ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Что называется двойным интегралом от функции f ( x, y ) по области D ? Укажите его геометрический смысл.

2.Свойства двойного интеграла.

3.Что называется двукратным интегралом от функции f ( x, y ) по области D ? Как он вычисляется?

4.Двойной интеграл в полярных координатах.

5.Приложения двойного интеграла.

6.Что называется тройным интегралом от функции f ( x, y, z ) по области V ? Укажите его механический смысл.

7.Что называется трехкратным интегралом от функции f ( x, y, z ) по области V ? Как он вычисляется?

8.Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

9.Приложения тройного интеграла.

10.Что называют криволинейным интегралом по длине дуги плоской кривой?

11.Что называется криволинейным интегралом по координатам?

12.Сформулируйте свойства криволинейных интегралов.

13.Вычисление криволинейных интегралов.

14.Формула Грина.

15.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

16.Что называется поверхностным интегралом первого и второго типа, их свойства и вычисления?

17.Что называется скалярным полем?

18.Что называется векторным полем?

19.Что называется циркуляцией векторного поля? Формула Стокса.

20.Что называется потоком векторного поля? Напишите формулу для его

вычисления.

21.Что называется ротором векторного поля?

22.Что называется дивергенцией векторного поля?

23.Какое поле называется потенциальным?

24.Какое поле называется соленоидальным?

49

ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

(10 вариантов)

Задача №1. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной прямыми .

Вариант 1. ∫∫(x2 + y2 )dxdy, , D: x = 0, x = 1, y = -1, y = 0.

D

Вариант 2 ∫∫(x + y2 )dxdy , D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 0.

D

Вариант 3 ∫∫2xy2dxdy , D: x = 0, x = 1, y = -2, y = 0

D

Вариант 4 ∫∫(3x2 + 4 y)dxdy , D: x = 0, x = 2, y = -2, y = 1

	D
Вариант 5 ∫∫(x +5y)dxdy , D: x = 1, x = 2, y = 0, y = 1
	D
Вариант 6	∫∫(	2x + y2	)dxdy , D: x = -2, x = 0, y = 0, y = 2
	D
Вариант 7	∫∫3xy2dxdy , D: x = -1, x = 0, y = -1, y = 0.
	D
Вариант 8	∫∫(	2x + y	)dxdy , D: x = 1, x = 2, y = 0, y = 1.
	D
Вариант 9	∫∫(6x2 + y)dxdy , D: x = -2, x = 1, y = 0, y = 2.
	D		)dxdy , D: x = -1, x = 1, y = 1, y = 2.
Вариант 10 ∫∫( x + y

D

Задача №2. Вычислить двумя способами двойной интеграл по области D, ограниченной линиями.

Вариант 1.	∫∫xydxdy , D: y = 2x, y = -x + 6, y = 0.
	D
Вариант 2.	∫∫(2x + y)dxdy , D: y = 3x 2 , y = 3, x = 0.
	D
Вариант 3.	∫∫(x + y )dxdy , D: y =2x, y = -x +3, y = 0.
	D
Вариант 4.	∫∫2xy2dxdy , D: y = 5x 2 , y = 5, x = 0.
	D

50

Вариант 5 .		∫∫(x + 3y )dxdy , D: y = x, y = -x +8, y = 0.
		D
Вариант 6	.	∫∫(5x + 4 y)dxdy , D: y = 13 x 2 , y = 3, x = 0.
		D
Вариант 7	.	∫∫2xy dxdy , D: y = 12 x , y = -x +6, y = 0.
		D	x + y)dxdy , D: y = 12 x 2 , y =8, x = 0.
Вариант 8	.	∫∫(
		D
Вариант 9	.	∫∫3xy dxdy , D: y = x, y = -x +4, y = 0.
		D	x + y )dxdy , D: y = 2x 2 , y =8, x = 0.
Вариант 10 . ∫∫(

D

Задача №3. С помощью двойного интеграла найти площадь области D, ограниченной линиями.

