182

3.7Лекция 24

3.7.1Спектр оператора. Резольвента

В этом параграфе мы рассмотрим линейный оператор в комплексном нормированном пространстве X. Введение числового параметра позволяет по-новому взглянуть на вопросы разрешимости операторных уравнений и приводит к одному из фундаментальных понятий в теории линейных операторов.

Определение 3.7.1. Число 2 C называется регулярным для оператора A; если оператор (A I) непрерывно обратим. Совокупность всех регулярных 2 C назовем резольвентным множеством. Совокупность всех остальных значений 2 C называется

спектром оператора A.

Определение 3.7.2. Резольвентой оператора A в нормированном пространстве X называется оператор R = (A I) 1, где принадлежит резольвентному множеству.

Обратите внимание, что R0 = A 1, (когда A 1 существует), а существование и непрерывность оператора A 1 зависят от поведения резольвенты R при ! 0.

В регулярных значениях 2 C оператор R определен на всем пространстве X. Из теоремы 3.6.2 Банаха об обратном операторе следует, что в точках спектра резольвента либо не существует, либо не определена на всем пространстве X.

Определение 3.7.3. Число 2 C называется собственным значением оператора A, если Ax = x для некоторого ненулевого вектора x 2 X, называемого собственным вектором оператора A,

183

соответствующим значению . Совокупность всех собственных значений называется точечным спектром оператора A. Остальная часть спектра называется непрерывным спектром оператора A.

Поскольку собственные значения оператора A, соответствующие значению ; принадлежат ядру оператора (I A), то это те и только те значения параметра , для которых R не существует.

Пример 3.7.1. Как хорошо известно из курса линейной алгебры (см., например, [10]), спектр всякого линейного оператора в n- мерном пространстве состоит из n собственных значений (с учетом их кратности). Непрерывного спектра такие операторы не имеют.

Предложение 3.7.1. Спектр ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве замкнут.

Доказательство. Пусть – регулярная точка для оператора A, т.е. оператор (A I) 1 определен и ограничен на всем пространстве L. Тогда из следствия 3.6.3 вытекает, что оператор

			1
	(A ( + )I) непрерывно обратим для всех j j <				. Таким об-
				kR k
	разом, все точки открытого круга B( ;	1	) регулярны. Это озна-
		kR k

чает, что регулярные точки образуют открытое множество, а спектр

(т.е. дополнение этого множества) есть множество замкнутое.

Теорема 3.7.1. Если A – ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве L и j j > kAk, то – регулярная точка.

Доказательство. Очевидно, A I = (I 1 A). Тогда

R = (A I) 1	1			I	A		1		1 1 Ak
	=							= k=0 k :
									X

184

При kAk < j j этот ряд сходится и задает определенный на всем L

ограниченный оператор (см. теорему 3.6.3). Иначе говоря, спектр оператора A содержится в круге B(0; kAk). Может быть получена и более точная оценка радиуса круга, в

котором лежит спектр.

Теорема 3.7.2. Пусть A – ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве L. Тогда существует конечный предел

r (A) = lim kAnk1=n;

N!1

называемый спектральным радиусом оператора A. Более того, если j j > r (A), то – регулярная точка.

Доказательство. См., например, [2], с. 257–258.

3.7.2Спектр компактного оператора

Для компактных операторов мы можем получить дополнительную информацию о собственных значениях и собственных векторах.

Теорема 3.7.3. Всякий компактный оператор в банаховом пространстве L имеет при любом > 0 лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по модулю превосходящим .

Доказательство. Пусть 1; : : : ; k; : : : – какая-либо последовательность собственных значений оператора A (различных или с повторениями) таких, что j kj > ; x1; : : : ; xk; : : : – отвечающая им последовательность собственных векторов.

Если система fxkg линейно независима, то, как мы видели при доказательстве предложения 2.4.4, можно построить такую

185

последовательность векторов fykg, что 1) yk 2 L(fxkgnk=1); 2) kykk = 1; 3) (yn; L(fxkgnk=1) > 1=2.

Тогда последовательность fyk= kg ограничена в силу неравенства j nj > . Покажем, что из последовательности образов fAyk= kg нельзя выбрать сходящуюся. Действительно, пусть yn = Pnk=1 kxk; тогда

y

n 1 x

+ nxn = yn + zn;

A n

= k=1

n

k

n

X

k

k

где

n 1

k

1 xk 2 L(fxkgkn=11):

zn = k=1 k

n

X

Поэтому при любых m > k

A

m

A k = kym + zm yk zkk =

ym

yk

kym (yk + zk zm)k > 1=2;

поскольку yk + zk zm

2 L(fxkgkn=11). Это противоречит ком-

пактности оператора A.

Следствие 3.7.1. Число линейно независимых собственных векторов, отвечающих данному собственному значению 6= 0 компактного оператора A, конечно. Число собственных значений n

компактного оператора A во внешности круга j j > j j > 0

конечно; все собственные значения оператора A можно пронумеровать в порядке невозрастания модулей

j 1j j 2j : : :

Тем не менее, уместно отметить, что компактные операторы в бесконечномерных пространствах могут вообще не иметь ни собственных значений, ни собственных векторов.

186

Пример 3.7.2. Действительно, пусть оператор A : l2

задан формулой:	22	; : : : n n 11 : : :
Ax = A(x1; x2; : : : ; xn; : : : ) = 0; x1;
	x		x

! l2

:

Этот оператор компактен, поскольку по теореме об ограниченной сходимости

	(j)			(0)	2		1		jxk(j) xk(0)j2
jlim kAx		Ax			k		X
							= jlim				=
!1							!1			k
							k=1
		1	lim jxk(j) xk(0)j2						= 0
		X	j!1
		k=1					k2

для всякой слабо сходящейся к x(0) последовательности fx(j)g1j=1. Покажем, что этот оператор не имеет ни одного собственного значения, а поэтому и ни одного собственного вектора.

Предположим, что существуют такие вектор x 2 X и число

2 C, что Ax = x. Тогда

(x1; x2; : : : xn : : : ) = (0; x1;	x2	; : : :	xn 1	: : : ):
2			n 1

Если = 0, то немедленно x = 0. Если же 6= 0, то x1 = 0, x2 = x1, xn = xn 1=(n 1), т.е. снова x = 0. Таким образом, x не может быть собственным вектором ни при каком 2 C.

Решая уравнение Ax x = y видим, что, при 6= 0, x1 = y1= ; xk+1 = (xk=k yk)= ; k 2 N;

т.е.

R y = (A I)y= ; 6= 0:

В частности, все точки, кроме начала координат, регулярны.

187

При = 0 уравнение Ax x = y превращается в следующее:

Ax = y. Последнее не имеет решений, если y отлично от нуля. Значит, оператор R0 не определен на всем пространстве Y = l2.

Итак, спектр этого оператора состоит только из точки нуль, каковая является точкой непрерывного спектра.