- •Лекция 1
- •Введение
- •Метрические пространства. Определения и примеры
- •Лекция 2
- •Непрерывные отображения метрических пространств
- •Сходимость
- •Лекция 3
- •Замыкание
- •Замкнутые множества
- •Лекция 4
- •Открытые множества
- •Полные метрические пространства
- •Лекция 5
- •Теорема о вложенных шарах
- •Плотные подмножества. Теорема Бэра
- •Лекция 6
- •Полнота и разрешимость уравнений
- •Пополнение пространства
- •Лекция 7
- •Принцип сжимающих отображений
- •Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям
- •Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы
- •Лекция 8
- •Нормированные пространства
- •Евклидовы пространства
- •Лекция 9
- •Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации
- •Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя
- •Лекция 10
- •Теорема об изоморфизме
- •Подпространства, ортогональные дополнения
- •Лекция 11
- •Функционалы: основные определения и примеры
- •Компактность и полная ограниченность
- •Лекция 12
- •Свойства непрерывных линейных функционалов
- •Лекция 13
- •Сопряженное пространство
- •Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве
- •Лекция 14
- •Второе сопряженное пространство
- •Слабая сходимость
- •Лекция 15
- •Обобщенные функции
- •Производная обобщенной функции
- •Лекция 16
- •Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций
- •Лекция 17
- •Обобщенные функции нескольких переменных
- •Свертка обобщенных функций
- •Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха
- •Лекция 18
- •Линейные операторы: основные определения
- •Норма оператора
- •Лекция 19
- •Пространство ограниченных линейных операторов
- •Компактные операторы
- •Лекция 20
- •Принцип равномерной ограниченности
- •Лекция 21
- •Замкнутые операторы
- •Теорема о замкнутом графике
- •Лекция 22
- •Сопряженный оператор
- •Операторные уравнения
- •Обратный оператор
- •Лекция 23
- •Непрерывная обратимость
- •Достаточные условия непрерывной обратимости
- •Лекция 24
- •Спектр оператора. Резольвента
- •Спектр компактного оператора
- •Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта
- •Лекция 25
- •Продолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега
- •Множества меры нуль. Сходимость почти всюду
- •Лекция 26
- •Функции, интегрируемые по Лебегу
- •Основные свойства интеграла Лебега
- •Кратный интеграл Лебега
- •Лекция 27
- •Сопряженный оператор. Случай евклидовых пространств
- •Самосопряженные операторы
- •Лекция 28
- •Собственные значения самосопряженных операторов
- •Лекция 29
- •Базисы со свойством двойной ортогональности
- •Лекция 30
- •Теорема об итерациях операторов
- •Условия разрешимости уравнений первого рода
- •Лекция 31
- •Операторные уравнения второго рода
- •Теоремы Фредгольма
- •Лекция 32
- •Замечания к теоремам Фредгольма
- •Следствия из теорем Фредгольма
- •Лекция 33
- •Линейные интегральные уравнения второго рода
- •Лекция 34
- •Уравнения с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра
- •Заключительные замечания
- •Список литературы
Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет математики и информатики
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Конспект лекций
Учебно-методический комплекс дисциплин по проекту
"Создание научно-образовательного комплекса
для подготовки элитных специалистов в области математики, механики и информатики в Сибирском федеральном университете", рег. N 16
Красноярск 2007
Выполнено на кафедре теории функций
Авторы-составители:
А.А. Шлапунов, В.В. Работин, Т.М. Садыков
Содержание
1 Раздел I: Метрические пространства |
8 |
1.1 Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
1.1.1Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Метрические пространства. Определения и примеры . . . 9
1.2Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1Непрерывные отображения метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 |
Сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
1.2.3 |
Сходимость на языке окрестностей . . . . . . . . . . . . |
21 |
1.2.4Непрерывность по Гейне . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1Замыкание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Замкнутые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1Открытые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . 30
1.5Лекция 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.1Теорема о вложенных шарах . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.2Плотные подмножества. Теорема Бэра . . . . . . . . . . . 39
1.6Лекция 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.1 Полнота и разрешимость уравнений . . . . . . . . . . . . 42
1.6.2 Пополнение пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7Лекция 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7.1 Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . 48
1.7.2Применение принципа сжимающих отображений к обыкновенным дифференциальным уравнениям . . . . . . . . 50
1.7.3Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3
4
2 Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы
54
2.1Лекция 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.1 |
Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
2.1.2 |
Нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . |
59 |
2.1.3 |
Пополнение нормированного пространства . . . . . . . . |
62 |
2.1.4Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.5 Пополнение евклидова пространства . . . . . . . . . . . 64
2.2Лекция 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.1 Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации . . 65
2.2.2Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя . . . . . . . . 69
2.3Лекция 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.1Теорема Рисса-Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.2Теорема об изоморфизме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.3Подпространства, ортогональные дополнения . . . . . . . 76
2.3.4 |
Свойство параллелограмма . . . . . . . . . . . . . . . . |
80 |
