Работа 9

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Выборочный коэффициент линейной корреляции. Применение метода наименьших квадратов

в регрессионном анализе данных

Время на выполнение и защиту – 2 час

Цель работы:

1)получение навыков парного корреляционного и регрессионного анализа;

2)изучение метода статистических гипотез на примере гипотезы о значимости коэффициента корреляции;

3)изучение ряда функций Excel и Mathcad.

Статистическая корреляция.

Выборочный коэффициент линейной корреляции

Корреляционной связью количественных признаков называется статистическая зависимость, не имеющая строгого функционального характера. В работе 3 рассматривалась корреляция случайных величин, подчиняющихся определённым законам распределения и образующих систему. В такой постановке расчёт характеристик корреляционной связи представляет собой задачу теории вероятностей. Иначе обстоит дело, если законы распределения составляющих системы нам неизвестны, но доступны данные наблюдений или экспериментов. В этом случае говорят о корреляционном анализе, который является одним из важнейших инструментов математической статистики.

Достаточно часто (хотя и не всегда) можно делать априорные предположения о наличии корреля-

Y		ции. Например, ясно,			что
		рыночная цена		квартиры
		сильно зависит от полезной
		площади, однако эта зави-
		симость	не	выражается
		функционально.
		Для визуального ана-
		лиза корреляционной связи
	X	служит	диаграмма рассеи-
		вания. Например, вид гра-
Рис. 9.1. Диаграмма рассеивания		фика,	изображённого		на
		рис. 9.1, даёт основания
		предположить,		что между

двумя признаками существует отрицательная линейная корреляционная связь:

115

величина Y в среднем приблизительно линейно убывает с ростом X. Степень близости точек на диаграмме рассеивания к некоторой функциональной зависимости (например, к прямой линии) принято называть теснотой корреляции. Измерителем тесноты линейной корреляции служит уже знакомый нам по рабо-

те 3 выборочный (эмпирический) коэффициент корреляции

r

=

xy

−

x

y

σ

σ

xy

x

y

где

1

n

1

n

x =

=

∑xi , y

∑yi ,

n i =1

n i =1

,

xy = 1 ∑n xi yi , n i =1

		1	n					1	n
σx2	=		∑xi2 −(	x	)2 ,	σy2	=		∑yi2 −(	y	)2.
		n i =1						n i =1

(9.1)

(9.2)

Приведённые формулы (9.2) для выборочных средних и дисперсий относятся к случаю несгруппированных данных. Группировка данных с определением частотного распределения количественного признака, часто применяемая для идентификации типа распределения (работа 8), в корреляционном и регрессионном анализе используется редко, так как при современных вычислительных средствах в ней нет необходимости.

Коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от –1 до 1. Если количественные признаки тесно коррелируют (т. е. близки к линейной функциональной зависимости), то rxy ≈ ±1. В статистической практике принято

считать корреляционную связь заметной при rxy > 0,5 и достаточно тесной

при rxy > 0,8 .

Пример 21. В таблице приводятся выборочные данные о площади (Х, кв. м) и цене (Y, условные единицы) 10 квартир.

					xi	58		74	36	44	70	52	57	65	37	45
					yi	20		21	12	15	22	18	17	23	14	16
Найдём выборочный коэффициент корреляции rxy . Расчёты дают:
		= 53,8,		=17,8,				= 998,4,		σx =12,6475,			σy = 3,4583,			rxy = 0,932 .
	x		y				xy

Имеется тесная корреляционная связь между площадью квартиры и её ценой.

Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции

Результаты рассмотрения примера 21 достаточно очевидны. Однако при значениях rxy ≈ 0,5 (и меньше) мы не могли бы с уверенностью утверждать, что

116

признаки корреляционно связаны. Из rxy ≠ 0 ещё нельзя заключить, что не равен нулю и генеральный коэффициент корреляции r(X ,Y) . Необходимо проверить гипотезу о том, что отклонение rxy от нуля незначимо и случайно:

H 0 : r(X ,Y ) = 0, H1 : r(X ,Y ) ≠ 0 .

В качестве критерия используется случайная величина

n − 2	,	(9.3)
Tr = rxy 1 − r 2
xy

подчиняющаяся распределению Стьюдента. Строится двусторонняя критическая область. Правая критическая точка t2.cr (α, k) , где k = n – 2, может быть

найдена в таблице (приложение 5). На заданном уровне значимости α при
	Tr		< t2.cr (α, k) нет оснований отклонить нулевую гипотезу; в противном случае
H0			отвергается.

