151

3.2Лекция 19

3.2.1Пространство ограниченных линейных операторов

Определение 3.2.1. Пусть A : X ! Y и B : X ! Y линейные операторы. Их суммой называется оператор Cx = Ax + Bx (x 2

D(A) \ D(B) X). Произведением оператора A на число a

называется оператор Dx = aAx (x 2 D(A)).

Предложение 3.2.1. Если A : X ! Y и B : X ! Y –

линейные непрерывные операторы, то их сумма, а также произведение оператора A на любое число a являются непрерывными линейными операторами.

Доказательство. Линейность проверяется непосредственно, исходя из определения 3.2.1. Что касается непрерывности, то легко проверяется ограниченность операторов A + B и aA:

(3.2.1) k(A+B)xkY kAxkY +kBxkY (kAk+kBk)kxkX;

(3.2.2) k(aA)xkY kaAxkY kAaxkY jajkAkkxkX:
Предложение доказано.

Предложение 3.2.2. Множество L(X; Y) всех линейных непрерывных операторов из нормированного пространства X в нормированное пространство Y является линейным пространством.

Доказательство. Аксиомы линейного пространства проверя-

ются непосредственно, исходя из определения 3.2.1.

152

Теорема 3.2.1. Формула (3.1.2) определяет норму на линейном пространстве L(X; Y). Более того, если Y является банаховым пространством, то L(X; Y) с этой нормой также является полным нормированным пространством.

Доказательство. Аксиомa 1) очевидна. Аксиома треугольника 2) вытекает из (3.2.1), а аксиома 3) – из (3.2.1). Таким образом, мы доказали, что L(X; Y) является нормированным пространством с нормой (3.1.2).

Пусть Y – полное нормированное пространство, а fAng – какаянибудь фундаментальная последовательность в нормированном пространстве L(X; Y), т.е. для всякого " > 0 существует такое N 2 N, что для всех n; m N выполняется неравенство kAm Ank < ". Пусть x 2 X. Тогда

(3.2.3)

kAmx AnxkY = k(Am An)xkY kAm AnkY kxkX < "kxkX

для всех n; m N. Значит, последовательность fAnxg фундаментальна, а поскольку Y полно, то она сходится к некоторому элементу y 2 Y . Определим оператор A : X ! Y равенством Ax = y. Так как

A(ax1 + bx2) = lim An(ax1 + bx2) =

n!1

lim aAnx1 + lim bAnbx2 = aAx1 + bAx2;

n!1 n!1

то оператор A линеен. Покажем, что A ограничен. С этой целью заметим, что последовательность fkAnkg также фундаментальна, поскольку

jkAnk kAmkj kAn Amk:

153

Но тогда последовательность fkAnkg ограничена, т.е. существует такая постоянная C > 0, что kAnk C. Следовательно, kAnxkY CkxkX. Переходя в этом числовом неравенстве к пределу при n ! 1; мы получаем, что kAxkY CkxkX, т.е.

A 2 L(X; Y).
Наконец, переходя в формуле							(3.2.3) к пределу при m ! 1;
мы получаем, что
		kAx AnxkX "kxkX
для всех x 2 X, n N т.е.
(A An)	k	xx X	Y < " для всех x 6= 0; для всех n N:
		k
			k	An			k	= 0, что и требовалось.
Следовательно, limn!1						A

Введем еще одну операцию для непрерывных операторов.

Определение 3.2.2. Пусть A 2 L(X; Y), B 2 L(Y; Z), причем

D(B) R(A). Произведением (композицией) операторов A и B

называется оператор C : X ! Z, такой что

Cx = B(Ax) для всех x 2 D(A):
Предложение 3.2.3. kBAk kBk kAk.
Доказательство. В самом деле,
kBAxkZ kBkkAxkY kBkkAkkxkX
для всех x 2 X, откуда и следует требуемое утверждение.

Предложение 3.2.4. A(BC) = (AB)C, C(A + B) = CA +

CB для всех непрерывных линейных операторов, для которых эти произведения определены.

154

Доказательство. Проверяется непосредственно, исходя из определения композиции операторов.

В частности, пространство L(X; X) образует кольцо. Поскольку произведение матриц не является коммутативным, то

из примера 3.1.6 вытекает, что композиция линейных непрерывных операторов, вообще говоря, также некоммутативна.

3.2.2Компактные операторы

Выделим теперь один очень важный подкласс ограниченных операторов.

Определение 3.2.3. Пусть X и Y – банаховы пространства. Оператор A : X ! Y называется компактным, если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное. Множество всех линейных компактных операторов, действующих из X в Y будем обозначать через (X; Y).

