функции

величины

∆xi = xi+1

f ( x, y )в этих точках. Но эти значения умножим теперь на проекций частичных дуг Mi Mi +1 на ось Ox , то есть на

− xi , а затем составим интегральную сумму

n−1
σn = ∑ f ( xi, yi )∆xi .	(3.9)
i=0
Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.9) при
λ → 0, не зависящий ни от способа разбиения кривой L	на частичные,

ни от выбора точек ( xi , yi ),	то этот предел называется криволинейным
интегралом второго типа	(или криволинейным интегралом по
координате х) от функции f ( x, y ) по кривой L и обозначается символом
∫ f (x, y)dx. Таким образом, по определению

L

n−1
I = lim ∑ f (xi , yi )∆xi =∫ f (x, y)dx.		(3.10)
λ→0 i =0	L
Аналогично, умножая значения	f (xi , yi ) на проекции частичных дуг
Mi Mi +1 на ось Oy , то есть на ∆yi	= yi+1 − yi , составим интегральную
сумму
n−1
σn* = ∑ f (xi , yi )∆yi ,		(3.11)

i=0

впределе которой получим криволинейный интеграл по координате у:

n −1		=∫ f (x, y)dy.
I * = lim ∑ f (xi , yi )∆yi			(3.12)
λ→0 i =0		L
Если вдоль кривой L определены две функции P(х, y) и Q(x, y) и
существуют интегралы
∫P(x, y)dx	и	∫Q(x, y)dy,
L		L

то их сумму называют криволинейным интегралом второго типа общего вида и полагают

∫P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫P( x, y )dx + ∫Q( x, y )dy. (3.13)

L L L

3.5. Основные свойства криволинейного интеграла второго типа как и криволинейного интеграла первого типа, аналогичны свойствам определенного интеграла (см. пункт 3.2, свойства 10-30).

В отличие от криволинейных интегралов первого типа криволинейные интегралы второго типа зависят от того, в каком

направлении проходится кривая. L При изменении направления обхода кривой криволинейный интеграл второго типа меняет знак на противоположный

29

∫ P(x, y)dx = − ∫ P(x, y)dx,		∫ Q(x, y)dy = − ∫Q(x, y)dy .
AB	BA	AB	BA
Действительно, при изменении направления обхода кривой
соответственно	меняются знаки проекций ∆xi		и ∆yi в интегральных

суммах (3.9) и (3.11). Следовательно, сами интегральные суммы σ и σ а

также их пределы I и I изменят знак.

3.6. Интеграл по замкнутому контуру. Если контур интег-

рирования L замкнут, то начальная и конечная точки кривой совпадают. За направление обхода замкнутого контура L принимаем положительное направление, то есть то, при котором область, ограниченная контуромL , остается слева.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L , пробегаемому в положительном направлении, часто обозначают символом

∫P( x, y )dx + Q( x, y )dy .

L

Криволинейные интегралы по координатам вычисляются сведением их к определенному интегралу.

Пусть кривая интегрирования AB задана параметрическими

уравнениями	x=x(t)		и при перемещении из точки A в		точку	B
		y=y(t)
параметр t меняется от α до β , тогда
			∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy =
		β	AB
			′	′
					(3.14)
	= ∫[P(x(t), y(t))x (t)			+Q(x(t), y(t)) y (t)]dt .
		α		AB задана уравнением y = y(x)
Пусть кривая интегрирования						и
при перемещении из точки A в точку B x меняется от a до b , тогда
			b	′	(3.15)
∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫[P(x, y(x)) +Q(x, y(x)) y (x)]dx.
AB			a

Замечание 3.2. Аналогично определяется криволинейный интеграл по координатам от непрерывных на пространственной дуге L функций

P( x, y,z ), Q( x, y,z ), R( x, y,z ), то есть

∫P( x, y,z )dx + Q( x, y,z )dy + R( x, y,z )dz.

(3.16)

L

Если пространственная кривая L задана параметрическими уравнениями:

30

x=x(t)	, α ≤ t ≤ β , то
y=y(t)
z=z(t)
		β		′
∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ∫[P(x(t), y(t), z(t))x (t) +
L		α	]dt .
	′	′		(3.17)
+Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)

#

Пример 3.5. Вычислить

∫xydy +( x + y )dy, принимая за L:

L

а) отрезок прямой, соединяющей точки

О(0,0) и А(1,1);

б) дугу параболы у = х2, соединяющую точки Ои А; в) ломаную ОВА, где В(1,0).

Решение. Построим линии, по Рис. 3.2 которым надо вести интегрирование

(рис.3.2).

а) L: у=х, тогда dy=dx и по формуле (3.15) имеем

		1	x	3			1	1		4
	∫xydx +( x + y )dy = ∫( x2 + 2x )dx = (				+ x2 )		=		+1 =		.
			3					3		3
	L	0					0
		б) L: у = х2, тогда dy = 2xdx и по формуле (3.15) имеем
		1			1

∫xydx +( x + y )dy = ∫( x3 +( x + x2 )2x )dx = ∫( 2x2 + 3x3 )dx =

L	0													0
	= (	2x3	+	3x	4	)		1	=	2	+	3	=	17
		3		4				0		3		4		12
	в) L = OBA разбивается на два участка ОВи ВА:
	ОВ: y = 0 , тогда dy = 0 и 0 ≤ x ≤1;

ВА: x =1 , тогда dx = 0 и 0 ≤ y ≤1.

