ячейки столбца остались незаполненными. Дело в том, что результатом обращения к функции ЧАСТОТА является не просто одно число, как это было с функциями МИН или МАКС, а массив (С функциями массива МОБР и МУМНОЖ мы уже встречались в работе 5). Это требует от нас следующих дополнительных действий. Нажмём клавишу [F2], переходя в режим Правка. Теперь нажмём на комбинацию клавиш [CTRL]+[SHIFT] и, не отпуская, на клавишу [ENTER]. Все ячейки G8:G15 должны заполниться числами.

100

Приступим к построению гистограммы частот. тервале необходимо определить плотность частоты ni

Для этого в каждом ин- / h , где h – длина интер-

вала (200). В ячейке H7 введём текст Плотн. Помещаем в ячейку H8 формулу для вычисления плотности частоты внутри 1-го интервала = G8/200. Ячейки H9:H15 заполним с помощью автозаполнения.

В EXCEL существует широкий круг средств графического представления числовых данных. В частности, гистограмма является типом диаграммы, часто используемым в статистике. Выделим в рабочем листе диапазон ячеек, данные из которого должны быть представлены в гистограмме. Удалим название Сер. из ячейки E7 (чтобы программа воспринимала этот столбец как ряд значений аргумента, а не функции). Выделим несмежные диапазоны ячеек: E7:E15 и H7:H15. Для этого придётся после выделения первого диапазона нажать и удерживать кнопку CTRL.

Активизируем кнопку Мастер диаграмм на панели инструментов. На экране появится первое диалоговое окно Мастера диаграмм, в котором можно выбрать тип диаграммы. Мы выберем Гистограмму (обычную) и нажмём кнопку Далее.

Для обработки гистограммы с помощью специальных средств следует активизировать её с помощью двойного щелчка мышью. Форматирование диаграммы может включать в себя вставку или изменение легенды, задание цвета и узора, помещение текста на осях, форматирование осей и т. п. Допустим, что нас не устраивают какие-то элементы графика, например зазор между отдельными столбиками гистограммы. Установив курсор на любом из столбиков, с помощью щелчка правой кнопкой можно открыть контекстное меню и выбрать в нём Формат данных. В диалоговом окне активизируем кнопку Параметры, установим ширину зазора, равную нулю, и щёлкнем на кнопке ОК. Желаемое изменение в график внесено.

Соответствующая гистограмма уже приведена нами на рис. 7.1.

7.1.2.Перейдём к статистическим оценкам. Средняя дальность перевозок

сучётом масс грузов представляет собой частное от деления грузооборота на объём перевозок (7.3). Введем в ячейке D17 текст Грузооборот, а в ячейке H17

–функцию СУММПРОИЗВ (она находится в списке Математические). В качестве аргументов этой функции зададим два массива: масс грузов и дальностей. Результат: 425567 (тонно-километров). В ячейке D18 введем текст Объём перевозок, а в ячейке H18 – функцию СУММ (она находится в том же списке). Результат: 604 (тонны). В ячейке D19 введем текст Ср. дальность (с учётом масс), а в ячейке H19 – формулу, определяющую эту величину (с адресами числителя и знаменателя). Результат: 704.58 (км).

В ячейке D20 введем текст Ср. дальность (без учёта масс), а в ячейке H20 – функцию СРЗНАЧ (она находится в списке Статистические). Её аргументом будет массив дальностей. Результат: 686.75. Более грубый вариант оценки основан на интервальном ряде. В ячейке D21 введем текст Ср. дальность (по сгрупп. данным), а в ячейке H20 – уже знакомую нам функцию СУММПРОИЗВ. В данном случае её аргументами будут следующие два масси-

101

ва: середины интервалов и частόты. Теперь скорректируем формулу в ячейке D21, добавив деление на объём выборки (на 20). Результат: 690 (км).