Пример 22. По выборке объёма n = 10 парных значений двух признаков

найден выборочный коэффициент						корреляции rxy = 0,4.			Проверим	гипотезу
H0 : r(X ,Y ) = 0 при уровне значимости α = 0,05.
Найдём наблюдаемое значение критерия (9.3):
	T = 0,4					8		=1,23.
	r					1−0,16
По таблице	критических				точек		распределения		Стьюдента	находим
t2.cr (0,05; 8) = 2,31.	Поскольку		Tr		< t2.cr , нет оснований отклонить нулевую ги-

потезу. Выборочный коэффициент корреляции незначим. Между признаками нет линейной корреляции.

Регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов

Цель регрессионного метода – отыскание параметров функциональной зависимости, наиболее точно описывающей поведение среднего значения количественного признака Y при изменении значения другого количественного признака X (или нескольких признаков).

Пусть изучается взаимозависимость двух количественных признаков (X,Y). В результате n опытов или наблюдений получены пары чисел: ( xi , yi ),

где i =1, n . Теоретическая функция регрессии Y по X (работа 4) нам, как прави-

ло, неизвестна. Однако на основе предварительного анализа этих данных и с учётом самой природы признаков мы можем сделать предположение о некото-

рой линии связи y x = f (x, β) , где под y x подразумевается среднее значение признака Y, соответствующее значению X = x, а под β – совокупность варьи-

117

руемых параметров. Например, если визуально убедиться в том, что эмпирическая картина рассеивания свидетельствует о линейной форме корреляции, то в качестве линии связи можно выбрать прямую

	x = ax + b .	(9.4)
y

Оптимальные значения коэффициентов a и b должны быть каким-то способом подобраны. В методе наименьших квадратов критерием оптимизации служит условие

n
S(a,b) = ∑( yi − axi − b)2 → min .	(9.5)

i=1

Найденные из этого условия значения коэффициентов a и b обеспечивают минимальные отличия значений функции y x (xi ) = axi + b от наблюдаемых орди-

нат yi:

−

x

2

−

a* =

xy

x

y

, b* =

y

x

xy

.

(9.6)

x 2

− (

)2

x 2

− (

)2

x

x

Однако если оценка a* найдена, то для нахождения b* удобнее пользоваться формулой b* = y − a* x .

Выборочное уравнение линейной регрессии и его связь с коэффициентом корреляции

Уравнение вида (9.4), в котором значения коэффициентов a = a* и b =b* вычислены по статистическим данным методом наименьших квадратов (9.6),

называется выборочным уравнением линейной регрессии Y по X. Угловой коэффициент a* называется выборочным коэффициентом регрессии.

Сравнивая формулы для выборочных коэффициентов корреляции rxy и

регрессии a* , нетрудно убедиться, что

−

σ y

a

* =

xy

x

y

=

r

.

(9.7)

σ x2

σ x

xy

Уравнение регрессии (9.4) можно представить в виде

−

=

σ y

r (x −

) .

y

x

y

x

σ

x

xy

Таким образом, линия регрессии проходит через точку ( x, y ) с угловым

коэффициентом (коэффициентом регрессии), прямо пропорциональным коэффициенту корреляции.

118

Пример 23 (продолжение примера 21). Пусть требуется дополнительно: записать уравнение линейной регрессии Y по X; предсказать цену квартиры площадью 50 кв. м.

Используя полученные ранее результаты, найдём:

		σy		r = 0,255;			−17,8 = 0,255(x −53,8);			= 0,255x + 4,09 .
					y	x		y	x
		σ		xy
			x

Точно такой же результат может быть получен непосредственно с использованием приведённых выше формул для a* и b* (9.6). Воспользовавшись найденным уравнением регрессии, получим y x (50) =16,84. Итак, цена квартиры площадью 50 кв. м составит (в среднем) 16,84 условных единиц.

24	Y, усл.
	единицы
22
20
18
16				X, кв.м.
14
12
10
35	45	55	65	75

Рис. 9.2. Прямаялиниярегрессии(пример23)

Задание для лабораторной работы

Задание 9.1. В табл. 9.1 указаны X – густота сети на 100 кв. километров территории и Y – средняя дальность грузоперевозок по железным дорогам 13 стран в 1969 году.

9.1.1.Найти выборочный коэффициент корреляции между указанной парой показателей X, Y.

9.1.2.Проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции при уровне значимости гипотезы α = 0,05.