Вариант 1. а) y = sin x, x = 0, x = π2 , y= 0 ,

	б) x 2 + y 2	=1, x 2 + y 2 = 4, y =			x, y =				1	x .
				3
									3
	а) y = 4 - x 2 , y = 0,
Вариант 2.
	б) x 2 + y 2 = 9, x 2 + y 2 = 4, y = x, x = 0.
Вариант 3.	а) y = 2x 2	, y = 2x ,
	б) x 2 + y 2	= 9, x 2 + y 2 =16, y = x, y = 0.
Вариант 4.	а) y = 3x 2	, y = -3x,
	б) x 2 + y 2 = 25, x 2 + y 2 =16, y = y =							x , y = 0.
							3
Вариант 5. а) y = cos x, x = 0, x = π , y= 0,
		2		1
	б) x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 9 , y =					x, x = 0 .
				3

Вариант 6. а) y = 2x, x = 0, x = 2, y =0,

б) x 2 + y 2 = 25, x 2 + y 2 = 9, y = y = 3 x , x = 0.

Вариант 7. а) y = 2x, x = 0, y = 2,

51

	б) x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 = 16 , y =	1	x, y = 0.
		3
Вариант 8.	а) y = -2x, x = 0, y = 0, x = -2,
	б) x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 16, y = y =				x , x = y.
				3
Вариант 9.	а) y = 4x, x = 0, y = 0, x = 4,	1
	б) x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 25 , y =		x, y = x .
		3

Вариант 10. а) y = 4 - x 2 , y = x + 2,

б) x 2 + y 2 = 25, x 2 + y 2 = 4, y = x, x = 0.

Задача №4. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной плоскостями.

Вариант 1. ∫∫∫(2x + y)dxdydz , V: x=0, x=2, y=0, y=2, z=1, z=3 .

V

Вариант 2. ∫∫∫(x + y + z)dxdydz , V: x=1, x=3, y=0, y=2, z=1, z=3.

V

Вариант 3. ∫∫∫(3y + z)dxdydz , V: x=1, x=3, y=0, y=2, z=0, z=2.

V

Вариант 4. ∫∫∫( 3x + 2 y )dxdydz , V: x=0, x=3, y=0, y=2, z=1, z=3.

V

Вариант 5. ∫∫∫(3x + 2 y + z)dxdydz , V: x=0, x=3, y=0, y=3, z=0, z=3.

V

Вариант 6. ∫∫∫( x + y +5z )dxdydz , V: x=0, x=3, y=0, y=2, z=2, z=3.

V

Вариант 7. ∫∫∫( 3x + 2z )dxdydz , V: x=1, x=2, y=0, y=2, z=1, z=2.

V

Вариант 8 . ∫∫∫( x + 2 y + z )dxdydz , V: x=2, x=3, y=0, y=2, z=1, z=3.

V

Вариант 9. ∫∫∫( 3x + y + z )dxdydz , V: x=0, x=2, y=0, y=3, z=1, z=3.

V

Вариант 10. ∫∫∫( 2x + 2 y )dxdydz , V: x=1, x=3, y=1, y=3, z=0, z=3.

V

52

Задача №5. С помощью тройного интеграла найти объем тела V, заданного ограничивающими его поверхностями.

Вариант 1.	z = x2 ,	y=2,	z=2,	y=0.
Вариант 2.	x = y2 ,	z=0,	z=3,	x=2.
Вариант 3.	z2 = x2 + y2 ,		z=2,	z ≥ 0.
Вариант 4.	x+z=3, y=2, x=0, y=0, z=0.
Вариант 5.	z =−x2 − y2 ,		z = x2 + y2 −8.
Вариант 6.	z=0, y = x2 ,		z+y=2.
Вариант 7.	2z = x2 + y2 ,		z=2.