7.1.3.В ячейке D22 введем текст Исправленная дисперсия, а в ячейке H22

–функцию ДИСП с массивом дальностей в качестве аргумента. Результат: 156606 (км2). Исправленное среднекв. откл. (этот текст введём в ячейке D23) вычисляется как квадратный корень из исправленной дисперсии, но в EXCEL для этой цели существует специальная функция СТАНДОТКЛОН (введите её в ячейке H23). Результат: 395.73 (км). Заметьте, что в работе 3 для вычисления выборочного среднеквадратического отклонения мы использовали другую функцию (СТАНДОТКЛОНП).

7.1.4.Построение интервальной оценки генеральной средней (математического ожидания) можно выполнить с помощью функции ДОВЕРИТ, которая даёт значение полуширины доверительного интервала по считающемуся известным генеральному среднеквадратическому отклонению. Функция

ДОВЕРИТ имеет 3 аргумента: уровень значимости «альфа» (α =1−γ , где γ –

заданное значение надёжности), «стандартное отклонение» (исправленное среднеквадратическое отклонение) и «размер» (объём выборки). В нашем случае α = 0,01, объём выборки составляет 20. Введите текст Полуширина доверит. интерв. в ячейке D24 и функцию =ДОВЕРИТ(1-B24;H23;20) в ячейке H24. Результат: 227.93 (км).

В ячейках D25 и D26 введите текст Нижн. граница доверит. интерв. и

Верхн. граница доверит. интерв. соответственно. Для определения этих границ в ячейке H25 должна быть введена формула =H20-H24, а в ячейке H26 формула =H20+H24. Отметим, что эти формулы можно задать и с помощью функций. Например, мы могли бы использовать для нижней границы доверительного интервала формулу =СРЗНАЧ(...) - ДОВЕРИТ(...), где в скобках должны присутствовать аргументы функций.

7.1.5. Другой вариант построения доверительного интервала для генеральной средней применяется, когда генеральное среднеквадратическое отклонение неизвестно. В этом случае необходимо воспользоваться таблицей коэффициентов Стьюдента (приложение 3), или воспользоваться функцией СТЬЮДРАСПОБР, задавая в качестве «вероятности» величину α =1−γ , в ка-

честве «степеней свободы» – объём выборки, уменьшенный на единицу. Введите значение коэффициента в рабочий лист и завершите выполнение задания самостоятельно. (Для вычисления квадратного корня из объёма выборки воспользуйтесь функцией КОРЕНЬ из списка Математические.)

102

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Статистическое изучение дальности грузоперевозок
2
3	Масса	Дальн.
4	25	792		Минимальная дальность				64
5	36	432		Максимальная дальность				1425
6	32	235
7	27	1030		Нач.		Кон.	Частоты	Плотн.
8	44	1425		0	100	200	2	0.01
9	21	727		200	300	400	3	0.015
10	38	159		400	500	600	4	0.02
11	22	980		600	700	800	4	0.02
12	12	407		800	900	1000	3	0.015
13	23	225		1000	1100	1200	1	0.005
14	45	527		1200	1300	1400	2	0.01
15	48	1299		1400	1500	1600	1	0.005
16	57	290
17	10	64		Грузооборот				425567
18	13	1216		Объём перевозок				604
19	15	895		Ср.дальность (с учётом масс			)	704.58
20	43	774		Ср.дальность (без учёта масс)				686.75
21	23	545		Ср.дальность по сгрупп. данным				690
22	30	755		Исправленная дисперсия				156606
23	40	958		Исправленное среднекв. откл.				395.734
24	Надёжн.	0.99		Полуширина доверит. интерв. (1)				227,93
25				Нижн. граница доверит. интерв. (1)				458.82
26				Верхн. граница доверит. интерв. (1)				914.68
27				Коэффициент Стьюдента				2.86
28				Полуширина доверит. интерв			. (2)	253.078
29				Нижн. граница доверит. интерв. (2)				433.672
30				Верхн. граница доверит. интерв. (2)				939.828

Инструкция по выполнению задания в Mathcad

Присвоим переменной ORIGIN значение, равное 1.