9.1.3.Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y по X и построить соответствующий график.

119

Инструкция по выполнению задания в Excel

1. Расположите ряды данных X и Y в два столбца. Для того чтобы полу-

	Табл. 9.1. Исходные данные к заданию 9.1				чить значение выборочного коэффи-
					циента корреляции, достаточно обра-
	Страны	Густота сети на	Средняя даль-		титься к функции КОРРЕЛ из списка
		100 кв.км тер-	ность перево-		Статистические,			задав в качестве
		ритории,	зок, км (Y)		аргументов		два	соответствующих
		км (X)
					друг другу массива данных. Сделав
					это, вы получите значение – 0,6781.
	США	4,3	778
	Великобр.	8,5	113		Между густотой сети и средней
	Франция	6,6	277		дальностью грузоперевозок – замет-
	ФРГ	13,6	183		ная отрицательная корреляция. (Объ-
	Италия	6,7	288		яснение. Густота сети обычно выше в
	Япония	7,1	239
					странах	с небольшой территорией.
	СССР	0,6	858
					Средняя	дальность грузоперевозок,
	Болгария	3,8	201
	Чехосл.	10,4	236		напротив, с увеличением территории
	ГДР	13,7	156		страны растёт).
	Венгрия	10,0	164		2.	Основная и конкурирующая
	Польша	8,5	254		гипотезы имеют вид
	Румыния	4,6	256
					H0 : r(X ,Y ) = 0,			H1 : r(X ,Y ) ≠ 0,
где r(X ,Y) – генеральный
			коэффициент		корреляции.		При	объёме выборки

n =13 наблюдаемое значение критерия (9.3) Tr = −3,06. Критическую точку распределения Стьюдента находим в приложении 5 или пользуемся функцией СТЬЮДРАСПОБР (Статистические): t2.cr (0.05,11) = 2.2. Поскольку Tr > 2.2 ,

основная гипотеза отвергается. Коэффициент корреляции значим.

3. Снова выделите ряды данных X и Y. В диалоговом окне Мастера диаграмм выберите тип диаграммы Точечная. При необходимости последовательно отформатируйте оси абсцисс и ординат, щёлкнув на них дважды мышью и активизировав кнопку Шкала в диалоговом окне Формат оси (для этого необходимо отключить режим Авто при определении желаемых параметров шкалы).

В Excel имеется возможность интерпретировать ряды данных в виде Линий тренда, представляющих собой аппроксимации, полученные на основе регрессионного анализа. Установим курсор мыши на любую точку графика и сделаем щелчок на правой кнопке. В открывшемся контекстном меню выберем Добавить линию тренда, а в соответствующем диалоговом окне – тип аппроксимации Линейная. Теперь в этом же окне активизируем кнопку Параметры и

установим опцию Показывать уравнение на диаграмме. После нажатия на кнопку [OK] на диаграмме появится линия тренда и соответствующее ей уравнение линейной регрессии:

y = −41,445x +621,63.

120

Y (Средняя дальность	1000
	800
	600
	400
	200
	кмгрузоперевозок),
	0
	0,0	5,0	10,0	15,0
	X (густота сети, км, на 100 кв. км территории)

Рис.9.3. Линия регрессии(задание9.1)

Конечно, для того чтобы получить уравнение регрессии в Excel, вовсе не обязательно пользоваться графическими средствами. Имеется функция НАКЛОН из списка Статистические, которая позволяет найти выборочный коэффициент

регрессии a* по массивам известных значений Y и X. Обратитесь к ней, и вы получите значение a* = −41,445. Функция ПРЕДСКАЗ из того же списка даёт

значение линейного тренда (иначе говоря, значение Y в уравнении регрессии) для любого заданного значения X. В качестве первого аргумента задаётся значение X = x, а в качестве второго и третьего аргументов – массивы известных значений Y и X (именно в таком порядке!). Если в качестве первого аргумента этой функции задать 0, то мы получим оценку другого коэффициента уравне-

ния регрессии b* = 621,629.

В качестве дополнительного упражнения: убедитесь в справедливости формулы (9.7)

a* =

−

σ y

r

xy

x

y

=

,

σx2

σx

xy

используя известные вам функции Excel.

Инструкция по выполнению задания в Mathcad

Зададим исходные данные в виде векторов X и Y размером 13×1. Не забудьте, что перед этим переменной ORIGIN должно быть присвоено значение

1.