Вариант 8.	z = 2 − x2 − y2 ,	z2 = x2 + y2 , z ≥ 0.
Вариант 9.	z = 4 − x2 − y2 ,	z=0.
Вариант 10.	z =12 − x2 − y2 ,	x2 + y2 − z2 = 0, z ≥ 0.

Задача № 6. Найти массу дуги АВ линии L, если ее линейная плотность меняется по законуρ (x, y) .

Вариант 1. L:

Вариант 2. L:

Вариант 3. L:

Вариант 4. L:

Вариант 5. L:

Вариант 6. L:

x=2(t−sin t)

, 0 ≤ t ≤π , ρ(x, y) =

y .

y=2(1−cos t)

x=cos t

,

0

≤ t ≤

π

, ρ(x, y) = y .

2

y=2 sin t

x=cos t

π

y=sin t

, 0

≤ t ≤ 2

,

ρ(x, y) = xy − x

1 − y .

x=a(t−sin t)

, 0 ≤ t ≤π , ρ(x, y) =

y .

y=a(1−cos t)

1

x=

cos t

π

2

≤ t ≤

, ρ(x, y) = y + x

, 0

1− y

.

1

sin t

2

y=

2

x=cos t

,

ρ(x, y) = x .

y=2 sin t

53

Вариант 7. L:

Вариант 8. L:

Вариант 9. L:

Вариант 10. L:

	x=cos t			π
		, 0 ≤ t ≤			, ρ(x, y) = x 1− y .
				2
	y=sin t
	x=cos t		, 0 ≤ t ≤π , ρ(x, y) = x .
	y=2 sin t
	x=cos t
		, 0 ≤ t ≤π , ρ(x, y) = y 1− x .
	y=sin t
	x=2 cos t		, 0 ≤ t ≤		π	, ρ(x, y) = xy .
					2
	y=2 sin t

Задача № 7. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии L от

точки А до В точки.
Вариант 1.	∫(x2 + y)dx +(x − y2 )dy , L: y=2x,			A(1, 2), B(2, 4).
	L		1 x2 , A(0, 0), B(2, 2).
Вариант 2.	∫(2x + y)dx +(x2 + y2 )dy , L: y =
	L		2
Вариант 3. ∫3x2 ydx +(x + y)dy , L: y=2x, A(-1, -2), B(0, 0).
	L	1 x ,
Вариант 4. ∫(2x + y)dx + 4x2 ydy , L: y =				A(0, 0), B(2, 1).
	L	2
Вариант 5. ∫(x + y)dx +(x2 + y )dy , L: y = 2x2 ,					A(1, 2), B(2, 8).
	L		1 x2
Вариант 6.	∫(2x + y)dx +(x2 + y2 )dy , L: y =				, A(-2, 2), B(0, 0).
	L		2
Вариант 7.	∫(3x2 + 2 y)dx +(x +5y)dy , L: y=2x,				A(0, 0), B(2, 4).
	L

Вариант 8.	∫(5x + 2 y)dx +(x + y2 )dy , L: y = 2x2 ,		A(-1, 2), B(0, 0).
	L	1 x ,
Вариант 9.	∫(x + y)dx +(4x2 + y)dy , L: y =		A(2, 1), B(4, 2).
	L	2

Вариант 10. ∫xydx +(3x2 + y )dy , L: y = 2x2 , A(0, 0), B(1, 2).

L

54

Задача № 8. Дано векторное поле a . Найти дивергенцию поля в точке M0 и вычислить поток поля через полную поверхность треугольной

пирамиды с помощью формулы Остроградского.

Вариант 1.

= (x −2 y)

+(2z + x)

+( y − z)

,

M0 (1, 1, 1),

a

i

j

k

2x+3y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Вариант 2.

= (2x −2 y)

+(z +3x)

+( y + z)

,

M0 (1, 0, 1),

a

i

j

k

2x+2y+2z=2, x=0, y=0, z=0.

Вариант 3.