Введём следующие обозначения для вводимых исходных данных и вычисляемых величин:

M – вектор масс грузов;

L – вектор значений дальности каждой перевозки;

γ – заданное значение надёжности интервальной оценки (0,99); Мin – минимальное значение дальности в выборке;

Мax – максимальное значение дальности в выборке; b – вектор, обозначающий границы интервалов;

n – вектор, элементами которого являются частоты, с которыми значения данных попадают в заданные интервалы;

den – вектор плотности частоты;

103

Lam – средняя дальность перевозок с учётом масс грузов; La – средняя дальность перевозок без учёта масс грузов;

Введем исходные данные массы грузов и дальности каждой перевозки, присвоив переменным М и L значения элементов матриц размером 20×1. Переменной nad присвоим значение 0.99 (используя точку, а не запятую).

7.1.1. Найдём минимальное и максимальное значения дальности в выборке. Конечно, когда данных немного, это можно сделать и «вручную». Однако, как правило, статистические ряды довольно велики, и имеет смысл восполь-

зоваться функциями Mathcad max(A, B, C, ...) и min(A, B, C, ...) категории

Vector and Matrix (Векторы и матрицы), которые возвращают наибольшее и наименьшее из значений A, B, C, … соответственно. В нашем случае в качестве аргументов нужно задать L, а остальные пустые местозаполнители удалить. В результате получим: Min = 64, Max =1425.

Приступим к нахождению частотного распределения дальности перевозок. Введём векторы med, размером 8×1, b – размером 9×1. Согласно условию, в вектор med (середины интервалов) должны быть введены числа 100, 300, 500, …, 1500, в вектор b (границы интервалов) – числа 0, 200, 400, 600, …, 1600.

Для нахождения эмпирических частот используем функцию hist (intvls, data) категории Statistics (Статистика). Эта функция возвращает вектор, элементами которого являются частоты, с которыми значения вектора data попадают в интервалы, заданные параметром intvls. Параметр intvls может быть либо числом интервалов одинаковой длины, либо вектором границ интервалов (см. выше). Обратившись к функции hist (b, L), получим вектор частот n = (2, 3, 4, 4, 3, 1, 2, 1)

Приступим к построению гистограммы частот. Для этого в каждом интервале необходимо определить плотность частоты ni / h , где h – длина интер-

вала (200). Используем для этого вектор den. С помощью дискретных переменных присвоим каждому элементу вектора den соответствующее значение вектора n, деленное на 200.

i :=1. .8	den	:=	ni
	i	200

Для того чтобы создать график в виде гистограммы нужно сначала по-

строить двумерный график. Для этого щелкните по кнопке панели инструментов Графики. В появившемся шаблоне задайте переменные оси абсцисс (вектор med) и оси ординат (вектор den), а также пределы по этим осям от 0 до 1600 и от 0 до 0.025 соответственно.

Затем войдите в диалоговое окно Formatting Currently Selected Graph

(Форматирование) выбранного графика (например, двойным щелчком мыши) и перейдите на вкладку Traces (Графики).

104

Установите

для серии

данных

гистограммы в поле Туре (Тип) эле-

0.02

мент списка solidbar (гистограмма) и

частоты

нажмите кнопку ОК. Затем перейдите

на вкладку «Подписи» и введите со-

Плотность

den

ответствующие подписи

по

осям.

0.01

Полученная

гистограмма

подобна

приведенной на рис. 7.2.