1. Коэффициент корреляции r оценивается с помощью функции corr(X,Y) из категории Statistics (Статистика). В качестве аргументов-массивов нужно задать два соответствующих друг другу массива данных. Сделав это, вы получите значение r = – 0.6781. Между густотой сети и средней дальностью грузоперевозок – заметная отрицательная корреляция. Это объясняется тем, что гус-

121

тота сети обычно выше в странах с небольшой территорией. Средняя же дальность грузоперевозок, напротив, растёт с ростом территории страны.

2. Основная и конкурирующая гипотезы имеют вид

H0 : r(X ,Y ) = 0, H1 : r(X ,Y ) ≠ 0,

где r(X ,Y) – генеральный коэффициент корреляции. Найдем наблюдаемое зна-

чение критерия (9.3) при объёме выборки n =13. В результате получим Tr = −3.06 . Критическую точку распределения Стьюдента находим в приложении 5: t2.cr (0.05,11) = 2.2. Поскольку Tr > 2.2 , основная гипотеза отвергается.

Коэффициент корреляции значим.

3. Коэффициенты функции регрессии y = ax +b оцениваются с помо-

щью функции line(X, Y) из категории Curve Fitting and Smoothing (Аппрок-

симация и сглаживание кривой). Данная функция возвращает вектор, содержащий коэффициенты уравнения прямой, наилучшим образом аппроксимирующей данные в векторах X и Y. В отличие от функции corr(X, Y) здесь порядок аргументов важен. Обратившись к указанной функции, получим результат:

621.629

z := line(X,Y) z =

−41.445

Здесь b = 621,23, a =–41,445, уравнение прямой имеет вид

y = −41,445x + 621,63.

Для получения коэффициентов уравнения регрессии можно воспользоваться также функциями slope(X, Y) (коэффициент b) и intercept(X, Y) (коэффициент а). Эти функции можно найти в категории Curve Fitting and Smoothing (Аппроксимация и сглаживание кривой).

Для построения графика полученной кривой упорядочим значения массива Х по возрастанию с помощью функции sort(X) категории Sorting (Сортировка), получим вектор х. Затем по полученному уравнению линии регрессии вычислим соответствующие значения вектора у:

i :=1 .. 13

yi := z1 + z2 xi

При построении графика в появившемся шаблоне задайте переменные оси абсцисс (векторы X и x через запятую) и оси ординат (векторы Y и y через запятую), а также пределы по этим осям − от 0 до 15 и от 50 до 900 соответственно.

Затем войдите в диалоговое окно Formatting Currently Selected Graph

(Форматирование) выбранного графика (например, двойным щелчком мыши) и перейдите на вкладку Traces (Графики).

Установите для кривой, соответствующей вектору y, в поле Туре (Тип) элемент списка «линия», а для кривой, соответствующей вектору Y, элемент

122

списка «точки», и нажмите кнопку ОК. Затем перейдите на вкладку «Подписи» и введите соответствующие подписи по осям. Полученный график должен соответствовать приведенному на рис. 9.2.

	перевозок, км	Y
	Средняя дальность
		500
		y
		0	5	10	15
				X,x
		Густота сети на 100 кв.км территории, км

Рис.9.2. Прямая линия регрессии (задание 9.1)

В качестве дополнительного упражнения убедитесь в справедливости формулы (9.7)

a* =

−

σ y

r

xy

x

y

=

,

σx2

σx

xy

используя известные вам формулы и функции Mathcad.

Контрольные вопросы

1.В чём различие функциональной зависимости и корреляционной связи?

2.Приведите и проанализируйте собственный пример корреляционной зависимости величин: в природе; в общественной жизни; в технике или в производстве; в экономике.

3.Что такое ковариация (корреляционный момент)? Почему ковариация (корреляционный момент) является неудобным измерителем тесноты корреляции?

4.Что такое выборочный коэффициент корреляции? Какова область его возможных значений?

5. Охарактеризуйте корреляцию между X и Y, если коэффициент корреляции rxy = −0.85 .

6.В каком случае коэффициент корреляции равен единице?

7.Сформулируйте цель регрессионного анализа.

8.Какая функция минимизируется при применении метода наименьших квадратов?

9.Как связаны между собой линейный коэффициент корреляции и угловой коэффициент уравнения парной линейной регрессии?

123

Библиографический список

1.Андронов А.М., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика / А.М. Андронов − СП. : Питер, 2004, 461 с.

2.Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика − М. : Высшая школа, 2005 160 с.