2.3.5 |
Комплексные евклидовы пространства . . . . . . . . . . |
83 |
2.4Лекция 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4.1 Функционалы: основные определения и примеры . . . . . 86
2.4.2Компактные множества в метрическом пространстве. Непрерывные функционалы на компактах . . . . . . . . . 88
2.4.3Компактность и полная ограниченность . . . . . . . . . . 91
2.4.4Компактные множества в C[a; b]. Теорема Арцела . . . . 94
2.5Лекция 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.5.1 Свойства непрерывных линейных функционалов . . . . . 97
2.5.2Теорема Хана-Банаха в нормированных пространствах . . 100
2.5.3Теорема Хана-Банаха для комплексных пространств . . . 104
2.6Лекция 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.6.1Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.6.2Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве . . . . . 112
2.7Лекция 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.7.1Второе сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . 115
2.7.2 Слабая сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.7.3-слабая сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.8Лекция 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.8.1Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5
2.8.2Производная обобщенной функции . . . . . . . . . . . . . 129
2.9Лекция 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.9.1Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.10Лекция 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.10.1Обобщенные функции нескольких переменных . . . . . . . 138
2.10.2Свертка обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . 139
3 Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха |
143 |
3.1Лекция 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.1.1 Линейные операторы: основные определения . . . . . . . . 143
3.1.2 Норма оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.2Лекция 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.2.1 Пространство ограниченных линейных операторов . . . . 151
3.2.2Компактные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3Лекция 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3.1Принцип равномерной ограниченности . . . . . . . . . . . 158
3.3.2 Теорема Банаха-Штейнгауза . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.4Лекция 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.4.1 Замкнутые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.4.2 Теорема о замкнутом графике . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.5Лекция 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.5.1 Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.5.2 Операторные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5.3 Обратный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.6Лекция 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6.1 Непрерывная обратимость . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6.2Достаточные условия непрерывной обратимости . . . . . . 178
3.7Лекция 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.7.1Спектр оператора. Резольвента . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.7.2Спектр компактного оператора . . . . . . . . . . . . . . . 184
4Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта188
4.1Лекция 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.1.1Продолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.1.2Множества меры нуль. Сходимость почти всюду . . . . . . 191
4.2Лекция 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6
4.2.1 Функции, интегрируемые по Лебегу . . . . . . . . . . . . 196
4.2.2Основные свойства интеграла Лебега . . . . . . . . . . . . 198
4.2.3Кратный интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.3Лекция 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.3.1Сопряженный оператор. Случай евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.3.2Самосопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.4Лекция 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.4.1Собственные значения самосопряженных операторов . . . 209
4.4.2 Теорема Гильберта-Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.5Лекция 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.5.1 Окончание доказательства теоремы
Гильберта-Шмидта и следствия из нее . . . . . . |
. . . |
. |
. |
215 |
4.5.2 Базисы со свойством двойной ортогональности . |
. . . |
. |
. |
218 |
4.6Лекция 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.6.1 Теорема об итерациях операторов . . . . . . . . . . . . . 222
4.6.2 Условия разрешимости уравнений первого рода . . . . . . 224
4.7Лекция 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.7.1 Операторные уравнения второго рода . . . . . . . . . . . 228
4.7.2Теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.8Лекция 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.8.1Замечания к теоремам Фредгольма . . . . . . . . . . . . . 234
4.8.2Следствия из теорем Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . 234
4.9Лекция 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.9.1 |
Линейные интегральные уравнения второго рода |
. . |
. . |
. |
239 |
4.9.2 |
Операторы Гильберта-Шмидта в L2[a; b] . . . |
. . . |
. . |
. |
239 |
4.10Лекция 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.10.1Уравнения с вырожденными ядрами . . . . . . . . . . . . 245
4.10.2Уравнения Вольтерра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.10.3 Заключительные замечания |
. . . . . . . . . . . . . . . . 248 |
Предметный указатель |
249 |
Список литературы |
253 |
7
Конспект лекций по курсу "Функциональный анализ" для студентов 3 курса математического факультета, обучающихся по направлениям
010100 "Математика",
010200 "Математика и компьютерные науки",
010600 "Механика и математическое моделирование"
Семестры: V,VI
Трудоемкость: 6,7 зачетных единиц или 240 общих часов. Аудиторная работа: 68 часов лекций, 68 часов практических за-
нятий.