7.1.2. Перейдём к статистиче-

0

ским оценкам. Средняя дальность пе-

ревозок с учётом масс грузов пред-

0

500 1000 1500

med

ставляет собой частное от деления

Дальность перевозок, км

грузооборота

на

объём

перевозок

Рис. 7.2. Гистограмма частот

(7.3). Числитель этой формулы мож-

но вычислить как скалярное произве-

дение векторов М и L, знаменатель – как сумму элементов вектора М. Для ввода этой формулы после ввода имени переменной Lam и знака присваивания нажмите клавишу « / » (деление), появится шаблон дроби. В числителе щелкните

по кнопке (скалярное произведение) панели Матрицы и в появившемся шаблоне вставьте имена векторов М и L. В знаменателе щелкните по кнопке

(сумма компонент вектора) и в появившемся шаблоне вставьте имя вектора М . Результат: 704.581(км).

Определим среднюю дальность перевозок без учёта масс. Для этого используем функцию mean(A, B, C, ...) категории Statistics (Статистика). Присвоив переменной La значение mean(L), получим результат: 686.75.

Более грубый вариант оценки основан на интервальном ряде. Определим среднюю дальность перевозок по сгруппированным данным с помощью формулы (7.2), используя в качестве вариантов количественного признака середины интервалов. Действуем подобно тому, как выше рассчитывали среднюю дальность с учётом масс грузов, только теперь в числителе дроби будет находиться скалярное произведение векторов med и n, а в знаменателе будет стоять объём выборки (20). Результат: 690 (км).

7.1.3.Найдем исправленную дисперсию, присвоив переменной S2 значе-

ние функции Var(A, B, C, ...) категории Statistics (Статистика) с массивом дальностей в качестве аргумента. Результат: 156606 (км2). Исправленное среднеквадратическое отклонение s можно вычислить как квадратный корень из исправленной дисперсии, или с помощью встроенной функции Stdev(A, B, C, ...) категории Statistics (Статистика) с тем же массивом дальностей в качестве аргумента. Результат в обоих случаях получим 395.73 (км).

7.1.4.Построение интервальной оценки генеральной средней (математического ожидания) можно выполнить с помощью формулы (7.7)

105

x − tσn < a < x + tσn ,

считая генеральное среднеквадратическое отклонение известным. Величину t можно вычислить с помощью функции qnorm(p, mu, sigma) категории Probability Distribution (Распределение вероятностей), считая случайную величину нормированной (со средним mu =0 и среднеквадратическим отклонением sigma

=1). При этом р нужно взять равным p =1 − α2 . В нашем случае α = 0,01, значит

p = 0,995. Получим коэффициент t=2,576. Нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала найдите самостоятельно, используя формулу (7.7). Для

вычисления квадратного корня из объёма выборки воспользуйтесь кнопкой панели Калькулятор. В результате должны получить полуширину доверительного интервала int = 227.93 и доверительный интервал для средней дальности перевозок

686.75 −227.93 < a < 686.75 + 227.93 458.82 < a < 914.68.

7.1.5. Другой вариант построения доверительного интервала для генеральной средней применяется, когда генеральное среднеквадратическое отклонение неизвестно. В этом случае необходимо воспользоваться таблицей коэффициентов Стьюдента (приложение 3), или воспользоваться функцией qt(p, d) категории Probability Distribution (Распределение вероятностей), которая возвращает обратное кумулятивное распределение Стьюдента со степенями свободы d. При этом р задается так же как в предыдущем случае, в качестве «степеней свободы» возьмем объём выборки, уменьшенный на единицу. Получим коэффициент ts=2,861. Завершите выполнение задания самостоятельно, используя формулу (7.8). Для вычисления квадратного корня из объёма выборки воспользуйтесь

кнопкой панели Калькулятор.

Дополнительное задание

Задание 7.2. Проведите следующий опыт. Генерируйте выборку объёма n =5 случайных чисел, равномерно распределённых в интервале ( 0, 1).

Вычислите выборочную дисперсию D и исправленную дисперсию s2 непосредственно по формулам (7.4) и (7.6) или с помощью предназначенных для этого функций и сравните эти оценки с генеральной дисперсией равномерного распределения, которая в данном случае равна

D(x) =121 .

106