Пример 3.2.1. Если dim Y < 1, то всякий линейный непрерывный оператор A : X ! Y будет компактным. В самом деле, если M X – ограниченное множество, то в силу непрерывности оператора A

kAxkY kAkkxkX;

а значит, A(M) – также ограниченное множество. Так как в конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное множество предкомпактно, то оператор A компактен. В частности, всякий линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве X является компактным оператором.

155

Пример 3.2.2. Если dim X < 1, то всякий линейный непрерывный оператор A : X ! Y является компактным. В самом деле, если M X – ограниченное множество, то в силу конечномерности пространства X оно является предкомпактным. Докажем, что A(M) предкомпактно. Зафиксируем какую-нибудь последовательность fyng A(M). Тогда yn = Axn, где fxng M. Поскольку M предкомпактно, то fxng содержит фундаментальную подпоследовательность fxnkg. Из непрерывности следует, что fynk = Axnkg также фундаментальна, т.е. оператор A компактен.

Таким образом, компактные операторы также можно считать обобщением непрерывных операторов в конечномерных пространствах на случай бесконечномерных пространств. В некоторых учебниках компактные операторы называются вполне ограниченными, поскольку они перводят ограниченные множества во вполне ограниченные.

Пример 3.2.3. Если dim X = 1, то тождественный оператор I не является компактным. В самом деле, образом единичного шара при тождественном отображении служит единичный шар. Ясно, что единичный шар есть множество ограниченное. Тем не менее, согласно предложению 2.4.4, единичный шар не предкомпактен.

Теорема 3.2.2. Множество (X; Y) является (замкнутым) подпространством пространства L(X; Y).

Доказательство. Покажем сначала, что (X; Y) есть линейное многообразие в L(X; Y). Действительно, в силу предложения 2.4.3 всякое предкомпактное множество является ограниченным, поэтому всякий компактный оператор есть оператор непрерывный.

156

Пусть теперь A; B 2 (X; Y ), a; b 2 R, а M – ограниченное множество в X. Если fyng (aA + bB)(M), то yn = aAxn + bBxn, где fxng M. Поскольку оператор A компактен, то fAxng содержит фундаментальную подпоследовательность fAxnkg. Но и оператор B компактен, т.е. fBxnkg содержит фундаментальную подпоследовательность fBxnkj g. Тогда последовательность f(aA+bB)xnkj g также фундаментальна, т.е. оператор aA + bB компактен.

Докажем теперь, что (X; Y) замкнуто в L(X; Y). Пусть последовательность fAng (X; Y) сходится к некоторому оператору A в пространстве L(X; Y). Если множество M X ограничено, то множества An(M) предкомпактны для всех n 2 N. Зафиксируем последовательность fyng A(M). Тогда yn = Axn, где fxng X. Поскольку A1 компактен, то fA1xng содержит фундаментальную подпоследовательность fA1x(1)n g. Поскольку A2

компактен, то fA2x(1)n g содержит фундаментальную подпоследовательность fA2x(2)n g. При этом очевидно, что подпоследовательность fA1x(2)n g также фундаментальна. Рассуждая аналогично, мы заключаем, что существует такая подпоследовательность fx(nk)g последовательности fxng, что fAjx(nk)g фундаментальны для всех j k. Следовательно, каждый из операторов Aj переводит последовательность fx(kk)g в фундаментальную.

Покажем, что оператор A также переводит последовательность fx(kk)g в фундаментальную. Так как fxng ограничена, то существует C > 0 такое, что kxnk C. Выберем k 2 N так, чтобы kA Akk < "=3C. Имеем

kAx(nn) Ax(mm)kY

kAx(nn) Akx(nn)kY + kAkx(nn) Akx(mm)kY + kAx(mm) Akx(mm)kY kA Akkkx(nn)kX + kAkx(nn) Akx(mm)kY + kA Akkkx(mm)kX

157

2"=3 + kAkx(nn) Akx(mm)k:

Наконец, поскольку последовательность fAkx(nn)g фундаментальна, то можно выбрать такое N 2 N, чтобы при всех m; n N

выполнялось неравенство

kAkx(nn) Akx(mm)kY < "=3:

Таким образом, при всех m; n N мы имеем

	kAxn(n) Axm(m)kY < ";
что и требовалось.

Совокупность компактных операторов замкнута также относительно операции композиции. Мы докажем даже более сильное утверждение.

Теорема 3.2.3. Пусть A – компактный оператор, а B –

ограниченный. Тогда операторы AB и BA компактны.

Доказательство. Если множество M X ограничено, то множество B(M) также ограничено. Следовательно, A(B(M))

предкомпактно, а значит, оператор AB компактен.

Далее, множество A(M) предкомпактно. В силу непрерывности оператор B переводит всякую фундаментальную последовательность в фундаментальную, поэтому он переводит всякое предкомпактное множество в предкомпактное. Следовательно, множество

B(A(M)) предкомпактно, а значит, оператор BA компактен.