= (x + 2 y)

−(z + x)

+(3y + z)

,

M0 (1, 0, 2),

a

i

j

k

x+2y+3z=1, x=0, y=0, z=0.

Вариант 4.

= (x + y)

+(z + x)

−(3y +3z)

,

M0 (2, 0, 1),

a

i

j

k

15x+5y+5z=5, x=0, y=0, z=0.

Вариант 5.

= (x −2 y)

+(2z +3x)

−( y + z)

,

M0 (1, 1, 0),

a

i

j

k

x+4y+2z=1, x=0, y=0, z=0.

Вариант 6.

= (2x + 2 y)

+(3z −3x)

+( y + 2z)

,

M0 (1, 0, 1),

a

i

j

k

3x+3y+3z=1, x=0, y=0, z=0.

Вариант 7.

= (x −12 y)

+(8z +3x)

+(2 y + z)

,

M0 (3, 0, 1),

a

i

j

k

x+y+4z=0.5 , x=0, y=0, z=0.

Вариант 8.

= (2x −2 y)

+(3z +3x)

−(6 y + z)

,

M0 (1, 0, 0),

a

i

j

k

x+2y+2z=1, x=0, y=0, z=0

Вариант 9.

= (x − y)

+(3z +5x)

+(6 y + z)

,

M0 (0, 1, 2),

a

i

j

k

2x+4y+8z=2, x=0, y=0, z=0.

Вариант 10.

= (2x + 2 y)

+(3z +3x)

+ x(6 y + 2z)

,

M0 (1, 1, 1),

a

i

j

k

3x+2y+3z=1, x=0, y=0, z=0.

Задача № 9. Найти циркуляцию векторного поля

вдоль контура Г ,

a

используя формулу Стокса.

+y2 =1 .

Вариант 1. a = (x − y)i + x j − zk

Г: x

2

z=5

1

2

1

2

Вариант 2. a = 2 yi +5z j +3xk

x

+

y

=1

.

2

2

Г:

z=2

x

2

+y2 −4z2 =0

Вариант 3. a = (x − y)i + x j − z2 k

Г:

1

.

z=

2

55

=4 .

Вариант 4.

a = −3zi + y2 j + 2 yk

Г: x2 +y

2

z=5

+z2 =4 .

Вариант 5.

a = yi − x j + xyk

Г: x2 +y2

z=1

−4z2 =0 .

Вариант 6.

a = (x − z)i + z j + 2 yk

Г: x2 +y2

z=2

=1 .

Вариант 7.

a = −3zi + y2 j + 2 yk

Г: x2 +y2

z=0

+z2 =4 .

Вариант 8.

a = (x −3z)i +(z − x) j + 2 yk

Г: x2 +y2

z=1

=1 .

Вариант 9.

a = (x2 − y)i + x j + k

Г: x2 +y2

z=1

Вариант 10. a = (x2 − y)i + x j + k

Г: x2 +y2 −z2 =0 .

z=2

Задача № 10. Проверить, является ли векторное поле a потенциальным и соленоидальным. Если поле является потенциальным, то найти его потенциал.

Вариант 1.

− x

+ z2

.

a

= yi

j

k

Вариант 2.

= ( y − z)

+(z − x)

+ z2

.

a

i

j

k

Вариант 3.

− z2

.

a

= xi

j

+ yk

Вариант 4.

= ( y − z)

+(z − x)

+(x − y)

.

a

i

j

k

Вариант 5.

− x

+ x2

.

a

= −zi

j

k

Вариант 6.

−3z2

.

a

= xi

j

+ yk

Вариант 7.

= (2x − y)

−(3x + z2 )

.

a

i

j

+ yk

Вариант 8.

− z

.

a

= 2 yi

j

+ xk

Вариант 9.

= ( y − z)

+ x2

+(x − y)

.

a

i

j

k

Вариант 10. a = xi −2z2 j + yk .

56