Самостоятельная работа: 96 часов.
Промежуточные формы контроля: промежуточные экзамены по окончании каждого модуля,
итоговые формы контроля – зачет в V семестре, итоговый экзамен в VI семестре).
Количество модулей – 4:
Модуль I – "Метрические пространства", лекции 1–7;
Модуль II – "Линейные метрические пространства и функционалы", лекции 8–17;
Модуль III – "Линейные операторы в пространствах Банаха", лекции 18–24;
Модуль IV – "Операторные уравнения в пространствах Гильберта", лекции 25–34.
Замечание. Основным учебником является книга [1]. В тех случаях, когда предпочтительнее использовать другой источник, это отмечено особо. Все задачи даны из сборника задач [9]. Материал, отмеченный знаком предназначен для самостоятельной работы студента.
Глава 1
Раздел I: Метрические
пространства
1.1Лекция 1
1.1.1Введение
Функциональный анализ начал формироваться как отдельное направление в современной математике в начале XX столетия. Одна из главных причин тому острая необходимость решения (систем) дифференциальных и интегральных уравнений, возникших в рамках основных моделей естествознания (прежде всего в физике). У истоков этого направления стояли такие выдающиеся математики, как С. Банах и Д. Гильберт.
С самого начала новому направлению были присущи высокая степень абстракции и тесное переплетение анализа, алгебры и геометрии.
Мы проследим развитие функционального анализа начиная с формализации понятий близко-далеко, которые позволяют ввести базовую операцию анализа – предельный переход. Возникающие на этом пути новые объекты – метрические пространства – позволяют решить целый ряд задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории интегральных уравнений второго рода с помо-
8
9
щью принципа сжимающих отображений. Возникшее естественно понятие полноты оказалось здесь ключевым и дало возможность поновому взглянуть на теорию действительных чисел и классический анализ.
Дальнейшее привлечение алгебры и геометрии в линейный функциональный анализ привело сначала к развитию теории бесконечномерных топологических векторных пространств (в том числе, пространств Банаха и Гильберта), а затем, в 60-х годах XX столетия, к прорыву в исследовании основных (линейных) краевых задач математической физики и, более общо, теории дифференциальных уравнений в частных производных. В первую очередь этот прорыв связан с именами С.Л. Соболева и Л. Шварца. Уместно отметить, что стандартный курс "Уравнения математической физики" в значительной мере знакомит с основами данного подхода, хотя и расставляет иные акценты, чем в настоящем пособии.
Усложнение моделей современного естествознания вынуждает нас решать нелинейные системы уравнений, а значит, развивать
нелинейный функциональный анализ. Пока его основу составляют теоремы о неподвижных точках отображений Лере-Шаудера, основанные на понятии компактности, абстрактная теорема о неявной функции и геометрический подход, использующий понятие степени отображения. Нелинейный функциональный анализ сейчас переживает период бурного роста и его вершины еще впереди. Эта тематика, к сожалению, останется вне данного курса.
1.1.2Метрические пространства. Определения и примеры
Пусть X – некоторое множество произвольной природы. Его элементы мы часто будем называть "точками". Сейчас мы постараемся выделить (формализовать) наиболее существенные свойства, присущие понятию "расстояние".
10
Определение 1.1.1. Метрикой (расстоянием) на X будем
называть функцию (x; y), определенную для любых x; y 2 X, и
обладающую следующими тремя свойствами:
1)(x; y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (разделение точек);
2)(x; y) = (y; x) для всех x; y 2 X (симметричность);
3)(x; z) (x; y) + (y; z) для всех x; y 2 X (неравенство треугольника).
Пару X = (X; ) будем называть в этом случае метрическим пространством.
Конечно, интуитивно ясно, что "расстояние" от точки x до точки y должно быть всегда неотрицательным. Однако это немедленно вытекает из свойств метрики:
0 = (x; x) (x; y) + (y; x) = 2 (x; y) для всех x; y 2 X:
Приведем теперь примеры метрических пространств.
Пример 1.1.1. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а (x; y) = jx yj. Тогда свойства 1)–3) сразу следуют из свойств рациональных дробей и определения модуля числа, изученных в рамках школьной программы.