	Так как ОВ и ВА не имеют общих внутренних точек, то по формуле
(3.15) имеем
∫xydx +(x + y)dy = ∫		xydx +(x + y)dy + ∫xydx +(x + y)dy =
L	OB	BA

31

1	y2			1	3
= 0 + ∫(1+ y)dy = ( y +		)		=		.
	2				2
0				0

#

Замечание 3.3. В рассмотренном примере получили три разных результата, несмотря на то, что начальная и конечная точки контуров интегрирования совпадали.

					#
Пример 3.6. Вычислить			∫xdx + ydy +( x + y −1)dz, где L –
			L
отрезок прямой, соединяющей точки А (1,1,1,) и В(2,3,4).
Решение. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Аи В, имеет вид
	x −1	=	y −1		=	z −1	,
	1		2
					3
	x=t+1
или в параметрической форме y=2t+1 .
	z=3t+1

При перемещении из точки А в точку В параметр t меняется от 0 до 1. Тогда по формуле (3.17) имеем

	1
∫xdx + ydy +(x + y −1)dz = ∫[t +1+(2t +1)2 +(t +1+ 2t +1−1)3]dt =
L	0
	1		10 = 7 +6 =13.
	= ∫(14t +6)dt =(7t2 +6t)
	0	#
3.7. Связь между криволинейными интегралами первого и
второго	типа. Обозначим через α и β углы, составленные с

положительными направлениями осей координат направленной касательной к кривой AB в точке(x, y) , тогда получим соотношения

dx = cosαdl , dy = cos βdl .

Делая в криволинейных интегралах второго типа замену dx и dy на приведенные формулы, получим

∫P(x, y)dx = ∫P(x, y) cosαdl и		∫Q(x, y)dy = ∫Q(x, y) cos βdl -
AB	AB	AB	AB

эти формулы и устанавливают искомую связь.

3.8. Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.

32

Теорема. Если функции P(x, y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в области D, то имеет место следующая формула:

∫∫(	∂Q	−	∂P)dxdy = ∫Pdx + Qdy, (3.18)
D	∂x		∂y	L

где L – граница области D и интегрирование ведется в положительном направлении (рис. 3.3).

Пример3.7. Вычислить с помощью формулы Грина ∫(x − y)dx + (x + y)dy, где L –

L

	окружность x2 + y2 = R2.
	Решение. В рассматриваемом примере			Рис. 3.3
	P = х – у, Q = x + y и	∂P = −1,	∂Q
				=1.
		∂y	∂x
	Применяя формулу Грина (3.18), получим
	∫(x − y)dx + (x + y)dy = ∫∫(1 −(1))dxdy = 2∫∫dxdy = 2πR2 ,
	L	D		D

так как область интегрирования D есть круг с площадью πR2.

#

3.9. Условия независимости криволинейного интеграла по координатам от пути интегрирования. Пример 3.5 (замечание 3.3)

говорит о существовании интегралов, зависящих от того, какой линией соединены начальная и конечная точки пути интегрирования. В связи с этим возникает вопрос, можно ли указать условия, при выполнении которых интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек интегрирования. Формула Грина позволяет достаточно просто ответить на этот вопрос.

Теорема. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со

своими частными производными в односвязной2 области D. Для того чтобы криволинейный интеграл по координатам не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие

∂P	=	∂Q .	(3.19)
∂y		∂x

Если интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной (x1, y1 ) и конечной (x2 , y2 ) точек пути интегрирования, то обычно пишут так:

2 Область называется односвязной, если она ограничена единственным замкнутым контуром.

33

( x2 , y2 )

∫P(x, y)dx +Q(x, y)dy.

(3.20)

( x1, y1)

(1,2)

Пример 3.8. Вычислить

∫2xydx + x2 dy.

(0,0)

Решение. Данный интеграл не зависит от пути интегрирования, так

как

∂P

=

∂

(2xy)

= 2x,

∂Q

=

∂

(x

2

) = 2x,

∂y

∂y

∂x

∂x

то есть

∂P

=

∂Q

на всей плоскости xOy.

∂y

∂x

Выберем в качестве пути интегрирования

ломаную

OAB,

звенья

которой OA и

OB параллельны осям координат Ox и Oy

соответственно (рис. 3.4). На участке ОА:

y = 0, 0 ≤ x ≤1, dy = 0,

на участке

АВ:

x =1, 0 ≤ y ≤ 2, dx = 0 .

Рис. 3.4

Следовательно,

(1,2)

1

2

∫

2xydx + x2 dy = ∫0dx + ∫dy = 2.

(0,0)

0

0

#

Замечание 3.4. С помощью криволинейных интегралов второго типа можно вычислять площадь S плоской области, ограниченной

замкнутой линией L,			S = 1
				∫xdy − ydx,
			2	L
и		работу,	совершаемую		переменной	силой
		{P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}			на криволинейном пути L,
	F

A = ∫Pdx +Qdy + Rdz.

L

#

34