3.Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика / П.П. Бочаров − М. : Физматлит, 2005, 296 с.

4.Венцель Е.С. Теория вероятностей − М. : Высшая школа, 2001, 576 с.

5.Гефан Г.Д. Статистический метод и основы его применения − Иркутск : ИрГУПС, 2003, 208 с.

6.Гефан Г.Д. Марковские процессы и системы массового обслуживания − Иркутск : Ир-

ГУПС,2009, 80 с.

7.Гефан Г.Д. Основы математической статистики − Иркутск : ИрГУПС, 2011, 72 с.

8.Гильдерман Ю.И. Закон и случай – Новосибирск : Наука, 1991. – 200 с.

9.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика − М : Высшая школа 2003, 480 с.

10.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике − М : Высшая школа, 2008, 404 с.

11.Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей / Б.В. Гнеденко

–М. : Наука, 1976. – 168 с.

12.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика − М. : ЮНИТИ-

ДАНА2006572304

13.Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А. Колемаев. − М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2003, 249 с.

14.Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей / А.Н. Колмогоров. – М. : Наука, 1982. – 160 с.

15.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике − М. : Айрис-пресс, 2004. − 249 с.

16.Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей / Ю.В. Прохоров. – М. : Наука, 1967. – 500 с.

17.Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло / И.М. Соболь. – М. : Наука, 1973. – 311 с.

18.Толстых О.Д. Цепи Маркова. Системы массового обслуживания – Иркутск : Изд-во ИрИИТ, 1999. – 204 с.

19.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей / В.П. Чистяков. – М. : Наука, 1987. – 240 с.

20.Чубарев А.М., Холодный В.С. Невероятная вероятность /А.М. Чубарев. – М. : Знание, 1976.

–128 с.

124

Приложение 1

Таблица значений функции Гаусса

		ϕ(z) =	1	e−	z2
					2
			2π
z	ϕ(z)	z		ϕ(z)			z	ϕ(z)
0,00	0,39894	1,00	0,24197				2,00	0,05399
0,02	0,39886	1,02	0,23713				2,02	0,05186
0,04	0,39862	1,04	0,23230				2,04	0,04980
0,06	0,39822	1,06	0,22747				2,06	0,04780
0,08	0,39767	1,08	0,22265				2,08	0,04586
0,10	0,39695	1,10	0,21785				2,10	0,04398
0,12	0,39608	1,12	0,21307				2,12	0,04217
0,14	0,39505	1,14	0,20831				2,14	0,04041
0,16	0,39387	1,16	0,20357				2,16	0,03871
0,18	0,39253	1,18	0,19886				2,18	0,03706
0,20	0,39104	1,20	0,19419				2,20	0,03547
0,22	0,38940	1,22	0,18954				2,22	0,03394
0,24	0,38762	1,24	0,18494				2,24	0,03246
0,26	0,38568	1,26	0,18037				2,26	0,03103
0,28	0,38361	1,28	0,17585				2,28	0,02965
0,30	0,38139	1,30	0,17137				2,30	0,02833
0,32	0,37903	1,32	0,16694				2,32	0,02705
0,34	0,37654	1,34	0,16256				2,34	0,02582
0,36	0,37391	1,36	0,15822				2,36	0,02463
0,38	0,37115	1,38	0,15395				2,38	0,02349
0,40	0,36827	1,40	0,14973				2,40	0,02239
0,42	0,36526	1,42	0,14556				2,42	0,02134
0,44	0,36213	1,44	0,14146				2,44	0,02033
0,46	0,35889	1,46	0,13742				2,46	0,01936
0,48	0,35553	1,48	0,13344				2,48	0,01842
0,50	0,35207	1,50	0,12952				2,53	0,01625
0,52	0,34849	1,52	0,12566				2,58	0,01431
0,54	0,34482	1,54	0,12188				2,63	0,01256
0,56	0,34105	1,56	0,11816				2,68	0,01100
0,58	0,33718	1,58	0,11450				2,73	0,00961
0,60	0,33322	1,60	0,11092				2,78	0,00837
0,62	0,32918	1,62	0,10741				2,83	0,00727
0,64	0,32506	1,64	0,10396				2,88	0,00631
0,66	0,32086	1,66	0,10059				2,93	0,00545
0,68	0,31659	1,68	0,09728				2,98	0,00470
0,70	0,31225	1,70	0,09405				3,03	0,00405
0,72	0,30785	1,72	0,09089				3,08	0,00348
0,74	0,30339	1,74	0,08780				3,13	0,00298
0,76	0,29887	1,76	0,08478				3,18	0,00254
0,78	0,29431	1,78	0,08183				3,23	0,00216
0,80	0,28969	1,80	0,07895				3,28	0,00184
0,82	0,28504	1,82	0,07614				3,38	0,00132
0,84	0,28034	1,84	0,07341				3,48	0,00094
0,86	0,27562	1,86	0,07074				3,58	0,00066
0,88	0,27086	1,88	0,06814				3,68	0,00046
0,90	0,26609	1,90	0,06562				3,78	0,00031
0,92	0,26129	1,92	0,06316				3,88	0,00021
0,94	0,25647	1,94	0,06077				3,98	0,00014
0,96	0,25164	1,96	0,05844				4,20	0,00006
0,98	0,24681	1,98	0,05618				5,00	0,00000

125

Приложение 2

Таблица значений функции Лапласа

							1		x	z2
						Φ(x) =			∫e−		dz
										2
							2π		0
x		Φ(x)				x			Φ(x)						x		Φ(x)
0,02		0,00798				1,02			0,34614						2,02		0,47831
0,04		0,01595				1,04			0,35083						2,04		0,47932
0,06		0,02392				1,06			0,35543						2,06		0,48030
0,08		0,03188				1,08			0,35993						2,08		0,48124
0,10		0,03983				1,10			0,36433						2,10		0,48214
0,12		0,04776				1,12			0,36864						2,12		0,48300
0,14		0,05567				1,14			0,37286						2,14		0,48382
0,16		0,06356				1,16			0,37698						2,16		0,48461
0,18		0,07142				1,18			0,38100						2,18		0,48537
0,20		0,07926				1,20			0,38493						2,20		0,48610
0,22		0,08706				1,22			0,38877						2,22		0,48679
0,24		0,09483				1,24			0,39251						2,24		0,48745
0,26		0,10257				1,26			0,39617						2,26		0,48809
0,28		0,11026				1,28			0,39973						2,28		0,48870
0,30		0,11791				1,30			0,40320						2,30		0,48928
0,32		0,12552				1,32			0,40658						2,32		0,48983
0,34		0,13307				1,34			0,40988						2,34		0,49036
0,36		0,14058				1,36			0,41308						2,36		0,49086
0,38		0,14803				1,38			0,41621						2,38		0,49134
0,40		0,15542				1,40			0,41924						2,40		0,49180
0,42		0,16276				1,42			0,42220						2,42		0,49224
0,44		0,17003				1,44			0,42507						2,44		0,49266
0,46		0,17724				1,46			0,42785						2,46		0,49305
0,48		0,18439				1,48			0,43056						2,48		0,49343
0,50		0,19146				1,50			0,43319						2,50		0,49379
0,52		0,19847				1,52			0,43574						2,55		0,49461
0,54		0,20540				1,54			0,43822						2,60		0,49534
0,56		0,21226				1,56			0,44062						2,65		0,49598
0,58		0,21904				1,58			0,44295						2,70		0,49653
0,60		0,22575				1,60			0,44520						2,75		0,49702
0,62		0,23237				1,62			0,44738						2,80		0,49744
0,64		0,23891				1,64			0,44950						2,85		0,49781
0,66		0,24537				1,66			0,45154						2,90		0,49813
0,68		0,25175				1,68			0,45352						2,95		0,49841
0,70		0,25804				1,70			0,45543						3,00		0,49865
0,72		0,26424				1,72			0,45728						3,05		0,49886
0,74		0,27035				1,74			0,45907						3,10		0,49903
0,76		0,27637				1,76			0,46080						3,15		0,49918
0,78		0,28230				1,78			0,46246						3,20		0,49931
0,80		0,28814				1,80			0,46407						3,25		0,49942
0,82		0,29389				1,82			0,46562						3,30		0,49952
0,84		0,29955				1,84			0,46712						3,40		0,49966
0,86		0,30511				1,86			0,46856						3,50		0,49977
0,88		0,31057				1,88			0,46995						3,60		0,49984
0,90		0,31594				1,90			0,47128						3,70		0,49989
0,92		0,32121				1,92			0,47257						3,80		0,49993
0,94		0,32639				1,94			0,47381						3,90		0,49995
0,96		0,33147				1,96			0,47500						4,00		0,49997
0,98		0,33646				1,98			0,47615						4,20		0,49999
1,00		0,34134				2,00	126 0,47725								5,00		0,50000