Пример 1.1.2. Пусть X = R есть множество действительных чисел, а (x; y) = jx yj. Тогда свойства 1)–3) сразу следуют из определения действительных чисел и определения модуля числа, изученных в рамках школьной программы.
11
Для того чтобы привести другие примеры, нам потребуется простая лемма. Обозначим через Rn (n 2) множество упорядоченных наборов (n-ок) действительных чисел x = (x1; : : : ; xn).
Лемма 1.1.1. (Неравенство Коши-Буняковского) Для любых векторов x; y 2 Rn выполняется неравенство:
n |
xjyj v |
n |
n |
(1.1.1) |
xj2 |
yk2: |
|
j=1 |
uj=1 |
k=1 |
|
X |
u |
X X |
t
Доказательство. В самом деле, легко заметить, что
012
n |
|
|
n |
n |
1 |
n |
n |
||
@X |
A |
|
X |
X |
|
|
|
X X |
|
j=1 xjyj |
|
= j=1 xj2 j=1 yj2 2 j=1 k=1(xkyj xjyk)2; |
|||||||
откуда и следует требуемое неравенство. |
|
||||||||
Пример |
1.1.3. Положим |
X |
= Rn, (x; y) = |
q
Pnj=1(xj yj)2. Это евклидово n-мерное пространство. Спра-
ведливость аксиом 1), 2) немедленно следует из определения функ- p
ции = t. Проверим аксиому треугольника 3). Обозначая aj = yj xj, bj = zj yj, получаем zj xj = aj + bj. Тогда из неравенства Коши-Буняковского (1.1.1) следует, что
(x; z) = v |
|
|
|
|
= v |
|
|
|
|
|||
n |
(aj |
+ bj)2 |
n |
aj2 + bj2 + 2 ajbj |
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
||||
uj=1 |
|
|
|
uj=1 |
|
j=1 |
|
j=1 |
||||
uX |
|
|
|
uX |
|
X |
|
X |
||||
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
aj2 + bj2 + 2 |
|
aj2 |
bk2 |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
uj=1 |
|
j=1 |
|
uj=1 |
k=1 |
|
|
|
||||
uX |
|
X |
|
u |
X X |
|
|
|
||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
vv
u n u n
XX
uj=1 aj |
+ uj=1 bj |
= (x; y) + (y; z): |
2 |
2 |
|
t |
t |
|
12
Данную пару (X; ) будем обозначать Rn2 или просто Rn. При n = 2 получаем обычную "евклидову" плоскость.
Пример 1.1.4. Пусть X = Rn, 1(x; y) = Pnj=1 jxj yjj. Пару (X; 1) будем обозначать Rn1 . При n = 2 данное расстояние
имеет смысл в условиях прямоугольной городской уличной сети.
Пример 1.1.5. Положим X = Rn, 1(x; y) = max1 j n jxj yjj. Данную пару (X; 1) будем обозначать Rn1.
будет проверена на практических занятиях. Данную пару (X; )
|
|
Пример |
1.1.6. Пусть X = Rn, p(x; y) = |
|||||
n |
y |
|
x |
|
p |
1=p |
(p > 1) |
метрики |
Pj=1 j |
|
j |
|
jj |
|
|
. Справедливость аксиом |
p |
будем обозначать Rnp .
Все рассмотренные выше примеры так или иначе уже встречались вам в курсах математического анализа или алгебры. Перейдем к рассмотрению более сложных и содержательных примеров, примеров бесконечномерных и функциональных пространств.
|
Пример 1.1.7. Пусть X – множество всевозможных последова- |
||||||||||||
тельностей x = (x1; x2; : : : ; xn; : : : ) таких, что |
|
j1=1 jxjjp < 1 |
|||||||||||
(1 |
|
p < |
) |
|
(x; y) = |
1 |
x |
|
y |
|
p |
|
1=p |
|
. Положим |
j=1 j |
j |
P |
|
|
. |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
jj |
|
||||||
|
Ясно, что для любого N 2 N |
P |
|
|
|
|
|
|
011=p
N |
A |
N |
N |
@X |
Xj |
X |
|
jxj yjjp |
|
jxjjp + |
jyjjp; p = 1; 2 |
j=1 |
|
=1 |
j=1 |
(это просто неравенство треугольника для метрики из пространства RNp ). Значит, переходя к пределу относительно N ! 1 и ис-
13
пользуя признак сравнения сходимости числовых рядов, мы заключаем, что функция (x; y) определена для всех x и y из X. Справедливость аксиом 1), 2) очевидна. Проверим аксиому треугольника 3).
Из неравенства треугольника для метрики из пространства RNp
следует, что
|
|
0 |
N |
|
|
|
11=p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x; z) = Nlim |
@Xj |
|
|
|
A |
1=p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=p |
|
|||
|
jxj zjjp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
!1 |
0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
N |
j |
xj |
|
yj |
j1 |
+ |
0 |
N |
j |
yj |
|
zj |
j |
p |
1 |
= |
|||
N |
|
B |
0 |
|
|
|
Xj |
|
|
|
C |
|
||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
!1 |
@@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A A |
|
||||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (x; y) + (y; z):
Данную пару (X; ) будем обозначать lp.
Пример 1.1.8. Пусть X – множество всевозможных ограниченных последовательностей x = (x1; x2; : : : ; xn; : : : ), а
(x; y) = sup jxj yjj:
j2N
Справедливость аксиом 1)–3) очевидна. Данное метрическое пространство (X; ) будем обозначать M.
Пусть X – множество всевозможных сходящихся к нулю последовательностей x = (x1; x2; : : : ; xn; : : : ), с той же нормой, что и в M будем обозначать M0. Ясно, что M0 M.
Пример 1.1.9. Пусть X – множество всевозможных последовательностей x = (x1; x2; : : : ; xn; : : : ), а
1 |
jxj yjj |
|
|
|
||
(x; y) = |
|
|
: |
|||
|
j |
|
||||
Xj |
j |
xj |
|
) |
||
=1 |
2j(1 + |
|
yj |
|||
|
|
|
|
|
|
14
Справедливость аксиом 1), 2) очевидна. Для того чтобы проверить аксиому треугольника 3), достаточно доказать, что для всех действительных чисел a, b и c выполняется неравенство
ja bj |
|
ja cj |
+ |
jc bj |
: |
1 + ja bj |
|
1 + jc bj |
|||
1 + ja cj |
|
|
Последнее проверяется непосредственно с использованием неравенства треугольника для действительных чисел. Данное метрическое пространство будем обозначать S.
Перейдем от пространств последовательностей к пространствам функций.
Пример 1.1.10. Пусть X – множество всех непрерывных функций на отрезке [a; b]. Положим (x; y) = maxa t b jx(t) y(t)j. Из теоремы Кантора следует, что функция определена для всех x; y 2 X. Аксиомы 1) и 2) очевидны, а справедливость аксиомы 3) немедленно вытекает из неравенства треугольника для метрического пространства R. Это метрическое пространство обозначим через C[a; b].
|
Пример |
1.1.11. Пусть X – |
множество всех непре- |
||
рывных функций |
на |
отрезке [a; b]. |
Положим p(x; y) = |
||
|
ab jx(t) y(t)jp dt |
1=p |
|
||
|
, 1 p < 1. |
|
|||
R |
Поскольку всякая непрерывная функция на отрезке является ин- |
тегрируемой, то функция определена для всех x; y 2 X. Проверим аксиому 1). Ясно, что (x; x) = 0. Обратно, пусть (x y) 6 0. Поскольку (x y) – непрерывная функция, то она отлична от нуля не только в некоторой точке t0 2 [a; b], но и в некоторой окрестно-
15
сти ( ; ) [a; b] этой точки. Тогда
Z 1=p
p(x; y) jx(t) y(t)jp dt > 0;
т.е. аксиома 1) выполнена.
Аксиома 2) очевидна. Наконец, применяя неравенство треугольника для Rnp к соответствующим интегральным суммам, мы заключаем, что
Z b 1=p jx(t) z(t)jp dt
a
Z b 1=p Z b 1=p jx(t) y(t)jp dt + jy(t) z(t)jp dt
a a
для всех непрерывных на отрезке [a; b] функций x; y; z. Таким образом, справедливость аксиомы 3) доказана.
Это метрическое пространство обозначим через Cp[a; b].
И завершим нашу "галерею" примером, показывающим, что среди метрических пространств есть достаточно экзотичные экземпляры.
Пример 1.1.12. Пусть X – произвольное множество, а
(
1; x 6= y;
(x; y) =
0; x = y:
Это так называемое "дискретное пространство" или пространство изолированных точек. Свойства 1) и 2) метрики немедленно следуют из определения. Что касается неравенства треугольника, то
(x; z) = 1 (x; y) + (y; z); x 6= z;
(x; z) = 0 (x; y) + (y; z); x = z: